DÉVELOPPEMENT THÉORIQUE
Les données du problème sont les suivantes :
On a une colonne de diffusion cylindrique, à axe vertical, de hauteur L, primitivement constituée par 2 couches liquides superposées de hauteurs respectives L, et Z, (cas général), de compositions identiques ; la couche inférieure contient en outre du Po.
On sait qu’à partir d’un temps origine { — 0 la concentration des ions diffusants est liée, par hypothèse, aux variables { etx, par l'expression :
x compté à partir de la base de la colonne.
On a vu que cette équation comporte une infinité de solutions possibles. L'intégrale :
a . — x2D1 (7) C— (A cos ax +B sin axe *P en est une solution particulière. On déterminera la valeur des constantes arbitraires À, B et + relatives à notre cas, par les conditions aux limites :
( Le) : Æ L56 , 0Z Des ls dx 21000 e
La somme des intégrales particulières donnera la solution cherchée de l'équation linéaire fondamentale (1),
Calcul de l’intégrale générale de (2).
a) Détermination des constantes B et x, par les conditions aux limites.
En dérivant les 2 membres de (7) par rapport à +, on a :
dC : — a?
53 = (4A sin ax + 4B cos ax) e ND Le
Le second membre est nul pour & — 0 et x — L done
=) -et DL = "nT'ayet n=—= 10,42 etc.
(*) En raison de l'identité de nos conditions expérimentales avee celles de Frcx (%) et de Horrmann (*), nous reprenons ici le développement donné par ces auteurs, en l’adaptant à notre cas précis.
PNA ee Am 7 LA CITE
DJ
L’équation (7) prend,donc la forme :
n TR C'=”"ATC0S (T z) CM
La somme des intégrales particulières :
mn — cn 7 nr?
e* à! T — — Dit
CAN eos (T à) e L
donne l'intégrale générale cherchée.
b) Détermination de À, : par les conditions à l’origine. On sait que pour — 0 la concentration Co est constante pour toutes les couches x comprises entre 0 et Z, ; on a alors
[e+) Q nr Co = Ÿ'A, cos ( æ).
sd
D’après Fourier, il vient :
D 104 PAC À) —= ie C = 0 da =—— l et 2 Fh / AVIS or EL L | C= 9 008 L jus ou 2 Co 1 An= — sin (Fu) La fonction complète est enfin :
(8) Rue CO DAC NV 1 Fe af De (nt Ve = D UE D UNIT cos |T z
D’après cette équation, connaissant CG, Co, h,t, on pourrait, après chaque expérience, en tirer la valeur correspondante de D. Il a paru préférable de donner au second membre de l'expression (8) une forme qui permette d'effectuer une fois pour toutes la plus grande partie des calculs. |
Simplification de l’expression (8).
