D. DE QUELQUES CONCEPTIONS DU PROBLEME DE LA CARTE DANS L'ESPACE

Le problème du redressement, considéré dans.sa forme la plus simple, se ramène au problème classique de la carte dans l’espace dont voici l’énoncé :

Fig. 11. Redressement par le trièdre.

Connaissant 3 points du cliché a, b, c et les longueurs à l'échelle E des cotés du triangle homologue ABC, placer les sommets de ce triangle sur les arrêts du trièdre Oabc.

Vu l'intérêt de la question, et surtout pour montrer qu’en matière de photogrammétrie appliquée les diverses solutions publiées ne sont pas susceptibles de donner satisfaction, nous allons en analyser quelques unes (voir fig. 11).

I. — Solution grossière. — 1°. Fixer le cliché dans l’espace après avoir percé 3 trous très fins en a, b, et c, puis déterminer le point O (grâce à la connaïssance du point principal p du cliché et de la longueur focale de l’appareil de prises de vues; 2°. Matérialiser la trièdre complet Oabe par 3 fils tendus ! 3°. Insérer par tâtonnements dans ce trièdre une pièce de carton A’B’C’, réduction à l’échelle E du triangle ABC au sol; 4°, Avec une nivelle, déplacer l’ensemble dans l’espace de façon à rendre horizontal le plan A’B’C'; 5° Avec ce même instrument, déterminer la direction des horizontales du cliché, les gisements (@) d’une ou plusieurs directions, l’angle i des lignes de plus grande pente.

Evidemment, cette solution est peu pratique, difficile à réaliser, peu précise et en ce qui nous concerne elle ne peut être d'aucune utilité.

IT. — Epure de géométrie descriptive. — Sous cette forme le problème a été traité par plusieurs auteurs français ou étrangers. LAUSSEDAT

signale le processus à suivre pour constituer une telle épure. Monsieur D'OCAGNE, dans son cours de géométrie en donne une variante où les approximations successives jouent le principal rôle. Enfin Monsieur Rous- SILHE, dans son ouvrage sur la photographie aérienne appliquée aux levers topographiques à grande échelle a traité le problème sous une forme un peu différente. En voici une autre solution :

Considérons la figure 11. Le trièdre donné est défini par le cliché et le centre optique O. Nous allons opérer par la géométrie descriptive exactement comme nous l’avons fait tout à l’heure avec une pièce de carton : nous allons poser A’ et B’ sur les arêtes du trièdre correspondants et faire pivoter le triangle A’B’C’ autour de A’B’ pour voir si C’ coïncide avec la troisième arête. Nous n'y parviendrons pas du premier coup; nous constaterons des écarts. Alors nous essayerons d’établir une loi de ces écarts qui nous permettra d’aboutir graphiquement à la solution définitive.

Considérons maintenant l’épure de la figure 12. Le plan de projection est la face OA’B”. Le problème est supposé résolu et la solution est OA’B’C’. Si nous rabattons le triangle A’B’C’ dans le plan de projection C’ vient en C et le triangle A’B’C représente en vraie grandeur le triangle donné.

Evaluons la cote du point C’. — Par rabattement du plan vertical passant par CoC'w, cette cote est CT. Par rabattement du plan vertical

qui contient l’arête OC’, cette cote est C'i*. Le problème étant supposé résolu on doit avoir CI — Ci.

Déplaçons A’B’ sur les arêtes correspondantes, ou ce qui revient au même amenons le sommet O en O;, par déplacement sur le segment capable d’un angle A’OB’ construit sur A’B L'arête OC’ (devenue O:C) perce le plan vertical en C;. Faisons tourner le triangle donné A’B’Co autour de A’B’ de façon à amener C, sur la verticale passant par C1. Evaluons par rabattement les cotes de C; et de Co dans cette position. Elles sont différentes car si elles ne l’étaient pas, le problème serait résolu. Elles sont respectivement égales à Cl: et Ci, et l'écart est Cl = Ci ZE FE: Ho

On peut maintenant considérer d'autres positions O0, O0: O, qui nous permettront d'aboutir aux différences E> E; … E,, d’où la construction d’une courbe représentative de la loi des écarts Le point R où cette courbe coupe l’axe des x, sera ensuite rabattu sur le droite Co.w d’où le point C’ cherché, d’où enfin la position de A’ et de B/. “ 1 NIDNIP EN NDS

Fig. 13. Epure du redressement

1) Pour construiré ce rabatement, remarque que l'on connait l'angle C'Oi angle que fait l’arète C'O avec le plan B'O'A du trièdre.

2) Remarquer, pour la construction des rabattements (et ceci se démontre facilement) que toutes les droites | Oi] passent par un même point P,

MAO sel

Recherchons maintenant la position du point de vue. Nous nous placerons dans le cas le plus simple : celui où les points de redressement ont été choisis dans un même plan horizontal. Considérons la figure 13. Prenons cette fois comme plan de projection le plan A’B’C. Rabattons sur ce plan les 3 faces du trièdre, chose facile puisque nous en connaissons, d’après l’épure 12, les 3 arêtes qui donnent par intersection O, S1 et S> Reconstituons le trièdre. Dans ce mouvement, O décrit la droite O0”, S: décrit S:0/ et S1 décrit S,0/. Ces 3 lieux se rencontrent en O’, position du point de vue dont nous pouvons relever les coordonnées, à l'échelle E d’abord et ensuite en vraie grandeur. Quant à la cote, on l’en déduit immédiatement par une simple résolution de triangle rectangle.

III, — Méthode des lieux géométriques *).

Les coordonnées approchées du point O nous sont données soit par un redressement préalable, soit par la résolution de l’un des problèmes esquissés précédemment. Considérons la figure 14 en A’ et B’ deux points au sol dont les coordonnées sont connues; en O Ia position exacte mais inconnue du point de vue. Soit « l’angle sous lequel a été vu (par l'appareil photographique) le segment A’B; soit 4 l’angle sous lequel ce même segment serait vu du point approché; appelons du la quantité (a — œ).

On sait que le lieu des points de l’espace d’où l’on voit un segment A’B’ sous un angle «/ est un tore. Dans certaines limites ce tore peut être assimiliable à un plan qui intersecte la face OA’B suivant une droite ab facile à définir, et perpendiculaire à cette face.

Définissons d’abord la droite ab. Soient DA et DB les distances (approximatives) séparant la station des points A’ et B’; soient & et 6 les coordonnées de la station O dont l'altitude est A,; soient Xa, Ya, Za les coordonnées du point a. On a pour ces coordonnées :

D da . sin 1”

DA sin œ

Na RS Nr)

Ds da . sin l”

Da sin @

D durssinelé

DA sin @

On obtiendrait de la même facon XB, YB et Ze. Et maintenant définissons l'équation du plan x, passant par ab et normal à la face connue OA'B’ du trièdre. L’équation de cette face est :

1) Analyse d'une note paru sous la signature de Monsieur «Roussithe»: Sur la resolution de problème de Pothenot dans l’espace Imp. Robaudy Cannes 1929. Il nous à paru opportun d'analyses ici cette interessante conception.

x A0 More 6o Z == Ao NA Se Up M 6 == Ao == (|) XB”" — XA1

C’est à dire :

L(X — 0) + m(Y — fo) + n (Z — A5) — 0.

Si l’on pose Li m

Ao (YB — Y4’) RES A5 (XB° — X4’) J

(XA” — ao) (YB — YA’) — (Yr’ — Bo) (XB — X4) ou encore

À, sin 04B — A, cos 0 4/8” V5 A’ . sin (AB — voa’)

La normale au plan OA’B” passant par a a donc pour équation:

X” — Xa É NN Ye : Z! — Za Ao . sin DA’B/ — À, . cos DA4B V, À’ sin (94/8 — Üvo4”) Equation symétrique pour la normale à ce même plan en b. — Ces deux

normales définissent le tore ou tout au moins le plan qui lui est assimi-

lable.

Fig. 21

Fig. 14. Solution par le point approché.

Considérons maintenant un plan d'altitude A’ — A, + dA’. Soient a! et b’ les coordonnées des points d’intersection des 2 droites précé-

demment définies avec ce plan.

On a pour les coordonnées de à’ :

e se jm fi gl Lu Hi Le TA Fe RATS & # MARIE LES ral fi , nl >

X2 — 00 — [xx GUue

A? . sin Ÿ 4’B | De . sin 1”

+ É — — ——— E—— +- VoA’ . sin (Ÿ 4’B — OvoA) DA sin à | A . sin Ÿ AB" Verre VoA’ . sin (04/B — Ÿ vo . À) : A6? . cos V4’B/ Es Mie à M Ya fo—| Ya Bo — y à de ( A’B/ — Ÿv AA DA . sin « Par Ao . cos Ÿ AB PT VoA’ sin (04/B — Ÿ vo A’) Pour une deuxième altitude A” — A, + dA”, on obtient des coor-

données Xa”’ et Ya” qui ne diffèrent des précédentes que par les derniers termes dont les coefficients n’ont pas varié. Autrement dit, en superposant les plans À’ et 4”, les graphiques de droites «’b’ et ab” sont homothétiques par rapport au point vrai. On est donc amené à joindre les points homologues des deux graphiques et à déterminer leur point moyen. Le point O étant adopté, le rapport moyen d’homothétie des deux graphiques donne l'altitude vraie.