Contribution à la théorie et aux applications de la nomographie

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d'être rappelé, ont besoin d'être conduits avec célérité, car l'économie de temps se traduit alors par une économie de vies humaines.

Ces quelques lignes justifient amplement l'emploi des abaques et montrent quel intérêt il y a, pour l'Ingénieur, à se familiariser avec leur tracé. Au reste, la Nomographie, — pour employer le nom donné à la théorie des abaques par M. d'Ocagne, qui en a fait, le premier, un corps de doctrine, — n'est pas seulement une méthode de calcul rapide : elle peut être un auxiliaire particulièrement précieux dans la recherche des lois naturelles,

A ces titres divers, cette nouvelle venue dans le domaine de l'Ingénieur nous a semblé digne d'être étudiée dans notre Bulletin, en attendant qu'elle prenne place dans l'enseignement des écoles techniques. En dépit du caractère abstrait des principes dont elle relève, elle séduira, croyons-nous, par la diversité de ses applications, par l'élasticité de ses méthodes, par l'ingéniosité et la force réelle de ses procédés d'investigation.

3. — Historique succinct. — Du jour où Descartes imagina de rapporter les figures planes à deux systèmes de coordonnées, la représentation graphique des équations à 2 variables' était virtuellement acquise; et la Géométrie analytique, conséquence immédiate de cette convention, allait substituer de puissantes méthodes générales aux constructions, plus élégantes peut-être, mais par trop limitées, de la Géométrie pure.

Les coordonnées cartésiennes se prêtent également à la représentation graphique des lois expérimentales pour lesquelles un élément varie en fonction d'un autre : aussi, peu à peu, physiciens, chimistes, ingénieurs, les ont-ils utilisées. Aujourd'hui, leur emploi s'est répandu au point que les personnes les plus étrangères à la science traduisent volontiers par des courbes les observations les plus vulgaires.

La représentation plane des équations à 3 variables est d'origine plus récente. Il semble que Buache (1) imagina le premier, en 1752, de figurer les mouvements du terrain par les courbes de niveau; puis, en 1795, Pouchet (2) établit, à l'aide de lignes cotées, des abaques pour les opéralions usuelles de l'arithmétique; Obenheim (3) et Piobert (4) se servirent aussi de lignes

(1) Mëatûire) dt l'Académie des Scien~rf, 1752. (I) Arithméliqve li-caire. l"9j.

(3) Balistique, ISU.

(4) Uénuiriat de l'ArUll.rie, 182C.

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cotées dans divers p Terquem (1) montra lé des équations à 3 var

Mais l'application et Alors, comme il arriv cessité de calculer raj qui envahissaient les ; nouveaux. Pour ne ci rétablissement des vo dément les terrasseme travaux : dans ce but, cubature ; puis, en 184i du même problème, 1 tion de réseaux rectili lisation de ce princip une orientation nouvi

En effet, c'est seul que l'on est parvent abaques. En 1884 et belge des Ponts et Cl déterminant la formi susceptibles d'anamoi M. d'Ocagne (5), pro faisait connaître sa m remplacer chaque rési cotée, et qui eut un i d'autre part, M. Lalle:

nivellement de la Fra gonaux, d'une si réell

Bientôt les résultat plus de 3 variables les échelles binaires M. d'Ocagne ; concepi

(1) Mémorial de l'Artillerie,

[i] MémoÎTet de la SociéU d-

(3) Annales des PonU tt Cha

{4i Annales de VAsiociation

Bail, nous crojonB mile d'appi

cet Ingénieur relatif à la Ihéc

laèmes AnnaUs en 1830 et 189

Machinei à vapeur), l'utilité c

(5) AnnaUs des Ponts et Ch

(6) Feuilles autographiéts, 1

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les échelles multiples de M.Lallemand. Ces divers procédés s'appUquèMïlt avec une particulière aisance, qui leur donna un caractère vraiment pratique, aux abaques hexagonaux et aux abaquea à points alignés ; nous montrerons qu'ils s'appliquent avec une égale souplesse aux abaques à double alignement, grâce à la forme que noiïs avons donnée aux équations à 4 variables susceptibles d'être représentées par cette classe intéressante d'abaques. On put ainsi représenter des équations de formes très compliquées, par exemple celle de la déviation du compas, dont M. Lallemand donna un fort bel abaque, reproduit plus loin (173).

Tous ces travaux ont été brillamment exposés par l'un desprincipaux artisans de la Nomographie, M. d'Ocagne, en particulier dans son remarquable Traité de Nomographie, paru en 1S99 (i); l'auteur y étudie longuement les méthodes imaginées jusqu'alors, en donne de nombreuses applications, puis, dans un essai de Synthèse basé sur la notion du contact, classe les diverses Variétés d'àbaques susceptible» de représenter une équation à un nombre quelconque de variables. < Bien qu'il existât des abaques, et des plus élégants, avant les recherches de M. d'Ocagûè, écrit fort justement le capitaine Lafay (2), c'est à ce savant ingénieuï' que revient le mérite d'avoir, comme Monge le fit autrefois pour la Géométrie descriptive, réuni en un corps de doctfine une foule de résultats épara, auxquels il a d'ailleurs ajouté d'importantes découvertes personnelles. >

Nous avons nous^m^e apporté notre contribution à oe tte science nouvelle en nous inspirant des travaux que nous venons de rappeler et tout particulièrement de c«)x de M. d'Ocagne. C'est ainsi que nous avons complété la théorie des équations à 3 variables représentables par des abaques à simple alignement formés de 3 droites, — cas qui se présente fréquemment dans les applications — et que nous avons institué une méthode pratique pour obtenir, dans le cas le plus général, les équations de ces droites. D'autre part, nous avons établi la théorie des équations à 4 variables représentables par des abaques à double alignement formés de 4 courbes, représentation qui n'avait été

[2) Bévue ^Artillerie, Beptembre 1899.

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heureuse, les abaques de même famille qui sont susceptibles de représenter l'équation proposée. C'est grâce à lui que nous avons pu compléter, en un point important, la théorie de l'alignement simple, et établir notre théorie du double alignement, dont la généralisation permet d'étendre, dans une large mesure, les applications de la Nomographie.

Enfin, les coordonnées cartésiennes, dont l'emploi est familier à touff les ingénieurs, résolvent les problèmes tout aussi simplement que les coordonnées parallèles utilisées par M. d'Ocagne pour ses abaques à points alignés, dans le but de faciliter la disjonction des variables. Dans les Chapitres relatifs aux abaques à simple ou à double alignement, on verra qu'on peut opérer aisément la disjonction, sans recourir au dernier système de coordonnées, assez peu usité. M. d'Ocagn^ avait, du reste, indiqué l'emploi des coordonnées cartésiennes pour les abaques à simple alignement (Traité de Nomographie, p. Î34).

Ajoutons que, tout en réservant aux développements théoriques la place à laquelle ils ont droit, nous nous sommes abstenu de relater certaines recherches d'un caractère par trop spéculatif, comme les images logarithmiques du professeur Mehmke (1) et l'essai de synthèse générale de M. d'Ocagne ; nous renvoyons â cet égard au Traité de ce géomètre, dont nous recommandons vivement la lecture.

Au risque de donner à notre travail un développement dont nous nous excusons, nous avons cru indispensable d'illustrer les diverses méthodes par de nombreux exemples. Nous ne reproduisons pas moins de 80 abaques, dont plus d'une cinquantaine ont été construits spécialement pour ce Mémoire,