Ainsi, si la relation (i) est de la forme
tang- tang- = K,
la courbe G' est, en vertu d'un théorème démontré par nous (Nouvelles Annales, 3 e série, t. II, p. 249), symétrique, par rapport à A, de la transformée par semi-droites réciproques de la courbe G. On retrouve bien aisément au moven de nos formules les propriétés fondamentales de cette transformation.
La distance tangentielle de deux courbes est égale à la distance tangentielle de leurs transformées.
Les centres de courbure à la courbe et à sa transformée en des points correspondants sont sur une perpendiculaire à Vaxe de transformation , etc.
3. D'une manière générale, éliminant entre (1) et l'équation de la courbe G en coordonnées axiales, on a l'équation de la transformée C'.
* r Lr-» .a ût C «se
os T'/l. 4'if.r-t* f* T"ii * -rt*: £h »x x* i-k qx* Us m.
courb*% C *f C, ^:*^"-?*^»:^ijT«r j-^r i.3%xemies t et t. se
eo'/p+nt en î sur Â-3 pi* r m '?*..ï~Zm~.zire ele^em à A /**/" fc point T. rr-altat <pi ** ê-i^t ax~i <i* la cocsïdératïoa do e£&tre ioUabUc^ de rebâti : s.
On a. poar valeur d* raj:a de c:xr£-^r* à la cearbe C [formule 6 . n*-l6\
r = a^ % co~$ — /£ t illicite même pour la courbe C".
r = ifc { h — - ) co**"— /î j * — r ) *in % .
Kemarquant que
sinV=cos9, cos&' = — sînfl.
&<*)=/* (v - Ij = ti, y* o ,, =/„ (o -\) ,
on déduit aisément des deux formules précédentes la suivante :
r cosô -f- r'cosO' = 2TI.
Soient M et M' les points de contact respectifs de* et de /'avec et C, A et A' les centres de courbure correspondants. Projetons ces divers points en m, m', a et a' sur la droite TI. L'égalité précédente peut s'écrire
ma ■+- m'a' = 2TI.
Portons sur TI, à partir du milieu H de cette droite, et dans le sens de T vers I, le segment HK = TI; nous aurons, en remarquant que H m = H m',
Ha + Ha'=2HK.
Donc le point K est le milieu de la distance aa' des projections des centres de courbure A et A' sur la perpendiculaire TI à A. Ce théorème fournit une construction facile du centre de courbure A', connaissant A.
Si la courbe G se réduit à un point M, la courbe G' est une parabole ayant le point M pour foyer, et la droite A pour tangente au sommet. Dans ce cas, r= o, et, comme dans tous les cas TI = MM', on voit que
r'cosô' = 2 MM',.
ce qui s'exprime ainsi :
Dans la parabole, la projection sur Vaxe du rayon de courbure en un point quelconque est double du rayon vecteur de ce point.
La transformation orthotangentielle fait généralement correspondre à une courbe G de la classe m (*) une courbe G' de la dasse a m, tangente à l'axe de transformation A en m points.
Si la courbe G est tangente à Taxe A en p points, la classe de C' est abaissée de p unités.
Si la courbe G est tangente à la droite de l'infini enp' points, la classe de G' est abaissée de p' unités.
Gomme application des deux remarques précédentes, on voit que la transformée d'une parabole tangente à A est une parabole tangente à A. Ce théorème est bien facile à démontrer directement, car l'équation d'une parabole tangente à A étant
(MX-t-N) tangô + PX-H Q = o,
( l ) L'équation générale en coordonnées axiales des courbes de la classe m est
(a m \ m -i-a m l \ m - 1 -+-... -+-a,X-f-a )tang TO 6 -t-(6 m 1 X w - 1 + . . .4- ô )tang" l - 1 6 -k . .
-t- ( /?, X -h h ) tang8+ / = o.
(90 ) l'équation de sa transformée est
(PX-hQ)tangO— (MX + N) = o.
Si la courbe G est une parabole ayant son axe perpendiculaire à A, la courbe G' est une parabole de même foyer et même axe que G; de plus, si F est le foyer commun, P le point où Taxe commun coupe A, A et A' les sommets respectifs de G et G', les segments PF et A A' ont même milieu (voir Nouvelles Annales, a* série, t. XIX, p. 266).
Si la courbe G est une hypocycloïde à quatre rebroussements ayant deux rebroussements opposés sur A, la courbe G' est la courbe étudiée au n A 50 {voir p. 49)* Si Ton complète la fig. 1 1 (p. 48) en appelant N' le point où NI coupe Oy, on voit que NN' = 2 NI, car TN = OT ; or on a vu que NI est constant; il en est donc de même de NN ; , et, par suite, la courbe en question est une développante d 'hypocycloïde à quatre rebroussements. Cette dernière remarque nous a été communiquée par M. Cesaro.
Si la courbe C est une hypocycloïde à trois rebroussements tangente à A, la courbe G' est une hypocycloïde égale à la première, tangente aussi à A, et passant par les deux points où C est coupée par A( 1 ).
Enfin, voici comment s'engendrent, dans ce système, les courbes r qui sont leurs propres transformées (anallagmatiques du système) : considérons une parabole tz ajant son foyer fixe, et astreinte, en outre, à une condition simple quelconque ; par le point où sa directrice coupe A, menons à la parabole les deux tangentes t et t\ Quand on fait varier la parabole it, les tangentes t etx' enveloppent une courbe T.
4. M. Gcsaro, jeune géomètre italien, bien connu par ses belles recherches en Arithmologie, nous a adressé d'intéressantes applications des coordonnées axiales. Nous en extrayons les quelques théorèmes suivants, dont la démonstration se fait bien facilement au moyen de ces coordonnées.
(o étant un angle constant, considérons la transformation
(') Ce théorème résulte d'un théorème de M. Laguerre (Bulletin de la Société mathématique de France, t. VII, p. 1 12 )
axiale définie par
dont la précédente est un cas particulier.
Soit Ou la transformée de C ; au point M de G correspond le point Ma, de C^ , au centre de courbure A, le centre de courbure Aq, ; les tangentes correspondantes t et t^ se coupent sur A en T.
I étant le point où la normale en M à G coupe la perpendiculaire élevée à A en T, le lieu du point M w (pour le même point M), quand on fait varier u>, est le cercle K décrit sur TI comme diamètre.
Portons sur TI la longueur IU égale à Tl et sur la perpendiculaire élevée en I à TI, en prenant pour sens positif le sens
des X négatifs, la longueur IV =-^ ; le lieu du centre de
courbure A w (pour le même centre A), quand on fait varier co, est le cercle K' décrit sur UV comme diamètre.
Lorsque o> = — (transformation orthotangentielle), les points
correspondants de deux courbes conjuguées sont diamétralement opposés sur K. Il en est de même, sur K', des centres de courbure. La Note de M. Gesaro, qui contient d'autres remarques intéressantes sur ces transformations, paraîtra dans les Nouvelles Annales; nous y renvoyons le lecteur.
