STIELTJES A IIERMITE

Lcydc, .6 mars i883.

Je me suis aperçu qu'il s'est glissé une faute dans ma lettre d'hier (^}. On a, pour h = oc :

(') Bulletin des Se- mathématiques et astronomiques, a' sÉrie, t. VII, 188Î, p. iSg-i^i; Si*'' la théorie des résidus biguadratiques, par M. Ï.-J. Stieltjes (Extrait d'une lettre adressée â M. HermiCe).

(^) La lettre du i5 mars manque. Un eili-ait est inséré aus Comptes rendus du 19 mars : Sur le nombre des diviseurs d'un nombre entier.

Je dois avoir indiqué fautiveménL les limites dans ces sommations partielles, et je vous prie de vouloir bien corriger cette erreur, dm; à cette circonstance, sans doute, que j'avais auparavanlnomraé o> ce que je désigne maintenant par r„/r+A ■

Si l'on prend seulement k de ces séries partielles, la somme des termes négligés

y — 'JL —

reste inférieure à ~ — A l'aide de cette remarque, il serait très facile de donner à ma démonstration une forme tout à fait, rigoureuse en laissant d'abord k constant, mais arbitraire. — Les valeurs de /(i)+/(2)+ .. .+/(/() ont clé calculées dans le

temps (en 1876); ainsi :

Soitp un nombre arbit

raire^n et posons

Alors

Pour n = looooo, par es

emple, j'ai pris

et la somme devient

J'avais calculélasommey(i) + . . ■+f{ii) pourn = 1000, 1 00000 pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle le rapport

[/(!)+.■■ + /(«)]:» lo§« s'approche de l'unité; les valeurs numériques obtenues m'avaienl

fait soupçonner ^ns '-^ — — log/i s'approche d'une

limite fixe, ce qui se confirmait, comme vous l'avez vu.

12 CORlillS FONDAS CE U ILKHMIÏE KT UI! ST1HI.T.1ES.

J'espère, Monsieur, que, s'il arrivait qu'il vous serait nécessaire quelque calcul numérique, vous voudrez bien m'en honorer. A présent, je ne peux point faire une chose plus utile et je serai toujoiu-s heureux si je poun'ai vous rendre quelque service.

Veuillez accepter, de nouveau, l'assurance de mes sentiments dévoués.