STIELTJES A HERMITE

Toulouse. 7 mai i SS9.

Cher Monsiei r .

Me sentant un peu fatigué, et aussi ,1 cause de mes conférences..., j'ai dû interrompre, pour une dizaine de jours, mon travail, mais je compte bien le reprendre bientôt.

\ oici une petite remarque, sans aucune portée d'ailleurs, que j'ai faite sur un passage de La Théorie analytique de I" chaleur dont nous devons une si helle édition à M, Darboux.

Fourier, pour obtenir le développement

1 = a cos.r -f- b cos'i.r -+- c cos 5x — dcosyx — . . . ,

pose x = o dan9 cette relation et dans celles qu'on en déduit par des différentiations successives, il obtient ainsi

7*rf

n de ces équations lui donnent les n premiers coefficient- et, posant ensuite n — oc, il obtient

1 = — ( cosa? cosia? cos 5 a? — - cos 72* — . . . .

Il es1 clair que cela reviem à déterminer une expression

cb„ (./:) = rt| cos.r '/-, l'ns'ir ... o „ rosi >. /> — 1)37

par La condition que le développemenl de »«(#) soii de cette forme

( )r, je remarque que l'identité

(2isin#)2"-' = (e'x— e-t>)î«-i donne facilement

(sin^)2" ' = A„

(il— I ) ( rt — 2 )

sina sin3j" -t-

On en eonclnl

Jf ( sina?)8"-1 dx

= B„— A„ cos.r — „ cos3.r 4- -. <'"s ">•''

[ 3 n -+- 1 5(n + i)(ft4-2)

et il est clair qu'on aura nécessairement

(1) œrt(ar) = -— cos2a? — T cos3^+ j - — -cos5:r — ... .

(2) 1 — <p„(a?) = / (sin.r)2" -1 dx \ I (s\nx)i"-i dx.

«A «-Ai

11 est facile de constater l'identité de (i) avec le résultat de Fourier, on a notamment

A„ H2.52. ..(an — O2 .. A„ 4 .

— - = : et Iim-^r- = - (n = oc).

B„ (32— 1)(5*— 1).. [(an — i)2- i| B„ ir

A l'aide de (2) il est facile de démontrer qu'on a

lim[i — ©„(#)] = o (/i = co)

I !» CORRESPONDANCE IMIKUMlïl ET DE STIELTJES.

tant (|u on suppose — " << x <i-\- - • En effet, ><>it

1 / i >'\n.f |2" l dx

t'\ idemment

C„+,< sin2.r.C„ et Bw+1 = — B„;

«lune

I — - m i ' ■'■ I Cn-t-i . 0n . / I \ . ,

— = ,r I i-— <' ( H SII1J./'.

Donc ce rapport i — '?n+i(&) '. ' — 'fn(&) restera inférieur à un nombre fixe X compris entre sin-./1 el i. pour <\r< valeurs suflisamment grandes de /i, d'où

lim [ i — cp„ (x)] = o (n = se). Kn faisant croître n indéfiniment, L'équation (1) donne donc

i = I cos;r — - cos3.r — - cos \x — . . . I

Pour établir ce résultat en toute rigueur, il faudrait montrer qu'en posant

b = cos y — - cos3x -+- 7 cosja? — . . . ,

b = cos.r cos3^ -+- = cos 5x — . . . ,

i n -+- i 5(/i-+-i)(re-t-2)

on a

liai (S — S') = o (n = oo).

Ce n'est pas difficile, mais peu intéressant. J'ai écrit un petil article sur ce sujet pour les Nouvelles Annales ('). On peut obtenir d'une façon analogue le développement

- x — - sin 7.x si n Ax ■+- - sin bx —

(') A'ote des éditeurs. — L'article a paru dans le Tome VIII, page '172, de la 3e série des Xouvelles Annales de Mathématiques.

LETTRJ5 201. I SQ

Soii d'abord

6„lr) = a, siii').,r •-... a„ si n '2 tt#

avec la condil ion

On obtient <lw( a?) en remarquant que

ij; „(./■) — a?

ne diffère que par un facteur constant de

/ ( sina?)î,J </.r

\ euillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de ion sincère dévoûment.