ST1ELTJES A HERMITE
Lcyde, 27 novembre i883
Comme les remarques suivantes concernent encore l'application de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, j'espère que vous voudrez bien les considérer avec indulgence.
En premier lieu, je trouve, par un calcul qui n'offre point de difficulté,
V\? / . . .... 1 &Vk'K*
en 2d2ti{ — ^y^x'xy)(ixy"= — —3 —
(x,y = 0, ±i,±a, ±3, ±4, .. . 1 ou bien
Mais on a :
0(7s)8ï(y2)03(grî) = *2(— l) ' sqi (s = 1, 3, 5, 7, 9, . . . ),
(—1) 2 i?2YF(/}n + 2)r/"+2
= \] 'V(— ()->'(>2— 1 y2) gr**+«r*.
On en tire ce théorème, dans lequel N désigne un nombre entier (positif) quelconque :
s — 1 NIN — 1|
(3) a2|(-i)"*F(4N— a*»)=(— 1) 2 2(ar"~vl)
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes 1rs solutions de
N = x%-\- iy-, x,y = o, ±1, ±2, ± 3, . . .;
le second membre étant égal à zéro s'il n'existe point de représentation de N par x2 + iy2. Par exemple.
• \ ii. pas de représentation par cc2-+- iy'2,
F(ioa 1— .1' 86 )Fi m 1 - 7F(6) = .j — 3. 10 4- 5.8 — 7.2 = o.
N 27, 27 = (±3)"-Ha(±3)« = f± 5(2 — 21 ± D2:
(— 1) 2 s(a?2— 2JK2) =— i[9 — 18 — 25 — 2] = — 56, 2| Fi ro6 1 — 3 F 90 ï F 58 - 7F1 10)]
= 2(6 — 3.io-t- 5.2 — 7.2) = 2( — 28) = — 56.
J'avais d'abord obtenu la relation (3) par des considérations arithmétiques; c'est en réfléchissant sur cette formule que j'ai eu l'idée d'introduire ces séries Hn2qn>. Voici encore une autre forum le du même genre :
N = 3 (mod8), aVl-i - â~sF(" ~S ) = 1 — 1 i~~*~ V (x- — -îj2)
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les solutions de N /'- — ay2, x et y étant positifs et impairs. Par exemple,
\ 99, 99 = i2-t-2.72=72+2.52 = 92+-2.32; donc
i-ii s S (a?2 — 2^2)= — (1 — 98-1-49 — 5o-^8i — 18) =-+-35, 2F1 }9) •<>!'< }5)-ioF(37) — i4F(a5) + i8F(9)
Le second membre devient o quand il n'y a point de solution de \ x- - >}'-■ Par exemple, N = 35, pas de solution
Ce théorème est une conséquence du développement en série que voici :
où il faut attribuer à x et y seulement les valeurs i . 3, V j, . . .. En effet, on a
ei
o Wq ) ea Wq ) Bi (\/y ) = aS(— 0 » ^ B
Maintenant, j'observe que la formule de M. Kronecker,
i ^T F ( i n -+- i i q" + '' = 02( q) 6| ( gr ),
donne, à cause de
eî(y) = eî(gr«)-f-6«(Sr*),
,1 V Fi 8» + i) gr n + 4= 02( q)bl(q* l,
42F(8» + 5)/" + ' = °2(^)^Wi^
gF(8/n-i)g +'.->^F(S«h-5)^
\ laide de ces formules, nous aurons
92| q i62(gr
\ ( — I) 2 sy8
^F(8m-i)gp >— ^F(8n-f-5)?
La comparaison des développements des deux nombres donne notre formule
N = 3 (mod8),
N — s-2\ 8 sF )=(— n 8 X'-7'2— 27"2
Comme vous le voyez, ces deux formules se mettent à côté de celle donnée par M. Liouville {Journal de Mathém., 2e série, t. \l\ .
66 CORRESPONDANCE DHERM1TE ET DE STIELTJES.
année i 869 ; p. i •
N 1 1 Iv . ^j[~ n " *^(4N — s»)£=V(a?»— y*)
Dans la formule ! les arguments des fondions F sont de la forme [/ s; dans la formule (ji ces arguments sont de la forme \k 1; enfin, dans | 5 1 ils sont de la forme 8 Â~ H- 3. Dans toul ce qui précède3 F(n 1 désigne le nombre des classes du déterminant n pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes est pair. Seulement si// est un carré impair [ce qui peut seulemenl arriver dans la formule ( {)] il faut retrancher \ du nombre de ee> classes.
Dans la démonstration à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques de la formule donnée par M. Liouville, j'ai fait usage de cette formule :
**£!*!/£ 0 q i8|i 7 )6SI q I = 4 [0 , y8)82($r2)e3(gr*)]2
I IrJ ?! I2
= 161 7 ( — 1 J 2 57 2 = 16 #[(1 — (/'* 11 1 — 7S 1 ' 1 — ql%). • -l6
— ni 7 « impair,
V<— I ,nrl>;:i'—»n = , (; ^ V , A-2 /2 , ,y.v--/': = l6V/ /, y <
/ // ■ — Xi .V2— U2 |, rt — .s'2 4- /-
/.-•N A 161 7 — iW/5- - 97!'— 10713— J0717— 1 1 72"
j ! y'2'-* — ;o7:i7 +i8j"- 54 71"'— 19 7"— 90 gss. . .
ou bien, par le changement de q en y-2.
J'ai observé que cette fonction arithmétique f(s) jouit de celle
propriété
/1 m f\ n - f\ mn 1.
Par exemple,
m et n étant premiers entre eux. Soit maintenant rj un nombre premier de la forme 4Â" + 3, on aura
En désignant par p un nombre premier de la forme \k ~\- 1, ou pourra calculer les valeurs successives de
à l'aide de la relation
mais il faut déjà connaître f(p) = 2(ai — ■ b2), p = a2-+-b*, a impair.
Mais la valeur générale de f{pn) se met sous une forme élégante en introduisant les facteurs complexes de /;. Soit
w = a ■+■ bi, m' — a — ùi, p = 777*3', on a
fyp) — m2-+- m'2 — (tttv — TO'4):(nr2 — ttj'2 ),
/(yo2) = nr4--!- ra27n'2+ nr"* = (ttt6 — ra'6 ):i m'2 — ttï'2 i,
/(jo3 ) = gt6-I- Tu^îTr'2 — i— T7T2nj'v -+- et'6 = ( 77is — m'8 )'.(tts- — rrr'2 t .
, , sin(2A:-h2)a „, sin(2# -+- 2)a
tu = /■( cosa h- i sina ), /(»«)=- — : — r2/f = -^ />*".
si 112 x sinaa '
Cette fonction arithmétique présente donc une certaine analogie avec la fonction Q(«) que M. Kronecker a introduite dans son Mémoire dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin (avril 1876) où l'on trouve ces formules :
