STIELTJES A HERMITE

Paris, i3 lévrier 188I).

Monsieur,

Je viens de recevoir votre lettre, et je dois vous remercier de tout mon cœur, quel que soit, du reste, le résultat de la visite à M. Lucien Lcvy que je ne larderai pas à faire. Je ferai aussi avec un grand plaisir la connaissance de M. I). André, dont je me rappelle bien les Noies dans les Comptes rendus. L'ingénieuse définition de certains nombres entiers qui donnent aussitôt les coefficients clans les développements de lan-./-, séc#, comme nombres «le permutations, jouissant de certaines propriétés, s'est gravée dans mon esprit.

Je travaille à ma Thèse Etude de quelques séries semi-convergentes, <'ii Acu\ mois j'espère l'avoir finie. \ ous voyez, par là, que j'ai abandonné ma première idée. En effet, d'un côté, j'étais peu content de certaines parties et, de plus, j'avais vu que le

LETTRE SS. l8 !

sujet comporte encore de grands développements que j'entrevois un peu, mais qui demandent encore beaucoup de travail. En m'indiquant, l'an dernier, un Mémoire de Cauchy sur les fonctions réciproques, vous m'avez nus sur la voie «les questions nouvelles qui se sont présentées à moi. Vous voyez, par là, que je dois encore remettre à quelques mois l'étude du Mémoire de M. Gegenbauer que vous venez de m'indiquer, malgré l'intérêl qu'elle m'inspire.

Ma Thèse contiendra beaucoup de choses qui vous intéresseront bien peu. Ce qui vous plaira peut-être le mieux, c'est que j'ai l'idée dune série semi-convergente pour V(ai) a réel très grand ou plutôt de logT(«/).

La défini lion de Gauss

g li loï 11

V(ai)= : ; — (n = oc)

■ / (" \ I '" \ ai ( 1 -+- ai ) ( 1 -\ 1 • • • ( H 1

montre de suile qu'en posant

V{ai) = R(cos0 -t- i siii© ),

c'est-à-dire

et

e— lia |

8 = a lof; /i ~ arc tanga — arc tang ... — arc tang ( n =: 00 ),

où l'on doit prendre le signe supérieur ou inférieur, selon que a est positif ou négatif et les arc tang compris dans les limites ± -•

Vous voyez que

logr(ai') = logll -+- iQ

et la série semi-convergente est celle de Stirling appliquée à des valeurs imaginaires. Quoique celle idée de considérer, dans la série de Stirling, des valeurs imaginaires est bien simple et <|ue je l'ai eue depuis longtemps, sans la développer pourtant suffisamment, je n'ai pas vu qu'on l'ait eue déjà. Pourtant, il m'est difficile de croire qu'elle soit nouvelle. Je me rappelle aussi que

,n, CORRESPONDANCE d'hERMITE F.T DE STIELTJES.

Gaussa calculé je crois) ' la valeur de EI(i) = T(i -f- /) en la déduisant de II io h i), cette dernière quantité étant obtenue à l'aide de la série <lr Stirling, L'observation qii<-

iiiimI ]///<-{ —

\ ai ,-•" — e--a | el la formule de Binet

log ri a \=(a— ' | log a - a - log v/âît -+- £ J e«* -^- dx

i p. \n\ de votre Cours, second tirage) donnent lieu à cette conséquence

/ cosax- ■ dx = \o«{ ^— ia>oi.

ce qu'on trouve aussi facilement à I aide de