STIELTJES A HE R MITE

Toulouse, 25 janvier 1887.

Monsieur,

Je viens de voir que vous ail ri huez à M. Markofl le théorème suivant :

Soient

les racines de X„= o, alors on a

( A ) cos ~— > Xi > cos •

jNlais ce résultat a déjà été ohlenu par M. Bruns daus \c Journal de Borchardl, t. 90, p. 32'-.

De mon côté, j avais, d'un théorème inséré au commencemeut de i885 dans les Comptes renias, non seulement ces inégalités (A), mais encore la limitation suivante qui est plus étroite :

(•>. i — ij- „ /■-

(B) cos —^^Xicco?,- •

Pour /< = 10, par exemple, on a

D'après (A) D'après (B)

limiles. limites.

oci ', • ..^ > o,o332() '^/'' 0,02820

( o,ÎP357 \ { 0,959,19 \

\ o,5oooo / ,,„^ \ 0,45399 )

^k ' ( o,i3466 ' -/ ( o,oJ837

Mais j'avais négligé de rédiger complèlemeul ma démoiislralion, ce que je vi<'ns de faire uiainlcnaiii . .l'envoie cet arlicle à

M. Millag-Leider, car c'est une suite naturelle à un article qui a paru autrefois dans les Acla (' ).

Je regrette bien de ne connaître point la démonstration de M. Markoft, mais aucun fascicule du tome XXVII des Mathematische Annalen n'est encore parvenu à la bibliothèque de la Faculté. Dans ma démonstration, je me fonde sur une proposition d'algèbre très simple d'où découle cette conséquence :

Soit

X = ^ ^ aikXjXu 1 1

une forme définie positive, dont les coefficients aihi^i^k) sont négatifs, alors, dans la forme adjointe

tous les Kik sonl positifs.

Comme l'adjointe de l'adjointe reproduit la forme primitive à un facteur constant positif près, on pourrait croire que réciproquement pour

«/•yt>o, on aurait

mais cela n'est pas exact.

En reprenant cette question c]ue j'avais un peu perdu de vue, je me suis aperçu que cette proposition d'Algèbre est liée intimement à une question de physique (distribution d'électricité sur un système de conducteurs). Ce rapprochement m'a conduit encore naturellement à compléter cette px'oposition d'Algèbre sous un autre rapj)ort. J'ai exjjosé tout cela dans mon article pour les Acta.

Je pense beaucoup à l'équation modulaire, et la ligne de discontinuité, mais je commence seulement à me rendre un peu compte des difficultés qu'il faudra vaincre.

En vous renvoyant mes meilleurs souhaits, je vous pi'ie, Mon-

(') Noie des éditeurs. — Sur les racines des équalions X„ = o {Acla Matliemalica, t. IX, p. 385 -4oo: 1887).

204 CORUESPONDANCE D HEUMITE ET I)E STIELTJES.

sieur, de vouloir bien accepter Fassurance de mon dévoûmeiil respeclueux.