B'— SA" »"B"— 2A'" *"B' — SA
et il Vagira de déterminer la signification géométrique des termes de cette équation. Or , si l'on nomme if et y les coordonnées d'an point d'une courbe quelconque, et € l'abicisse du centre de courbure de ce point, on aura , en vertu des élémens de la géo-
bvGooglf
IdB coBftespoNirtniMr
tnëtrie aoalf tique ,
sans aacane ambiguïté de sigoe. Si l'on remplace ici ^ par si Taleur ^-j~ , et qu'on observe en ontre que
de
dt
di~
il viendra
+ ii)[»
+<An
-Si-
De plua , si ]'on nomme f l'angle formé par l'axe des ;r et par la tangente menée au point {x, y], on trouvera
dx'-i-dij'' A'+(jF-t-*4)' et
(ë—x\ sin'. 9 = -H ;
IÇ IJMH.y ^,B— 24"'
équation qui se rapportera avee les acoens convenables à tons les points d'intersection. L'équation (V) deviendra par conséquent
(x'+tKJ [(f^-j-lK-f
et si nous faisons tci t^o, c'est-à-dire si nous admettons que la transversale coïncide avec l'axe des x, nous obtiendrons
"(r~*')«n'.T' ■ (Ç"-y)sin'.f"
C,q,-Z.= bvGOOg[C
IIÂTBiaATMjDE ST PDTSfQVE. SW
ËnfiOf fii noua nonunoQB r la valeur absoloe du rayon de Goarbnreappartenaat au point (a:, y), nous aurons I — s=± riin.o; où il faudra admettre le signe supérieur on inférieur Belofi que (Ç — *) est positif ou négatif. Or, i! est clair que Je premier ou le second cas aura lieu selon que la normale dirigée du point (s, y) yers le centre de courbure , fait un angle aign on obtus avec l'axe des s dirigé dans le sens des x positives. Soient donc(x', y") ...* les pointa d'intersection pour lesquels ces angles sont aigus; {x^, y^) ... les points pour lesquels ils sont obtus, noBS aurons eu dernière analyse :
" "^ / sin». f' "^ *" ~\f^flin'. f^ "^ '"} '
Si nous ajoutons à ce résultat qne l'équation (I) de la courbe laisse entièrement arbitraire la position de l'axe des x, de sorte qu'on peut faire coïncider ce dernier avec une transversale queiconqae , nous conclurons le théorème suivant :
Troisième théorème fondamental. — Une courbe algébriqae étant coupée par une transversale droite , qu'on groupe ensemble les points d'intersection pour lesquels l'angle formé par la transversale dirigée dans un sen^ déterminé , et pnr la normale dirigée du point d'intersection respectif vers son centre decourbure, soit aigu; et qu'on comprenne dans un second groupe tous les autres points d'intersection. Cela fait , qu'on prenne pour chaque groupe la somme des réciproques des rayons de courbure multipliés chacun par le cube du sinus de l'angle , que fait la tangente au point respectif avec la transversale, Les deux sommes ainsi déterminées seront égales entre elles.
XV. — Solution de quelqueê difjicuUét. — Potiliotu exceptionnelles de la ttxmmeriale.
Il ne sera pas nécessaire de reproduire ici les remarques sur les points d'intersection imaginaires et situés à l'infini. Nous passerons donc immédiatement à la solution de plusieurs diffîcaltés apparentes.
:,q,-z.= bvGoOg[c
3W COUIIFOHDAIICC
D'abord, poiaque l'origine dei coordonnées est no point arlntr|ùre,auqjeUià la senlfl condition de se tronver sor la tranner- ■aie, transportoni-le en nn de lea points d'intersection arec la ooorbe. On anra alors
par conséquent lea équations (IV) et(V) deviendront illosoires , el il semblerait qn'on doit en dire antant des concinsions que noas en avons tirées et qui nons ont conduits à l'énoncé de notre théorème. Hais il est facile d'explîqaer cette contradiction apparente; car nons avons dans m cas asso, l'équation (II) deviendra donc
0 Bs a'« -I- «"»" -4- ... ■+■ a"*".
Faisant d'abord abstraction de la racine s"= o, nous attrons à l'égard des (n — 1 ) antres
11 la" B" + 6"*-t-o"('
it enfin x'W—iA"
En effectuant la double différentiation de ^ , et en fiiisant t:=^ la dernière de ces équations deviendra, d'après les déterminations de l'article précédent ,
(f — ^y) sin". f (l"~' — *"— ')sin'.f"— '
:,q,-z.= bvGoOg[c
lATBllATiqni KT PITSiqUE.
Cherohoni maiptenant la valeur de
(Ê — *) sin". f relative à l'origine des coordonna. Cette quantité ett d'abord
par rapport à un point («, y)qndconqtie do la courbe; et si notu employons les signes dos art. 3 et 3, elle se transformera Iicilement en
A'y— SABff+B'a
elle deviendra donc , par rapport à l'origine des coordonnées , en faisant ir^o, y^o,
(f"— iii")sin'.f" Nous aurons par conséquent comme dans l'article précédent ,
(r-«')siû'.f' (r'-*")sin'.f''
Il nous reste à résoudre une antre difficulté qui c positions exceptionnelles de ta transversale. Si le dénominateur d'un des termes de l'équation
(r— *'J«in'./ (!"— ^)«iii'. ?"
•'ovanouit, ce terme «era lui-même inûni, et notre théorie
C,q,-Z.= bvGOOg[C
S9X GoiiuroiMARU
sera ëTÏdemment en défaut. Hais on concerra «iaëment que la transTersalQ aura dana oecas réellement nne position exceptionnelle, ai l'on cODsidèro qne la diffëreatiatioQ de l'éqnation (IT) n'est permise que dans le cas où tous les termes da second membre de cette équation sont susceptibles d'un accroissement infiniment petit eu même temps que la variable I. Or , si nous considérons , par exemple , le premier terme pr , nous obtiendrons
X" :g'B'— 2A" {s'-i-tAy ~di «" ~~ y» (r— *') sin". f' '
et si nous admettons (!' — a!')ain*. f' ^o, uoas aurons
équation qui indique que pj n'est pas susceptible d'an accroisaement infiniment petit en môme temps que t. Par conséquent l'équation (V) et les conclusions que nous eu avons tirées seront nécesiairemeot fautives.
Remarquons aussi que la condition (f— s*) sin'. f'=^o = ±r' sin'. f' ne sera remplie que si la transversale touche la courbe, ou qu'elle passe par un point où le rayon de courbure
XVI. — Tranêteraalea pasêant par dei point» $imfU» d'ittflestim, et par de» point» multiple».
Si la transversale passe par nu ou plnsieurs points simples d'infleiion, notre théorème n'en subira aucaoe altération. Mais puisque les rayons de courbure de cea points sont infinis, les termes respectifs de l'équation
" Vr^sinï.p/' * "V
r'sin'. f ■" Vf^^sinï.p/' s'évanootroot d'eux-mêmes , et l'on en pourra faire abstraction
bvGoogIf
MlTHtMATIQCE ET rBTSIQDI. 203
dans l'application de notre théorème. It en résulte immédiatement , par rapport anx lignes du troisième ordre doaées de trois points d'inflexion , que ces poiots seront en ligne droite. En effet , menons par deux de ces points one transversale , et sott x' l'abscisse de son troisième point d'intersection. Nous aurons, en vertu de notre remarque ,
d'où l'oa conclut que r' e=i os , o'est-à-dire que le troisième point d'intersection est également un point d'inflexion. — Cette propriété est déjà connue.
Si la transversale passe par un point multiple de la courbe , notre théorème s'appliquera généralement aux autres points d'intersection, si les théorèmes de Cotes et de Maclawrtn s'y appliquent également, à l'égard du point multiple comme pôle. On s'en persuadera sans peine en établissant les équations analogues aux équations (III), (IV) et (V). Reprenons, par exemple, les courbes données par l'équation
o"!*" -1- ... -H Nw" a"-»*"-» + ... -t- Ky"-»
Si noua retenons les dénominations précédentes, la diflérentiation de l'équation
nous conduira à
o& il faut évidemment admettre le signe inférieuF , parce que les rayimsdecourburor' et r" ont des valeurs absoluesou positives. Nous aurons donc
t' ; r" = sin*. y" ; sin', y'.
Or en nommant t le point d'intersection des tangentes menées
bvGoogIf
aiu {lotnts m et n , il eat clair qne
sin. f' ^ BJn. nmr. ; sid. /' =: sin. mur ;
nt puisque mr : HTE=:sin. mnr : ein. «mr, il viendra
r- : r" = mr» ; «r» }
autre propriëtë CBractëriatiqne de ces courbes à laquelle il esl facile de donner on énoncé géométrique.
appendice concernant lei propriétés des triangles de» tangenlet des lignes du troisième ordre.
Je nomme triangle des tangentes , relatiTcment aax lignes do troisième ordre, le triangle formé par les tangentes menées aux trois points d'intersection d'une transversale droite arec ces courbes. Les propriétés dec<es triangles sont intimement liées atu recherches précédentes. Il conviendra dune de les traiter en cet endroit , sans toutefois entrer dans tous les détails dont cette matière féconde est susceptible.
Soit d'abord
0 :=.a+a'x+b'y-i-a"x ' ^-fi' 'xg+c"^ ' ■*-a"'x^-i-b"'ss'g-^-c/"xy' ^. d"' j' ,
l'équation entre les coordonnées recta ngal aires d'une ligne du troisième ordre, l'origine des coordonnées étant na point 0, pris k- volonté sur son plan , et non situé sur la courbe. Menous par ce point une transversale droite quelconque qui rencontrera la courbe en trois point M', M", M'". Menons aussi BIT, M"T", M"'T"' relatives à ces points et nommons
m' le point d'intersection do M"T" et M"'T"' , m" le point d'intersection de MT et M""r" , I»'" le point d'intersection de M'T' et M"T".
bvGoogIf
lAiatlAngiiE >t rsTSiqiK. S9K
Le (riangle m'm"m."' sera le triangle des langenlei , et il «at clair qae chacune des trois droites M'T', M"T", W"T" est déterminée par ses denx points d'intersection arec les deox aatrei. Si donc nous nommons ^,f'\ ^',u" ', è"',u"' , les coordonnées respectives des points m', m", m"', et que nous fassions, ponr abré^r
fv"— r'v'=»'î e**^"— rv«=i«"î r«^'— rv=«"'i
aooB aarons les éqnatûma de ces droites que Toicn :
Poar M"T"... Y=-
OÙ X et ¥ représentent les ooordonnées d'un peint quelconque de chacune des tangentes. Or, si nous faisons ici X =: o , les valeurs de T ,
Y= „, ' .„. 1 etc.,
seront les ordonnées des points oà les tangentes rencontrent l'aie des y. De même, la aapposition de ¥i=io fournira les ab- (Cisies des points oà les tangentes rencontrent l'axe des x, et qui seront
X = „ ■' ■ ■ , etc.
NoDt aorons donc , en vertu du théorème de JUaelaurin , à l'é- Gard de l'origine des coordonnées comme pôle , et en admettant
bvGoogIf
sncceSBiTentent les deux axes comme droites fixes :
Retranchons maintenant la seconde de ces équations maltipliée parf delà première maltipliée elle-même par u'; noosobtieDdrons facilement , à canse des Taleura de s', s", a"'.
ou bien, en faisant, poar abréger, •' — •"4-s"'=:s, et en transformant
et noua obtiendrons semblablement
En ajoutant ces trois équations, il viendra immédiatement
3+— r-1— p' 3+-!" + -»" 3-*--r"-*--e'" Or, bITod considère queTon a identiquement
■ ATBtXiTIQDB ET FnUQDG.
les mêmes ^qnatiuns fourniront encore cellt'S'Oi :
<laMiae)]es on tire
g'»'— fc'r a'u"—bT a'i/"— bT'
Le> ëqoatHmB (A) et (B) indiqaent èeê propriétët Au poinU m', m", m'", auxquelles il est facile de donner nn énonoë gëom^ trique. A cet effet , menons par l'origine des coordonnéei lei dnritei OX, OT perpendiculaires entre elles , et sappoioni que i'ngle ft qoe forme la première arec l'axe des « soit tel qa'on ait tang. fi = —. Nommons anssi X' et T' les coordonnëes du point m', par rapport à OX comme axe des X , et à OT comme axe des T ; no os aurons alors
S' ■= Ç* ooi. n-^-a' sin. ft; T' = u' cos. ft — ^ sin. ft.
Or, si noas admettons que 6' soit une quantité positive, ce qui est toujours permis , nous aurons
Va-^h-
To». rx.
:,q,-z.= bvGoOg[c
Sdft COBlIBFOnDàNCE
d'où il rësnlte , en faisant pour abréger ,
n est visible qae noai obtiendrons des résultats Mmblables pour les points m", «•'", en nommant X", T" ; X'" , T'" , leurs coordonnées par rapport aux axes OX et 01. Les équations (A) et (B) deviendront d'après cela
Srf -+- X' 3(/ -.- X" 3t( -+- X'" d '
Si nous déterminons maintenant sur l'axe OX nn point 0' dont la distance au point Osoiis—Sd, de telle sorte qne ce point se trouve du côté des X positives ou négatives selon que > — St' est une quantité positive ou négative , il est d'abord évident que let quantité!) 3</ -t- X', etc., seront les distances du point 0' aux points où les perpendiculaires abaissées de m', m", m'", sur l'axe OX rencontrent celui-ci ; et que ces mêmes quantités seront positives ou négatives selon que les points de rencontre se trouvent. de l'on ou de l'autre côté du point 0'.
En second lieu, on voit sans peine que les quantités jjrï^t etc., seront les tangentes des angles formés par les droites m'O', ••• et par l'axe OX dirigé dans le sens des X positives.
Enfin , on peut aisément démontrer que la position du point 0* n'est liée qu'à celle du point 0, origine des coordonnées. En effet, la droite ÛX faisant avec l'axe des x un angle dont la tangente est = — , elle sera indépendante de la position des axes , comme nous l'avons prouvé dans l'art. 1 de ce mémoire, fl restera donc
HATltHlTIQDB IT nTSIQVt. HB
à montrer que U disUnce
l'est également; c'est-à-dire, d'après la notation de l'art, cité, qae
Or c'est ce dont on se persaadera immédiatement en remplaçant lei quantités a', et b', , par leurs valeurs a' cos. /t-h b' sin. ft , — a' sin. fi-t- b' cos. /t.
Les points précédena établis , on en conclura sans peine le Ibéorème suivant:
Etant proposée une ligne quelconque du troisième ordre, qn'on mène par nnpAleOpris à volonté sur le plan delà courbe, et non situé sur son périmètre , une transversale droite quelconque. Qu'on mène aussi les tangentes aux trois points d'intersectiou de cette transversale avec la courbe , et qu'on nomme m', m", m'", les points oii les tangenlei se rencontrent deux à deux. Il existera généralement, par rapport au pâle 0 un autre point 0' jonissanl des propriétés suivantes (i ;
1" Qu'on abaisse des points m', m", m'", les perpendiculaires sur la droite Joignant les points 0 et 0', et qu'on admette les segmens de celte droite compris entre (X et les perpend tentai res comme positifs ou négatirs , selon qu'ils s'étendent de l'on ou de Tautre cdté du point 0'. La somme algébrique des réciproques de ces segmens sera une quantité constante , indépendante de la position de la transversale. Et sa valeur absolue équivaudra au triple de la réciproque de la distance 00'.
S° Qu'on mène les droites m'Q',m"0', m"'0'. La somme des tangentes des angles m'O'O, m"Q'0, m"'0'0 sera ^ o.
Il sera bon de remarquer ici qu'il n'y a pas de réciprocité entre
' } Oa poitmit donner à ee point l« nom de juinf M-pglain.
:,q,-z.= bvGoOg[c
300 COKBESPONMNCt
les poinU 0 et 0'; c'est-à-dire que le point 0 ne correspondn pas, en général, au point 0' considéré com me p&le.
On voit aussi en réûéchissant sur la manière dont nons sommes parvenus à l'équation (BJ, qu'on pourrait donner un énoncé plus général à la seconde partie de ce théorème,
La dislance 00' devient infiniment grande si Ton a en roéiM temps a'sssù, ¥'=0^ sans que a=so; c'est-à-dire si le point 0 est un pôle-centre. Le théorème précédent n'est donc pas applicable à ce cas. Cependant il est très-facile de tirer des articles précëdeos une nouvelle propriété de ces points. En effet, les équations (a) de l'art. 1 , deviennent maintenant
.' = -,- Js; ."=Jsi .'" = + j*.
MRissinousnou9rappelonsiciqnes'=^'V" — |"'u", et que f", u"; ê'", u'", sont tes coordonnées des points m", m'", par rapporta 0 comme origine des coordonnées , les élémena do la géométrie analytique nous apprendront aisément que la valeur absolue de i' est le double de l'aire du triangle Om"m"'; et semblableme&t lei valeurs absolues de *", *'", t seront les doubles des aires dea triangles Om'nt"', Owt'w", m'm"m,"'. Par conséquent les triangles Om'm", Om'vt'" , Om'W" seront, dans le cas actuel, chacun égal au tiers du triangle m'm"m"' ; ce qui exige évidemment qoe le point 0 soit le centre de gravité du triangle m'm"m"'. Il en résulte le théorème suivant :
Étant proposée une ligne du troisième ordre, qu'on mène par un de ses pôles-centres une transversale droite quelconque. Les tangentes menées dans ses points d'intersection avec la courbe envelopperont un triaugle dont le centre de gravité sera au p6Ie, quelle que soit la position de la transversale.
Nous allons maintenant passer à la recherche d'ane autre pro-
:,q,-z.= bvGoOg[c
■ATUtMATIQL'E ET MTMQDB. 301
priAé des p6lea-ceDtres , moins faoile à saisir. Je ferai d'abord remarquer la propriété suivante des triangles rectîlignes :
Étant proposés ua triangle et one ligne droite quelconques, . qu'on prolonge (s'il est nécessaire) chacun des cAtës du triangle jusqu'à sa rencontre avec cette droite; et qu'on joigne par des droites chaque point de rencontre et le sommet du triangle opposé au c6té respectif. Les points- mi lieux des trois droites ainsi menées seront en ligne droite.
En appliquant cette propriété générale au triangle des tangentes et à la transversale , il résultera que les points -milieux des droite s M'm', M"m", M" 'm'", seront en ligne droite. Celle dernière sera donc entièrement déterminée par la transTersalfl , et si l'on donne à celle-ci successive me ut toutes les positions possibles, la droite passant par les points miliens changera constamment de place, et enveloppera dans son cours une certaine courbe, dont nous nous proposons ici de chercher la nature.
Commençons par chercher l'équation de la droite passant par les points -mil (eux de M'm', M"»»", M'"*»'". A cet effet représentons d'abord par ■n'm"tn"' un triangle quelconque, et soient aussi, comme plus haut, ^, u'; f", u"; ^", i/", les coordonnées ds ses sommets m', m", m'". Menons par Torigine dos coordonnées une transversale faisant avec l'axe des | (ou des x) on angle dont la tangente soit ^ (. D'après cela , en nomniant x', y'; x", y"; x"', y'", les coordonnées des points d'intersection H', H", M'", les valeurs de ces quantités résulteront de l'équation de la transversale (y=tx), et des équations respectives des droites m"m"', m'm'", m'm" fou M'T', M"T", M"'T"') qui seront ici les mêmes que dans l'art. 1. Nous trouverons par conséquent, en faisant encore , pour abréger
Or les pointa- milieux des droites M'm', H"m", M"'m"', auront respectivement pour coordonnées.
S' + y p'-<-y' ê"-4-a;" t," ^y" Ç"'-*-«"' r"'.t.jf"'
partant l'équation de la droite passant par les deux premiers de ces points -mil le ui 8era d'abord
y (r-K.')(.."-<-y")-(r-t-«")C'->Ti') ('--Hti-c-^'-ty')-. (r-i-io~(r-t*") (r+y)-(r+i") '
et si l'on substitue ici les valeurs de ^ , y , y' , y" , et que l'on considère en outre que l'on a identiquement
o=r*'-l"«"+r'V"io=iyV-y's"+o"V";o=ïY-Ç'WÇ"V"i
,'=,î"r"-f"r'i »"=irr"-rr; »"'==ï'r'-ç'r ;
on obtiendra après des transformations et des réductions plus longues que di Sicile s
„ «T' - t'T' + »"r"' M- >yr"- «"rr" + »"xk" ^ (r— r')n"-(r-ê"'; ï'r+(r-r")ï"ï"'
(s'-r)(ir-s"')(i:"-r] i ^ (■• , .
L (ê'-€")î'ï"-(Ê'-ç"') îr"+{Ê"— r") ï"ï"'-
Transformons maintenant celle équation d'après les données particulières de la question actuelle. D'abord puisque l'orifrine des coordonnées (ou le pôle-centre) est le centre de gravité da
') Cette équation renfenoe en même tempa une démonatiation complMo de la piopridlé gëDëiole éaoacée ci-dMiui-Eo ifiet, tout dtant ioi «jmtftciqae par rapport bdi point! m', m", m'", nom aoiioi» ëTidemmeat troBvé la même équation en cherchant la droite paiMllt par lei pointa-milieal de
■ATBÉflltlQOB Et niTMQlII. 30d
(riangle m'm"m"', noas aarona
Ç'-i-l"-i-l"' = tf , u' -t-u" ^-«"' = 0, d'où il rësulle
Or, à oaose d»
,' = ,"= + ^"=.ii w
Inéquations (6) deriennent
3(?"-ç'")' acr-r)' 3({--r)
d'où DODS tironi ces aolres équations
En élevant ces dernièrei au carré, en igoutant, et en ayant égard i l'équation (d), il viendra
Enioite il résulte des équations (f)
, ^, . t+r'-it" ç'"
d'oà nous tirons , en substituant les ralears de C — C"i C — C"t . V x"
et nous trouverons semblablement
:,q,-z.= bvGoOg[c
804 COnKSFORDADCt
Enfin li I'od rëflécfait qno la quantité f a ici l« même signifiostion qae dans tout le courant do ce niëmoîra , il viendra , en admettant comme plua baut, -^ =^'t sto-
dy' d -t- (A' a= - ,
quantité qui est évidemment
puisque l'one et l'aube expriment la tangente de l'angle qne fait la tangente HT* avec l'axe des s. On trouTera donc en vcrtn des équations (a)
OU
bien r'-
et leiilblabJemeiit
D'après les forainlei qne Dous TeiMns d'établir) il est facile d'effectner la transformation de l'équatioD (o). En effet, nous tirons des équations (s) , (d) et (A)
,-{" VT' + "'"ï"" -1- sTT" — •"«'" + <"'f r =
— C— ~ J^ ■ \ta.\ii- * *"■ * .■"■>''
et des équations (s) et (A)
I5,j„, Ç.J.. If j"') {-f" ^. (T'-f") r'r" —
:,q,-z:=b,.GoOg[c
a4TNMATIQDE ET rBTBiqVI. 30K
enfin lei ëqnationi (gi) nom fonmiasent
(ç'--!")(r-r)r-«"')--^- -rînr,-
27 xs's ' Faisant donc , ponr abréger ,
A'(j'-y')(y'-:r"') A"(j'-y'](jr"-a^") ^ A"'(j'-j"')y ~r"')
l'ëqualion (c) defiendra
,1 I In
Il noua reste à chauer de cette ëqnatiOo les quantités s\ «",«"', A', A", A'". A cet effet , remarqaons que les trois abacisies na sont antre chose que les racines de l'éqnation (II) de ce mémoire qui devient aotuellemeot , à oauM d« «'ho, b'^ao,
d'où il résulte immédiatement
»'-WI!"-Mf"'=— — ■; *'»"+*'*'"-(- y «"'»=0/ jr'jB'V'aŒ — -;;; •
Nous en tirons d'abord
,,,„,/^l I l \ yv" -»-«"*"" +*'"»""
V jt" ï" *^' '• XXX
et il Tiendra en second lien
[x'—x") («' — x"')= 3»" —S»' (*'+»"-*-»'"); (a:'—*") (*"— jr"')=a — 3y"+2«"(y-H»"H-a:"')( (**—*'"} (*"—*'") = 8*""— ar"'(»'+«"-4-*"') 1
c,q,-z.= bvGoOg[c
306 coiiuMRbAUct
Talean qaî transfonneDt la quantité B en '
, ^rk' A" A"'\ ,, , ^, ,„^y-A' A" A"\
Hais d'aprè* rà]ualion (IV), noua aroni A' A" A'" fr
Or, en différentiant l'ëqnation sfx"x"' = -^^ on obtiendra
aprèa avoir fait - — = /3"',
oeqai nous foornit
L'ëqaati<Hi (c) deviendra donc en dernière analfse
où l'on a
Cette équation établie , il nons sera facile de déterminer la courbe enveloppée par la droite qu'elle représente. Car on «ait qai si TceF (/}+/'[(]. X désigne l'équation d'une droite variable , la courbe constamment touchée par cette droite , quelle qne
■ATBtllTIQDK ET PBTSIODI, S07
soit la valeur de t, lera donnée par les éqaatioos
en désignant par xeiy les cordonnées d'un point quelconque de cette courbe. Or , nous avona ici
il Tiendra àoati , en ayant égard aux râleurs de a", a!", &'" , M(fi (rt'"— 2n"0 ■*- »(■/'>'"— ta"d'") t + \1ie"c"'~ 3b"d'") <*
dt ~ » fi'"" '
<y{f) (3o"'e"'— 1"'3) + (fti'".f " — f'c-") t + (86"'<f " — c'"») ^
(8»"y"— ay'q"-) ^. a(a"c"'— 3e"n"') I + (t'V"— 2e"t"0 1"
d'oà nous tinma racilement
{l"b-" -^ ao''e"') -H a(e"y" — 8a".f '"} t -4- [ae"o"' — 3t"J") t»^
* ~ *" ( Sa-'V — h"'" ] -t- [ »a"'d-" ~ i"'c"') t -H (Sf'i"' — c'"!^ 1^ '
1 (8o"i"' — 36'V") + a[a'V" — 3c"tt"')* + (t'V" — a^'y")t»
* ~ *■ (3o"V" — i'"") H-COfl"'!)"'— i"'c"')( ^.t34'"<("' — o"'3) (*■
Cea équations contiennent la solution de la question qui nous occupe, et l'on reconnaît trèa-aisément que la courbe chercliée est une section conique. En effet , si nous faisons pour abréger ,
b"b"' — 3a"c"'=:m' ; Sa"b'" — Wa"' = n' j 4{3a'V" — 6"'= )^^ a{c"S"' — ao-'^'Oisn"; a[o'V"-3e'V") = n" ; 4{9a"'d"'-*"'o"') = p" 2oV" — 3i"d'" = »i"'i J'V" —ao"fi"' = m'" i 4(3*"'if " — «'"!' ) = p"'
bvGoOgIf
ces équations se transformeront facilement en
• = (p'ï— •') ■t-{p"j-«")* + (p"'y-»"')i"; et en éliminant f, nous obtiendrons
[(„y"B"'p")*-(-."p'"-»'>")y + («'V"-«."'n")î [(.y"«"'p') X - ( my-m"'p') 5 + («'»'"«"'«')]';
équation qui est du second d^ré et se rapporte par conséquent à une section conique.
Voici finalement l'équation à laquelle on aboutit après toutes les rédactions.
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Mémoire tur le zinc comparé à d'autre» matériaux sou* le rapport de fon emploi darti le» conitruction» civile» et »ur pïutievrs théorème» remarquable» concernant la réeietance de» totide» , par H> le chevalier Ds Bsbb , ingénieur en chef de 1" classe des ponts et chaussées , chevalier de l'ordre du lion Belgique ('.
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1. L'emploi du zinc et sa comparaison avec les autres métaux dans les constructions civiles , ont souvent été l'objet des
') Ce m^mairs « été écrit en 1825, et prdienlé plua tard h l'Acadëmie teyale de Bruxelles, qui l'« accueilli d'une manière trèa-faiorable et a engagé l'auleui à le publier.
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HàTltHATiqit IT FITSIQDE. 806
recherches de diverBea sociétés savante*, quoique m» rétaltst décisif : naguère encore, en 1821 , la société , dite Zeeitwi g*noottchap , en fit le sqjet d'un concours public , qu'elle renonvela en 18S4, en faisant connaître qu'elle recevrait le trarul des conçu rren a jusqu'au 1" avril 18S6 ; en&n en 18S4, le ministère des Pays-Bas demanda des renseign émeus sur cette matière à toutes les personnes qa'il croyait susceptibles de pouvoir en donner ; il en résolla qae les constructions n> sine étaient encore inconnues dans la plupart de nos provinces , et que dans d'aatrea on ne poavaît émettre aucune opinion sur la préférence qui doit résulter de cette comparaison , parce que ce métal est encore rarement employé , parce qu'en général , il ne l'est pas aux mêmes usages que les antres matériaux, enfin que l'application de plaques métalliques sur les combles des édifices, sur les terrasses, sur les ponts en bois et la construction des tuyans de conduite étaient les seules circonstances dans lesquelles le cino concourait jusqu'à présent au même usage que les autres mëtaoi, et qu'à cet égard même, les observations , et les comparaisons , faites avec discernement , étaient totalement à désirer.
Si celte question est d'une importance générale par les conséqaeoees qui enrësnltent pour l'économie publique , elle est encore d'un intérêt tout particulier pour les Pays-Bas, qui possèdent dans la province de Liège les mines les plus riches et les pins abondantes qui soient connues , et dont on extrait un lino plus par, plus pesant, et pins mnlléable que celui fourni par l'Angtleterre ou par l'Allemagne.
S. La ditHcutté de la solution si souvent demandée , de cette question ; . Faut-il frbfkrer le aine aux atttrea métaux dans cerlainei conitructioHs , dépend en grande partie du petit espace de temps pendant lequel oe métal a été employé en grand. Il est ' probable que le temps seul, en multipliant les observations, répondrait d'une manière satisfaisante, quand même on abandonnerait les recherches particulières qu'on peut diriger vers fee but ; mais si l'on considère que les expériences non guidées par la théorie, ne proviennent que des constructions usées ou détruites par le temps ; si l'on considère encore combien cette
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dorée est considérable lorsqu'il s'agit de mëtAQX , on se ftonvainera facilement que plus d'un siècle encore pourrait s'écouler, avant de savoir ce que l'on désire, si cet objet était pour ainsi dire abandonné à lai-iuème.
Il peut donc être ntile de poser exactement la question , de dirif^r l'attention vers les points dont la solution doit directement dépendre , enfin , de tirer tontes les conséquences possibles de ce qui est connn sur la matière , afin d'approcher aalant que nOQS pourrons du bat que aoos désirons atteindre.
POBitiOM DE i* Qirunoa.
3. J'examinerai principalement le linc sons le rapport de son emploi le plus général , eeluide recouvrir les édifices, et je ferai observer que dans la plupart des recherches sur cet objet , on a considéré les qualités et lesdéfauts des divers métaux, cherchant a évaluer les uns et tes autres, afin de faire poor ainsi dire la part de chacun , méthode qui, par sa difficulté et par l'importance que différentes personnes attachent plutôt à telle qualité qu'à telle autre , peut reculer de beaucoup l'accord à établir entre les prônenrs et les détracteurs du zinc.
4. La question doit être envisagée abstraction faite de semblables considérations ; en effet , il n'est pas douteux qne le sînc , convenablement entretenu , renouvelé an besoin , ne puisse préserver les édifices de l'action des eaux de l'atmosphère, et qu'on grand nombre de matières, y compris même le papier goudronné , ne partagent cette propriété avec lui.
La préférence à donner à l'une d'elles sur toutes les antres dans des circonstances déterminées est une question d'ai^ent.
5. Si l'on considère que l'on peut représenter par une somme d'argent actuellement dépensée , non -seulement le prix de la première construction , mais encore celui de l'entretien annuel , ainsi que des renouvollemens périodiques, il devient évident que le coùi de premier établissement , l'entretien annuel , et
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tel renoaTellemess périodiqaea forment uae sominfl ëqulvalente i celle que l'on dépenserait dani le momeat actuel , si l'on voulait donner une durée infinie à la construction que l'on considère , et s'exempter de tout entretien.
fit La dépense de l'entretien sera un capital , dont les intérêts annuels, cumulés jusqu'à l'époque dn re non Tellement de la con- ■trnction, produiront une somme égale à celle des entretiens annoelsBucoessirsarec leurs intérè ts jusqu'à l'époquesusmeutionDëe.
7. A parler eu toute rigueur, la somme à dépenser par an |Kinr entretenir un toit , jusqu'à sa reconstruction, estTariaUe, et pour plusieurs matières, elle croit avec le temps ; mais cala n'empêche pas que l'on ne puisse représenter la dépense de cet entretien variable , par un capital aliéné à perpétuité j les inté* rets annuels de ce capital équiraudront à la dépense de l'eutrelien annael moyen ; c'est de ce dernier qn'il est question.
8. Le capital de la reconstruction péri«dique est évidemment celui dont les intérêts cumulés produisent, à chaque période, une somme égale a la dépense périodique.
9. La première question qui se présente à résoudre est donc celle-ci : Quelle ett la tomme actuellement à dépemer pour la cons* tmefûm, l'entretien et le renouvellement d'une toiture, conêtruite awo une matière déterminée; ou ce qui revient an même ; combien coûte le mètre carré d'une toiture d'une durée infinie , «k cuiwe , en sine, enplomb , etc., etc. 7
10. La dépense totale d'un toit conêtamment entretenu com^ prend donc :
1° Le capital exigé pour la constrnction primitive ;
3* Celui dont les intérêts couvrent la dépense de l'entretien annuel ;
3° Celui dont les intérêts couvrent la dépensa du rcnonvellement périodiqne ; en ayant égard à la valeur que les macères premières ont alors conservée.
