D = ot». U, ^J, -=•/ — ; a y

la supposition de n=i donne pour l'octaèdre

Il est évident par la formule (19), qu'on ne peut pas faire R > K ; car la supposition de n = 6 donne y 3=0, et m ]> 6 donnerait y imaginaire.

Désirons par x", y' et a' les coordonnées d'un point quelconque , pris dan* rjntérieur de la pyramide , dont P soit la distance au plan u et ^ à l'axe des s ; ce qui donne

«(r— sJ-»-2y lang. ^ ^y

C2wT Sut ^ , y" 00». — y sin. ) sin, U.

Cela posé, en déngnant par S la même chose que dans le parafp'aphe second , on déduit par l'intégration

SP = « (y— a') COS. D,

SP'= n [{y— »')'cos. U" ■*- i^'sin.D"] ,

Spï = n (r— a') COS. U [(y— z'y cos. C m- i ,i" sin. D' ] ,

deiquêlles formules on pent aisément tirer plasieurs conséquen-

C,q,-Z.= bvGOOglf

ces remarquables, rHativesam pyramides. Ainsi, par exemple, on obtient

SP -I- a' = ny cos. U + a' ( I — n eos. U ) ,

vnlcur , qui est absolunient indépeniifliile de la situation du point {x', y', s'), dans le cas de

1 — nco8.D==o,

ce qui donne la détermination snivante :

Si l'on failm=3,ilenrésulle — = • /^, La pyramide doit

par conséquent, dans le cas de N = 3,-èlreun tétraèdre; ce qui donne la propriété connue de ce corps solide, savoir que la somme des dislances d'un point quelconque aux quatre plans est indépendante de la situation du point dans l'espace. Considérons maintenant une autre pyramide, qui ait la même base que la première, mais qui soit tournée de manière que les coordonnées de son sommet soient x^o , y = o etSB=' — y. Soit aussi P' la distance du point (:;', y', x') an plan « do cette dernière pyramide , nous anrons

SP' = n[r-H s') COS. U, et de là aussi

SP + SP' = âfir COS. V-,

laquelle somme est, comme on voit,, indépendante de la situation du point (t', y, s'). On obtient de même

qui dépend seulement de z' et est, par conséquent, la i pour tous les points situés dans le plan s = x'.

MATBtaATIQIIB IT rHTSIQUE. 89

Si l'on désigne par i la diBtfince du point (x', y', s'J à la ligne d'interseclion de» plans u et u -h 1 de In pyramide , par à sa die- (ance nu côté u de la base, pnr D sa distance au coin, qui est forme par les lignes m et « + 1 de la base , pnr r le rayon dn cercle inscrit et par R le rayon du cercle circonscrit à la base , on trouvera les Torinules suivantes :

SJ= =»[tr— »')'co8.U'+ lif-(\ +sin. U')l,

SD- = t.(R'-f-p'-f-a").

On obtiendra aisément des forni ut es semblables pour la somme des puissances quelconques paires de </', (J et D , dans lesquelles il y a cela seulement de remarquable , qu'elles ne dépendent que de x' et de p et nullement de la situation absoltie du point {sf , y', >') dans le plan s = a,'.

Supposons maintenant qu'on ait ane pyramide , dont la base soit un poly^ne cquilaléral, ayant chaque deuxième angle égal et soit Sn le nombre des plans qui entourent son sommet. Pour aroir les ëqnalions de ces plans , prenons l'origine des coordonnées an centre de la base , l'axe des x parallèle au côté 3n dn polygone , l'axe des y perpendiculaire à celui des x dans le plan de la base, l'axe des x perpendiculaire au plan des xy et dirigé vers le sommet de la pyramide. Soit de plus b le câté de la base , y la distance de son centre au sommet de la pyramide , laquelle iHi suppose perpendiculaire au plan des xy, ett l'angle que fait le , premiercôtéde la baseavec celui dontle nombre est 3n, et appelons le plan w celai qui passe par le côté w de la base. Or , puisqu'un quelconque de ces plans doit passer par le sommet de la pyramide dont les coordonnées sontai^o, y^oets = y, on pourra supposer que l'équation du plan S« soit

a = Ay ^ Ej: -t- r (20) ,

L, z .iv.GoogIc

90 cMumflUHGi

et t'ëqnation ia plan tu — 1

s^Cy+D^-t-y (ÎI)

Pour trouver les valeurs des coeffioiens A , B , C et D , j'observe que, pnisquele plan 2u doit passer par le côté 2u, elle plan 2u — I parlecàlëSu — 1 de la base, il fautque les équations (30) et (11) deviennent identiques avec les équations (7) et (9) par la supposition de A = o; ce qui donne

r Sur