TOME III
MÉCANKJUE
PARIS GAUTHIEH-VILLARS et 0% ÉDITEURS
LIBRAIHES DU BURKAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 55, Quai des Grands-Auguslins, 55
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EXERCICES DU COURS
EXERCICES RESOLUS
1. On donne le mouvement défini par les équations (i) ^=3' y—V ~ = t^-9i'
Calculer les composantes des vecteurs vitesse et accélération. Dire quelle courbe est riiodographe. Construire les diagrammes des xntesses et des espaces. Calculer V accélération tangentielle et l'accélération normale. En déduire l'expression du rayon de courbure en fonction de y.
Les composantes du vecteur vitesse sont
(2) x'=it\ y=it, 5' = 3/^- 9.
Si, dans ces équations, on regarde x\ y', z' comme des coordonnées courantes, elles constituent les équations paramétriques de i'Iiodographe. On en conclut que cette courbe est une parabole., dont le plan a i)0ur équation
dont l'axe se trouve dans le plan des zx (en cliangeant ^ en — t, on reconnaît, en eflTet, que ce plan est un plan de symétrie) et dont le sommet a pour coordonnées (o, o, — 9).
Haao. — Exercices. III. i
Les coniposaiiles du vecteur accélération sont
(3) - x'zz^lt, y''-=.\^ z'^Gt.
l'^n dérivant encore une fois, on obtient les composantes (rî, o, Oj du vecteur aecéléralion du point qui décrit l'iiodographe. Le mouvement de ce point est uniformément varié (n" 18).
La vitesse c est donnée par la formule
(4) i--^=jc'--\-r''--^ z'-= t'-'-Jr i--^<^){l-— 3)-= loZ'- — 53/"-+ Si. On a ensuite
(5) 5= f vdL
Pour construire les diagrammes, commençons par calculer le minimum de ('. En annulant la dérivée de v- par rapport à t-, on trouve que ce minimum est atteint pour
La valeur correspondante de r est donnée par
(7) r'=-^-i-8i = io.S, ('==3,3.
GUerchoas maintenant une valeur asyraptolique de r pour les grandes valeurs de /. Nous pouvons écrire
INoMs avons donc la valeur asymptotique
(9) i»— \/Tô(^a— 3,05).
Si on l'applique pour /r:=4) f>" trouve \9,,?>, alors que la valeur calculée d'après (4) est ^9.^f\. La différence est pratiquement négligeable et l'on peut admettre la formule (9) pour f >4- Cela revient à remplacer le diagramme des vitesses par sa parabole asymptote (t. II, n" ît2^).
Calculons maintenant les vaileurs dç t» et de s (cette dernière quantité par la méthode des trapèzes), pour d'es \'îi}eurs de / échelonnées de demi-
NOTIONS GENÏRAïiES DE CINÉMATIQUE. J
seconde en demi-seconde et allant de o à 4- ^ous avons 'lîi feiiiiie de calculs ci-de'sous, où toutes les multiplications ont été faites à la règle.
0,06 3 I 5,06 iG 39 8i 1)0 v56
-^8i.. 81, g:} yi i3i,6 241 471 891 i)8i 2641
I^our le calcul de A.ç, on a multiplié («'o-l- ('1) par — •
Les valeurs de s pour ^ > 4 sont données approximativement par la formule asymptolîque
(10) s = v'to / {t^- — 2,65) dt + 55,8 := \ io| — — 2,65/^ j -f- 21 ,9.
Les deiix diagrammes sont reproduits sur la figure i, entre les valeurs o et 4 de i- Les tangentes aux points A et B du diagramme des vitesses soiît horizontales. La tangente en () au diagramme des espaces a pour coefficient angulaire 9; elle passe par le point T, qui correspond à t=^i^ ■Qi s=r<)™. Le point C €st «n jxiinl d'inflexion, car la pente r y passe par un minimum. Avant C, la concavité est tournée vers le bas, car V décroît; au delà de C, elle est, au conti-aire, tournée vers le haut. La tangente en C a pour coefficient angulaire 3,3; elle passe par le point T' correspondant à t = 2*, 63 et à .9 = l-VS'-
Pour calculer Taccélération tangenlielle, dérivons (4j :
(H''r^ 20 f* — 53^ ; d'où , , , ^(2of^-53)
I^our calculer Taccélération normale, nous calculons d'abord l'accélération totale
iVous avons ensuite
(]3) yl=Y'-y
^ (/,o^2+i)(io^— 53r^+8i) — <-(2o^^— 53)^
Fig. I.
in
0 0.5 I 1.5 2 2.5 3 3 5 't 5eco/7c^ei
Four avoir le rayon de courbure K, il nous suffit maintenant d'égaler
ce résultat à -rr-' on en tire
10/''+ 378^^+81 4oj'*+756j-i-8i
2. Construire les diagrammes des vitesses, des espaces et des accélérations tangentielles d'un mouvement, dont on a mesuré les vitesses,
de seconde en seconde, les résulials de ces mesures, en mètres par seconde, étant consignés dans le Tableau ci-dessous :
A partir de la quinzième seconde, on peut considérer la vitesse comme pratiquement constante et égale à 20"' par seconde. -\ous nous bornerons donc à construire les diagrammes jusqu'à /=ri5.
Nous commençons par porter, sur du papier quadrillé, les points expérimentaux, (marqués par des croix sur la figure 2). Puis, nous
Fi?. 2.
tS
^ol
3iSs/y
2or\
sses
kI
"t^ëëreUon. tan^e
traçon> une courbe régulière passant aussi près que possible de ces points et en laissant à peu près autant d'un côté que de l'autre. Nous avons ainsi le diagramme des vitesses.
t) CUAPITilC l.
Pour eousLnilre le diagramme des espaces, nous lisons, sur le diagramme précédemm^at «cojîstruitj les valeurs reciiiiées des viles&es, pour les valeurs entières de t. Puis, nous intégrons par la méthode des trapèzes. Le résultat de ces lectures et calculs est consigné dans le Tableau ci-des*ious :
/. V. Av. g. t. V. As. s.
o o iT) , 5 o 8 - 43 '1" ) ^ -'«"^
Chaque As est égal à la demi-somme des c de sa colonne et de la colonne suivante.
Nous marquons maintenant tous les points (/, s) ainsi déterminés et nous les joignons par un trait continu. La courbe a une allure très régulière, bien qu'elle ait été construite d'une manière entièrement empirique. Il en est ainsi toutes les fois que l'on a aflaire à une courbe obtenue par intégration ; cela tient à ce que Jes erreurs accidentelles secompensent sensiblement dans l'intégrale.
Au point A le plus baut du diagramme des vitesses, correspond le point d'inflexion B du diagramme des espaces. La tangente en ce point a pour coefficient angulaire 67, ordonnée de A ou rilesse maximum. Elle passe par le point (^z=:7,9; «==173 H-iij x 4=^44t)-
La tangente en 0 est 0^, puisque la vitesse initiale est nuMe.
A partir de ^ = i5, le diagianune des espaces est une droite de coefficient angulaire 25.
Pour construire le di-agramrae des accélérations tao^ntielles, nous
calculons les \al«ors de -— pour les valeurs rondes de l. Pour t=:(),
dt ^ '
nous avons mené la tangente en O au diagramme des vitesses et avons évalué son coefficient angulaire, en lisant l'ordonnée du point d'abscisse I. l^our les autres valeurs de t, nous avons pris comme valeur approchée de la pente la difierence des ordonnées correspondant au\
abscisses t -\ et / : c est au moins aussi précis que de mener la
tangente au sentiment et d'en mesurer h; coefficitent amçuJsiîre et c'est
plus simple. Les résnltals de ces opératio-ns ont été les suivants :
37, •iôy if), 8, o, — 5, — 7, — 7, — 6, — 5, — 4î — 3> — •.^, — I , — i , o.
Nous en avons déduit autant de points du diagramme cherché et nous avons joint ces points par un trait continu.
La courbe ne peut piasser exactement par tous les points calculés. Cela tient à ce que la dilTérentiation empiri([ue est toujours une opération peu précise, contrairement à Fintégration.
Le point C de rencontre avec Oi correspond évidemment au point A du diagramme des vitesses.
3. Déterminer le mouvement d'un point M, connaissant la trajectoire et un diagramme ou bien Vhodographe et un diagramme ou bien la trajectoire et V kodographe.
Faisons d'abord observer, au sujet des diagrammes, que si l'on connaît l'un quelconque d'entre eux, on peut en déduire les deux autres par dérivation ou intégration; quel que soit le diagramme donné, nous pouvons donc supposer qu'o/i les connaît tous les trois et utiliser celui qui nous conviendra le mieux. Cela posé, examinons successivement les trois problèmes de l'énoncé.
L On donne la trajectoire et un diagramme. — On connaît s en fonction du temps. Pour avoir la position du mobile au temps ^, il suffit donc de rectifier la trajectoire.
n. On donne l' kodographe et un diagramme. — Soit ni le point qui décrit Ihodographe. Le diagramme des vitesses donne Om en fonction de t. On pourra donc calculer les coordonnées de m en fonction du temps, en prenant l'intersection de l'hodographe avec une sphère de centre O et de rayon c. En intégrant ensuite ces trois coordonnées par rapport à t, on aura les coordonnées de M. La détermination des constantes d'intégration exigera qu'on se donne la position du mobile à un instant quelconque, par exemple, au temps zéro.
in. On lionne ta trajectoire et t kodographe. — Imaginons qu'on ait exprimé les coordonnées x, y, ^ d'un point quelconque M de la trajectoire en fonction d'un paramètre quelconque //. 11 s'agit de déterminer ce paramètre en fonction du temps, pour que les trois dérivées x\ y' , z' satisfassent aux deux équations de l'hodographe. Or, ces trois dérivées peuvent s'exprimer en fonction de u et de u', au moyen du théorème des
fonctions de fonction. En les portant dans les équations de riiodographe. on obtient deux équations en u, ii\ qui doivent avoir au moins une solution commune en u' , quel que soit u. (Ceci revient à dire que la parallèle menée par O à toute tangente à la trajectoire doit rencontrer riiodographe, ce qui est bien évident a priori. Le cône de sommet O, ayant pour directrice l'hodographe, doit coïncider avec le cône directeur des tangentes à la trajectoire.) Si cette condition est remplie (*), on en tire une équation de la forme
d'où
Cette équation détermine la loi du mouvement.
4. Déterminer le tiiouveinent d'an point M sachant que l'hodographe a pour équations
(i) y — ^\ xy — z\lï
et le diagramme des vitesses
(2) Zç^—i^—\. (É. P., 1906.)
C'est le problème 11 de l'ex-ercice précédent. Nous avons
d'où
On pourrait maintenant exprimer o:, y, z en fonction de / et remonter à la trajectoire par trois quadratures, comme il a été expliqué dans l'exercice précédent. Four éviter l'introduction de radicaux, gardons x comme paramètre. Si X, Y, Z désignent les coordonnées du mobile M,
(') l'^lle l'est toujours en Ciurnialique plane, puisque l'Iiudngraplic nu pussède alors qu'une équation.
NOTIONS GKNEMALES DE CINEMATIQUE. 9
nous avons, en remarquant que dt^=.ixdx^
1 ce 2 X^
i \= j X dt= j 2X'- dx = — ^— ,
( 4 ) ' Y = f y dt = A x^ dx = —,
Z= f.d,= f'-idx=^.
Les équations (3) et (4) nous donnent, en définitive, le temps et les coordonnées du mobile, en fonction du paramètre x. Nous connaissons donc la trajectoire (par ses équations paramétriques) et la loidu inouvenienl sur cette trajectoire.
(Dn peut encore se proposer de chercher le vecteur accélération. Ses composantes sont
, . , dx T , dy , dz \/^
dt IX - dt '^ ^ " dt~~ 1
Si l'on mène ce vecteur par l'origine, on voit immédiatement que son extrémité, dont les coordonnées sont x', y\ z', décrit une hyperbole équilalère, ayant pour équations
Un point M parcourt l'ellipse
de telle manière que V hodographe soit un cercle de rayon R et dont le centre, situé sur Oj', a pour ordonnée eR, e désignant Vexcentricité de rdlipse. Déterminer ce mouvement.
Appliquons la méthode générale indiquée, dans l'Exercice n° 3, pour la solution du problème III. Prenons comme paramètre u l'angle d'anomalie excentrique de M (t. Il, n° 529). Nous avons
(2) x' z=. — a sin «.//', y' =z b cosu .u' -^
en nous rappelant que e =3 - (t. Il, n" 534).
lO niAPlTRE I.
l'orlons ( 2) dans (3) :
( 4 ) ii'-( a^ sin- u -\- b' cos- II) — 2el\b cos 11 .11' 7- = o.
Késolvons celle équalion du second degré par rapj>orl à u' ou, mieux, par rapporl à —; il vient, lous calculs faits,
(5) ^=^(±,ecos»).
Si l'on change // en 7: — //, les signes du premier terme se permutent. Comme cela revient à remplacer le point M par son symétrique par rapport à Oy, on ne diminue pas la généralité de la solution en supprimant, par exemple, le signe — ; nous avons alors
(i — e cos it) du ^=11 — e sin 11,
en négligeant une constante d'intégration, qui reviendrait à changer Torigine des temps.
On reconnaît Féqualion de Kepler, caractéristique du mouvement des planètes (n" Oi).
6. Déterminer le inouvement d^ un point M Rur une courbe plane C donnée^ connaissant, pour chaque position, langle a du vecteur vitesse avec le vecteur accélération.
Première solution. — Utilisons les composantes intrinsèques du vecteur accélération (il** 8); nous avons
dv
y cos/7 =z
-, ysin.=
Eliminons
'inconnue y :
dv li ~
^COlr?rr.=/(.v)
fis) désignant une fonction connue de s, puisque l'on connaît, en fonction de cette variable, a et le raj'on de courbure K.
Reste à intégrer l'équation (2), qui, si l'on remplace v par —, devient
une équation difrérenlieile du second ordre où ne iigure pas /. On sait que, pour intégrçr une telle équation, on prend .v pour variable indépen-
NOTIONS GENEBAEBS I»E CINEMATIQUE. f I
dante et -r- pour fonction inconnue (t. 1, n° 105): autremeiit dit, nous
devons éliminer le temps de l'équation (2), en y remplaçant dl par- — ; nous obtenons ainsi
doii
(3) lo^^ =^ Jf{ s} cTs.
Ayant r eu fonction de s, soit r=r^(6)j ou en Lire
et Ton connaît la loi du mouveuftent.
Deuxième solution. — Appelons x, y les coordonnées du point M au
temps t. Les coefficients angulaires des vecteurs vitesse et accélération
sont "—, et ^; on doit donc avoir, en appliquant la formule (25) du n° 68
du Tome II,.
(:j) tang/7
Supposons maintenant que les équations paramétriques de la trajectoire soient
Nous avons
x' = j'u\ y=^rfa\ x" — f u" + f u'\ y" z=z g' u" -V g' u'\
Portons ces valeurs dans (5) :
De cette équation on tire, puisque a est connu en fonction de u, (8) if"=.Ku'\
A désignant une fonction connue de u . Cette équation s'intéiire comme Téquation (2). On a successivement
(9) log,/'=yAr//.z=logB. ^==/ï-
7. Courbes de poursuite. — Un point P décrit Ox avec une vitesse uniforme V. Un point M se meut dans le plan en se dirigeant constamment vers P et avec une vitesse v également constante. Connaissant les positions initiales des deux mobiles^ déterminer le mouvement de M. (C'est le mouvement d'un chien qui veut rattraper son maître.)
Prenons pour origine la position de P au temps zéro et prenons un axe Oy perpendiculaire à Ox. Introduisons l'angle polaire // du vecteur vitesse de M. Si ^ el y sont les coordonnées de ce point au temps /, la condition qui exprime que la vitesse de M est dirigée vers P s'écrit
D'autre part, en projetant le vecteur vitesse de M sur les axes, on a
(2) x'z=zvco?iU, y'=zv?,\nu.
Il s'agit d'intégrer le système des trois équations (1), (.i), qui relient les quatre variables x, y, //, /. A cet effet, nous nous inspirons des principes généraux exposés au n° 3i8 du Tome II. La variable la plus facile à éliminer est le temps. Résolvons (i) par rapport à \^ :
(3) ^ t :=! X — yco\.u;
puis, dérivons cette équation par rapport à ^; il vient, en tenant compte de (2),
( .1 ) V = f cos II — r cos u + y -: ^= y —. •
^ ' -^ bin^ Il -^ binhi .dt
Pour éliminer dt, nous le tirons de la deuxième équation (2) :
dy ( .0 ) s I n // . c// nr -^
Portant dans (4), il vient
ou
VY du
sin II .(ty
dv
V du
\ sin// '
d'où
l'^gr = =^loSla"g - + 'o§C: (C^const.);
d ou, en posanL rr :r= /;?,
(8) v = c(^lang^
Nous avons maintenant, en éliminant dt entre les deux équations (2),
cosLi tançr
rtj? 1= colii dy =z col um y -. =: /nL> r— ; dn.
•^ "^ smu sin-a
Pour intégrer, nous posons, suivant la méthode générale (t. I, n" 1G9),
(9) tang^zrr;;
il vient
djc =: Lim ^ dz ;
d'où, en intégrant,
(10) j:- = G — ( -^ \^x, (a^, = const.)-
Ceci suppose toutefois in^-i. Si /« nr i , on a
(.1) ^^^(^log. -£:) + ..,
L'équation (8) s'écrit, d'autre part,
(12) j=zCc"'.
Finalement, les équations (10) et (li) ou (11) et (12) constituent les équations paramétriques de la trajectoire. Il ne nous reste plus qu'à trouver la loi du mouvement, c'est-à-dire la relation qui lie ^ à ^. Pour cela, nous nous servons de (3), qui nous donne
(i3) \t = x-Cz"'- -=.r,-^ ^' "
Dans le cas particulier où /« =r i , on a
(i4) Wt=^[\osz-h ^-i ]-h-ri.
l4 CHAl'liaE. ».
11 ne nous reste plus qu'à déterminer les constantes d'intégration C et .r,. Soient (^or /o) les coordonnées de la position initiale du point M. Si l'on fait t = o dans (3), on en tire
(i5) tang //o=:---^.
Connaissant «„, on peut en d'éduïre z^^ d'après (g). Portant dans (12). on a G. l^ortant enfin dans (10) ou (i i), on a a:,.
Par un ebangemenl d'origine des coordoanées^ oni peut évidemment s'arranger pour que .Çj soit nul. (Il faut remarquer que cela entraîne, en même temps, un cliaii/gement d'origine des temps, puisque nous supposons toujours que. cette dernière est ï'instant où P passe à Torigine des coordonnées.) Par une homothétie, on peut ensuite ramener la constante C à être égale à i.
Les trajectoires que nous venons de déterminer portent le nom de courbes de poursuite, qui rappe-Ue leur o-rigine. Elles sont algébrique^v et même unicursales lorsque /«est conimensurable et dillerent de i. Par exemple, pour rnz=.o.. on a une cubique.
EXERCICES PROPOSES
1. On se propose de déterminer la FoT d'un mouvement rectiligne. A cet effet, on note la position du mobile de demi-secon-de en demi-seconde,, pendant 10 secondes. On trouve cpie les chemins parcourus depuis l'origine sont, en mètres :
O, 4> 1"5 20, .5."), 52, 81, 100, \[\0, l'^d, 2TO, 25o, So").
Construire les diagrammes des espaces, des vitesses et des accélérations. Chercher wne formate empirique susceptible àe représenter a-pproxinaalivemenl. ïc m ©«venaient!..
(On constatera que Pes deux, derniers diiagraiHinnes sobiB à pieu près des droites.)
2. Pour déLeraùuej la Loi d"un mouvemeal rectrJig;n,e, on mesure sa' vitesse de seconde en seconde et l'on obtient les résultats suivants, en mètres par seconde :
89,2; -:>; 65,3; 55,2; .'17^2; 4i; 35-, '1; 3<); 35,5; 21,9; 19,5; iG,i; i./j; ia,3; r<>,i; 9; 7,3; 6,8.
— Si
S- H- lo,
NOTIONS GENKlt.VLKS DE CINKMATIQUE. I)
Con:^liuire les diagrammes des vitesses et des espaces, puis le dingrarame obtenu en portant les vitesses en abscisses et les espaces en ordonnées. De ce dernier, déduire une loi empirique du mouvement. (Le dernier diagramme est sensiblement une droite.)
3. Déterminer la loi d'un mouvement, connaissant la vitesse en fonction de l'espace. Applications :
CI) ,11) ,111) .iV)
k. Pour déterminer la loi d'un mouvement rectiligne, on a mesuré la vitesse pour des positions du mobile distantes les unes des autres de 20<^"'. < tn a obtenu les résultats suivants, en mètres par seconde :
o, i65, 25o^ 33o, 3-(), 4*^2, ^i^), ^4"^-, 449, 460, 473, 4/6, 482, 486, 49'^) 507, 5i(), 5io.
Construire les diagrammes des espaces et des \Itesses.
o. Soient M la position d'un mobile au temps t et M' sa position au temps t^h. Si, à partir du'temps /, le mouvement avait été rectiligne et uniforme, le mobile aurait occupé, au temps t -{- A, une certaine position M". Le vecteur M "M' porte le nom de r/ecta^/o/i pendant l'intervalle considéré. Démontrer que, si // est infiniment petit principal, la
