Cours d' analyse de l'Ecole royale polytechnique; par m. Augustin-Louis Cauchy ... 1.re partie. Analyse algebrique
Ingénieur des Ponts et Chausse'es, Professeur d’Analyse à l’École polytechnique, Membre de l’Académie des sciences, Chevalier de la Légion d’honneur.
I e PARTIE. Analyse ALGÉBRIQUE .
DE L’iMPRIMERlE ROYALE.
Che4 Debuue frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Rot , lue Serpente, n.° 7.
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INTRODUCTION
Q üelques personnes, qui ont bien voulu guider mes premiers pas dans la carrière sciences , et parmi lesquelles je cite- >■*» avec reconnaissance MM. Laplace et 0iSSOn’ “yuut témoigné le désir de me voir publier ie Cours d’anaivse de fÉcoie
royale polytechnique , je mc suis décHë
a mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves. J’en offre ici ia première partie connue sous ie nom <V Analyse alsebH1™> et dans iaqueiie je traite suceessivcmcnt des diverses espèces de fonc-
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lions réelles ou imaginaires , des séries convergentes ou divergentes, de la résolution des équations, et de la décomposition des fractions rationnelles. En pariant de ia continuité des fonctions , je n’ai pu me dispenser de faire connaître les propriétés principales des quantités infiniment petites , propriétés qui servent de base au caîcul infinitésimal. Enfin, dans les préliminaires et dans quelques notes placées à ia fin du volume, j’ai présenté des déveioppemens qui peuvent être utiles soit aux Professeurs et aux Eièves des Collèges royaux , soit à ceux qui veulent faire une étude spéciale de i’anaiyse.
Quant aux méthodes , j’ai cherché à leur donner toute ia rigueur qu’on exige en géométrie , de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de ia généralité de faigèhre. Les raisons de cette espèce , quoique assez communément admises, sur-tout
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dans Je passage des séries convergentes aux séries divergentes , et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentit quelquefois la vérité , mais qui s’accordent peu avec l’exactitude si vantée des sciences mathématiques. On doit même observer qu’elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie , tandis que, dans la réalité, la plupart de ces formules subsistent uniquement
certaines conditions, et pour certaines
™ CUrS des quantités qu’elles renferment " detem>ina„t ces conditions et ces valeurs, et en fixant d’une manière précise le 7nS d6S n,)tations dont je me sers, je fais disparaître toute incertitude; et alors les ci entes formules ne présentent plus que es relations entre les quantités réelles, reçus qu H est toujours facile de vérifier
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par la substitution des nombres aux quantités elles - mêmes. II est vrai que , pour rester constamment fidèle à ces principes , je me suis vu forcé d’admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord. Par exemple, j’énonce dans le chapitre VI, qu '‘une .série divergente n’a pas de somme ; dans le chapitre VII, qu 'une équation imaginaire est seulement la représentation symbolique de deiix équations entre quantités réelles ; dans le chapitre IX, que, si des constantes ou des variables comprises dans une fonction } après avoir été supposées réelles , deviennent imaginaires } la notation à l’aide de laquelle la fonction se trouvait exprimée , ne peut être conservée' dans le calcul qu’en vertu d’une convention nouvelle propre à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse ; &c. Mais ceux qui liront mon ouvrage reconnaîtront,
JL‘ i espère, que les propositions de cette nature , entraînant l’heureuse nécessité de mettre plus de précision dans les théoiics, et d apporter des restrictions utiles à des assertions trop étendues , tournent au profit de i analyse, et fournissent plusieurs sujets de recherches qui ne sont pas sans importance. Ainsi , avant d’effectuer hi sommation d’aucune série, j’ai dû examiner ans quels cas les sériés peuvent être sommées, ou, en d autres termes, quelles sont h s conditions de leur convergence ; et j ai, à et sujet, établi des règles générales
qiU me paraissent mériter quelque attention,
Au reste, si j’ai cherché, d’une part, à perfectionner l’analyse mathématique, tle • autic, je suis loin de prétendre que cette analyse doive suffire à toutes les sciences ‘le. «bonnement. Sans doute , dans les sciences qu’on nottnne naturelles, la seule
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méthode qu’on puisse employer avec succès consiste à observer les faits et à soumettre ensuite les observations au calcul. Mais ce serait une erreur grave de penser qu’on ne trouve la certitude que dans les démonstrations géométriques, ou dans le témoignage des sens; et quoique personne jusqu’à ce jour n ait essayé de prouver par f analyse l’existence d’Auguste ou celle de Louis XIV, tout homme sensé conviendra que cette existence est aussi certaine pour lui que ie carré de fhypothénuse ou ie théorème de Maclaurin. Je dirai plus ; ia démonstration de ce dernier théorème est à ia portée d’un petit nombre d’esprits, et ies savans euxmemes ne sont pas tous d’accord sur l’étendue qu on doit iui attribuer ; tandis que tout ie monde sait fort bien par qui ia France a été gouvernée dans ie dix-septième siècle, et qu iï ne peut s eiever à ce sujet aucune contestation raisonnable. Ce que je dis ici
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d un fait historique peut s’appliquer également à une foule de questions, en religion, en morale , en politique. Soyons donc persuadés qu il existe des vérités autres que les délités de I algèbre, des réalités autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathématiques, sans vouloir les étendre au-delà de leur domaine; et n’allons pas nous imaginer qu’on puisse attaquer 1 histoire avec des formules, ni donut 1 pour sanction à la morale des théorèmes d’algèbre ou de calcul intégral.
h*n terminant cette Introduction , je 11e puis nie dispenser de reconnaître que les lumières et les conseils de plusieurs personnes m’ont été fort utiles, particulièrement ceux de MM. Poisson , Ampère et riolis. Je dois à ce dernier, entre autres hoses, la règle sur la convergence des Produits composés d’un nombre infini de facteurs , et j ai profité plusieurs fois des
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observations de M. Ampère, ainsi que des méthodes qu’il développe dans ses Leçons d’an al y s c.
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