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RENVOIS DU TOME II AU TOME î

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4i3 II'

Complément au ^ 7 du chapitre IV :

Unicité du développement trigonométrique.

Les résultats que nous avons exposés sur cette question dans la deuxième édition du tome II peuvent être considérablement généralisés, comme nous l'avons reconnu depuis et montré dans notre récent Mémoire Sur l'Unicité du développement trigononiétriqne (*). Il suffit, pour cela, de s'appuyer sur les théorèmes relatifs à la dérivée seconde généralisée auxquels nous avons consacré le § 4 du chapitre VIII du tome I (3e édition).

Nous allons exposer ici ces généralisations, en indiquant les additions qu'il convient de faire à cet effet respectivement aux n^s 160, i63 et 168 du tome II (2^ édition). On suppose ces additions intercalées respectivement dans le texte à la suite de chacun de ces nos.

Addition au 11° 160. — Voici un autre théorème, analogue au théorème précédent de M. Lebesgue :

Théorème. — Une série frigonotnétri jue dont le terme général est ^m cos m{x — oLm) a l'une au moins de ses limites d'indétermination infime presque partout si pm n'est pas borné (**).

Soit s,n la somme des m premiers termes de la série. Si Sm était borné quel que soit m, le terme général (qui est la différence de deux Sm consécutifs) le serait aussi. Il suffit donc de prouver que si pm n'est pas borné quel que soit m, le terme général pm cos m{x — a^,) ne peut l'être que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle.

Si Pm n'est pas borné, on peut extraire de la suite positive pi, pi,... une suite constamment croissante. Il suffit de démontrer la proposition par celle-ci. Admettons donc tout de suite que pm croisse avec m.

Soit Em l'ensemble des points de l'intervalle (0,21^) pour lesquels on a

I pm cos m (x — Oim) I > \Jpm OU COS m{x — a.m) > —=^.

Mpm

(*) Bulletin de l'Académie royale de Belgique. (Classe des sciences) n" 11, 1912 et no 1, 1913.

(**) C. de la Vallée Poussin, Bulletin de l'Académie royale de Belgique. {Classe des sciences), igiS, no i, pp. 9-14.

La mesure de Km tend évidemment vers 27: quand m et pm avec lui tendent vers l'infini.

Or p'm cos m{x — cim) ne peut être borné quel que soit m si x appartient à une infinité d'ensembles de la suite Ei, E.,... c'est-à-dire à l'ensemble limite complet E de cette suite. Mais, quelque petit que soit e, cette suite contient une infinité d'ensembles de mesures > 2T. — £, donc E est de mesure > 2^ — e (t. I, no 8i) et, par conséquent, de mesure 27t, puisque £ est arbitraire. Ainsi son complémentaire (qui contient tous les points où pm est borné) est. de mesure nulle, C. Q. F. D.

Addition au 11° 163. — Remarque. — On démontre d'une manière analogue la proposition suivante :

Si, pour une valeur donnée de x, la somme Sn des n premiers termes de la série (1) est bornée quel que soit n, l'expression (3) le sera aussi quand a tendra vers 0 et ses limites d'indétermination ne surpasseront pas en valeur absolue l'expression kS, où k est un facteur numérique indépendant de x et S la plus grande limite de \ Sn | .

En effet, en substituant Sn+i — 5„ à An, l'expression (3) devient

-^ r/sin(.-i)aY/sin»aYl n=i LV («— l)a J V «a y J

Pour déterminer les limites d'indétermination de cette somme, on peut faire abstraction d'un nombre de termes aussi grand qu'on veut au début, car tous ces termes tendent vers 0. On peut donc raisonner comme si tous les Sn ne pouvaient surpasser qu'infiniment peu S. Les limites d'indétermination ne surpasseront donc pas en valeur absolue

ce qui prouve la proposition.

Addition au n^ 168. — La démonstration de ce théorème de AL Lcbesgue résulte naturellement des principes exposés dans les n<'s précédents. Alais on peut aller beaucoup plus loin, à la condition d'utiliser les théorèmes plus généraux sur la dérivée seconde généralisée, exposés dans le tome I (Chap. VIH, §4). On a, en effet, le théorème suivant :

Théorème. — Si une fonction finie et sommable f{x) de période q.-k admet un développement trigonométrique, ce ne peut être que celui de Fourier.

Comme /(a;) est la dérivée seconde généralisée de la fonction F(;tr) définie par (2) en chaque point de convergence de la série (1) (n^ i63), le théorème précédent n'est qu'un cas particulier du théorème plus général que voici :

Théorème. — Soit toujours Sn la somme des n premiers termes de la série trigonométrique quelconque -{X), convergente ou non. Si, n tendant vers V infini, les plus grande et plus petite limites de Sn sont des fonctions finies et sommablés de x, la série trigonométrique (1) est la série de Four ter de chacune des dérivées secondes généralisées {supérieure et inférieure) de ¥{x).

Soient '\ii{x) et '!^o{x) les limites d'indétermination (fonctions de x) de Sn quand n tend vers l'infini. Elles sont donc finies et sommables par hypothèse.

La fonction ¥{x) construite par la formule (2) sera continue (no 162), parce que les coefficients an et bn seront bornés par hypothèse (en vertu du théorème indiqué ci-dessus comme addition au no 160) et, par conséquent, la série (2) sera uniformément convergente.

Considérons, pour fixer les idées, la dérivée seconde généralisée supérieure de ¥{x). Cette fonction cfi(Ar) est la plus grande limite de ^-F{x) : 4x2 quand a tend vers 0 ; elle est donc finie et sommable, parce qu'elle ne peut surpasser la fonction sommable ^ | ']^i | + ^ | '^2 I en vertu de la remarque ajoutée ci-dessus au no i63,

La primitive de «f i(,r) se construit donc par le théorème du n° 276 du tome I (en y remplaçant/ par ^i) ; il vient ainsi

F{x) = ^dx T'f i(^) dx + Px + q, .a Ja

F'{x)^ r'fi(^)+^.

Soient a^n et 3>n les constantes de Fourier de 'f i(.r), à savoir

I f2~ I f-^TT

a?n = ^ I ^i{x) cos mx dx, '''m. = - ) «pi(;i^) sin mx dx.

Multiplions par — cos mx dx les identités

\'¥(x) = [¥'{x + t) — ¥'{x — t)\ dt= \ dt\ cpi(;^ + m) du ;

puis intégrons les deux membres extrêmes par rapport à a; de 0 à 2'^. Observons que l'intégration peut se faire sous le signe J et que f 1 étant périodique, on a

— \ (Diix -\- u)cosmx dx = ~-\ <j>i{x) cos m{x — u) dx = a.ni COS mu H" P»? sin mu ; nous trouvons ainsi (l'intégrale du sinus étant nulle)

\ ii.'^¥{x) cos mx dx = '■J.))f\ dt cos mu du = ^ol^ '^Jo .'o J—

D'autre part, en remplaçant ^'^¥{x) par son développement uniformément convergent tiré de (3), à savoir

\oT-/ \ v/ 17 • ,/^sin«a^■- ^'t{x) ^ 4.L [Un cos nx + On sm }IX)

nous trouverons comme valeur de la même intégrale

•.„„,, , sin^wa ■^-b[x) cos mx dx = ^um ^ — •

Comparant les deux résultats, il vient am = o^>n ; de même,^m = {i>n- Donc la série (1) est la série de Fourier de 'fi{x). C. Q. F. D.

Le théorème précédent peut encore être généralisé de la manière suivante :

Théorème. — Considérons une série trigonométrique (1) dont les coefficients tendent vers 0. Si les plus grande et plus petite limites de Sn pour u infini sont des fonctions sommabies de x, finies sauf peut-être dans un ensemble E, la série trigonométrique sera la série de Fourier de chacune des dérivées secondes généralisées de V{x), pourvu que V ensemble E nait pas la puissance du continu ou ne contienne pas d'ensemble parfait.

Ce théorème se démontre comme le précédent en substituant seulement au théorème du n» 276 du tome I celui du- no 277. On observe que, an et bn tendant vers 0 par hypothèse, ¥{x) vérifie la condition (K) invoquée dans ce théorème, en vertu du deuxième théorème de Riemann (n" 164).

Ce théorème fournit, en particulier, l'extension suivante du théorème d'unicité de Heine-Cantor (no i65) :

Corollaire. — Une Jonction f{x) périodique de période 2- ne peut admettre deux développements trigonométriques qui convergent partout et cela vers f{x), sauf dans un ensemble n'ayant pas la puissance du continu ou ne contenant pas d'ensemble parfait {en particulier, dans un ensemble dénombrable).

On se débarrasse ainsi, comme on le voit, de la condition de réductibilité admise au n" i65.

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