II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

dance entre A et At ne sont pas toutes indépendantes. Ainsi, pour que la correspondance soit anivoque, il est nécessaire que A ne change pas de signe dans la portion Ai du plan (u, v). Supposons en effet que A soit nul tout le long d'une courbe Yt^ séparant la région de Ai où A est positif de la région où A est négatif. Prenons un petit arc mi^i de Yi et une région très petite de Ai renfermant l'arc mi/ii; elle se décompose en deux régions ai et a\ ayant mi/ii pour ligne de séparation {Jig. 26).

Fig. 26.

Lorsque le point (a, v) décrit l'aire a^ où A est positif, le point {x,y) décrit une aire a, de contour mnpni^ et les deu\ contours niin\Pimiy mnpm sont parcourus en même temps dans le sens direct. Lorsque le point (u, v) décrit l'aire a',, où A est négatif, le point (:r, y) décrit une aire a', dont le contour nmqr doit être décrit dans le sens inverse, lorsque n\mxqin\ est décrit dans le sens direct. Celte aire a' doit donc recouvrir en partie l'aire précédente a; à tout point {x,y) de la partie commune nrm correspondent deux points (m, i') de part et d'autre de la ligne mi/ij.

Posons, par exemple, X — :r, Y — >'*; on a A ~iy. Si le point {x,y) décrit une aire fermée renfermant un segment ab de l'axe des ar, on voit sans peine que le point (X, Y) décrit deux aires situées au-dessus de l'axe des X, cl terminées l'une et l'autre à un même segment AB de cet axe. Une feuille de papier repliée sur elle-même suivant une ligne droite tracée dans cette feuille donne une idée nette de la surface décrite par le point (X, Y).

Il ne suffit pas que A conserve le même signe dans Ai pour que la correspondance soit univoque. Prenons par exemple X — x^ — /*, Y = ixy; le jacobien A = 4(^*-hj^*) est toujours positif. Or les formules précédentes peuvent s'écrire, en désignant par (r, 0), (R, w) les coordonnées polaires des deux points {x, y)y (X, Y) respectivement, R = r^, w — 26.

Cela posé, faisons varier r de a à6(cf<6)etô deo àii-i-a(a étant

compris entre o et - !• Le point (R, w) décrit la couronne circulaire comprise entre les deux cercles de rayons a* et b^. Mais à toute valeur de l'angle o) comprise entre o et ia correspondent deux valeurs de 6, l'une 61

3oo CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

comprise entre o et a, l'autre entre Tt et i: h- a. On peut encore se représenter l'aire décrite par le point (X, Y) au moyen d'une couronne circulaire en papier qui se recouvrirait partiellement.

128. Changement de variables. Première méthode. — Conservons les hypothèses faites plus haut sur les régions A et A|, et les formules (i6), et soit F(x, y) une fonction continue dans la région A. Décomposons la région A| en régions plus petites ai, aa, . . ., a;, d'une façon arbitraire; il y correspond une division de la région A en régions plus petites «i, a^, • . ., ci„. Soient co/ et o-^ les aires des deux régions correspondantes a/ et a,; on a, d'après la formule (17),

w/, Vi élant les coordonnées d'un point de la région a,. A ce point (uiy Vi) correspond un point œi = /(ui^ Vi), J^i= f ("o ^«) de la région a/. En posant <^(w, i^) = F[/(w, v)^ (f(w, v)]^ nous pouvons donc écrire

^^(^iyyî)^t=^^{Uiy Vi)

du dv.

en passant à la limite, nous obtenons l'égalité

Donc, pour effectuer un changement de variables dans une intégrale double, on doit remplacer x et y par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables w, v^ et le produit dxdy par |A| du dv. Quant au nouveau cliamp d'intégration, nous avons expliqué comment on le détermine.

Pour trouver entre quelles limites doivent être effectuées les intégrations qui donnent la valeur de la nouvelle intégrale double, il est en général inutile de tracer le contour C| du nouveau champ d'intégration A|. Considérons, en effet, w et r comme un système de coordonnées curvilignes; lorsque, dans les formules (16), on attribue à l'une des variables «/, r, une valeur constante, et qu'on fait varier l'autre, on obtient deux familles de courbes u = consl., V := const. D'après les hypothèses faites sur les formules (16), par