IV. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. 6o

P = o des paramètres. D'autre part, réquatioa (57) devient ici

cette équatioD, si l'on y remplace a et ^ par x et y respectivement, détermine les courbes du plan 5 = 0 qui sont les traces sur ce plan des développables de la congruence, et la condition

-7^ = T- exprime que les deux courbes de cette espèce qui passent

par l'origine s'y coupent à angle droit. Les plans tangents aux deux développables de la congruence qui renferment la droite a: = o, j' = o, sont donc rectangulaires, et nous obtenons comme conclusion l'importante proposition suivante : Pour qu'une congruence de droites soit formée des normales à une surface, il faut et il suffit que les plans focaux passant par chaque droite de la congruence soient rectangulaires.

Remarque, — Lorsque l'on prend pour paramètres variables a, p, les cosinus des angles que fait la droite avec les axes Oar et Oy, on a

les équations (6i) deviennent

h = - ^ ^/, + „i^èi =

d / z \ àp àq

et la condition d'intégrabilité (62) se réduit à -p = -r^» Elle exprime que p ^y- q sont les dérivées partielles d'une même fonction F(a, p), qui s obtient par une quadrature, p = -—t q =z --^. On a ensuite z par lintégration de l'équation aux différentielles totales

d'où l'on tire

= /7=r^7^.(c.F ag p^),

C étant une constante arbitraire.

6o4 CHAPITRE XII. — SURFACES.

257. Théorème de Malus. — Lorsque les rayons lumineax issus d'un point sont réfléchis ou réfractés par une surface, ils sont normaux à une famille de surfaces parallèles, après la réflexion ou la réfraction. Ce théorème, dû à Malus, a été étendu au cas d'un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions par Gauchy, Dupin, Gergonne et Quételet, et Ton peut énoncer la proposition générale suivante :

Si des rayons lumineux sont normaux à une sur/ace, ils ne cessent pas de conserver cette propriété après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions,

La réflexion pouvant être considérée comme une réfraction d'indice — i, il suffit évidemment de démontrer le théorème pour une réfraction unique. Soit S une surface normale aux rayons lumineux, m M un rayon incident qui rencontre en M la surface dirimante S, MR le rayon réfracté. D'après la loi de Descartes, le rayon incident Mm, le rayon réfracté MR et la normale MN sont dans un même plan, et Ton a entre les angles i et r {yo\T fig, 62) la relation n sint = sinr. Pour fixer les idées, nous supposerons, comme dans le cas de la figure, n < i. Soit / la distance M/n; sur

Fig. 52.

le prolongement du rayon réfracté portons une longueur/' = M/n' égale à k fois la longueur /, k désignant un facteur constant qui sera déterminé tout à l'heure. Le point m' décrit une surface S', et l'on peut choisir le facteur k de façon que le rayon réfracté Mm' soit normal à cette surface. En efl'et, soit G une courbe quelconque située sur S; lorsque le point m décrit G, le point M où le rayon incident perce £ décrit une courbe V et le point correspondant m' décrit sur S' une autre courbe G'. Soient 5, a, s' les arcs des trois courbes G, F, G', a> l'angle de la tangente MT| à V avec la trace MT sur le plan tangent du plan normal qui passe par le rayon incident, <p et tp' les angles de MTi avec M/n et M/n'. Pour évaluer cosç, par exemple, imaginons que l'on projette sur MTi une longueur égale à l'unité portée sur M/n; on peut d'abord projeter cette longueur sur MT,