II. — POINTS SINGl'LIERS. — MAXIMA ET MINIMA

pour 2* r= ^ = O, ces formules donnent

Si f'(o) n'est pas nul, la fonction ¥{x) présente bien un minimum poorr = 0, ce qui était facile à prévoir d'après la discussion précédente. Si l'on suppose f'(o) =o, il vient

poar que F(jr) soit minimum, il faut que -r-^ soit nul, et en outre que le trinôme du second degré en ^'(o)

^ ^ 6 -4'-^ <5'(o) -i- 3 ^{ [cp'(o)]«;

soit positif, quelle que soit la valeur de f'(o).

11 est facile de vérifier que ces conditions ne sont pas satisfaites pour la . fonction considérée tout à l'heure z =y^ — Zx^y h- aa:*, tandis qu'elles le sont pour la fonction z =zy^-\- x^. II est évident, en'efîel, que cette dernière surface est tout entière au-dessus du plan des ory.

Je ne pousserai pas plus loin la discussion, qui exigerait, pour être rendue absolument rigoureuse, des considérations fort délicates, et je renverrai le lecteur désireux d'approfondir ce sujet à un important Mémoire de M. Ludwig Scheffer, dans le t. XXXV des Mathematische Annalen.

59. Fonctions de trois variables. — Soit u=^f{x^ y, z) une fonction continue des trois variables j:,j^, 5. On dit encore qu'elle est maximum ou minimum pour un système de valeurs ^oî JV'oi ^0 lorsque la différence

^ =/(^o-^ hyyo-^-A'j Zo-h /)— /(:ro,7o, ^o)

conserve un signe constant pour tous les systèmes de valeurs de A, A, /, moindres en valeur absolue qu'un nombre positif r, suffisamment petit. Si Ton considère une seule des trois variables .r, y,z comme ayant reçu un accroissement, les deux autres variables étant traitées comme des constantes, on voit comme plus haut que u ne peut être maximum ou minimum que si Ton a à la fois

àf

àXo' °'

ày. - "•

àz.

l4o CHAPITRE III. — FOnMULE DE TAYLOR, ETC.

en admettant, bien entendu, que ces dérivées sont continues dans le voisinage des valeurs Xq, jko, Zq. Supposons qu'on ait trouvé un système de solutions de ces trois équations simultanées, et soit Mo le point de l'espace de coordonnées (jCo> JKo? ^o)» H y aura maximum ou minimum si Ton peut trouver une sphère de centre Mo, telle que /(^, y, z) — /(^o, yoi ^o) conserve un signe constant lorsque le point x^y^ z reste à Tintérieur de cette sphère. Représentons les coordonnées d'un point voisin par

X^Xo-^p^, r=rO-HpP, Zrr-.Zo-^p^,

OL^ p, Y étant liés par la relation a^ -f- p^ -h y^ = i, et remplaçons X — ^Of y — jKoj ^ — ^0 par pa, pp, py dans le développement de/{x, y, z) par la formule de Taylor; il vient

A = p«[o(a, p, Y)-+-pL],

'^(a, p, v) désignant une forme quadratique en a, p, y dont les coefficients sont les dérivées du second ordre de fi^oc^y^ z) et L une fonction qui reste finie dans le voisinage du point Mo- Cette, forme quadratique peut s'exprimer par une somme de trois carrés de fonctions linéaires distinctes de a, p, y, multipliés par des facteurs constants, en négligeant le cas exceptionnel où le discriminant de cette forme serait nul. Soit

si les trois coefficients a, o! ^ d' sont de même signe, la forme quadratique 'f (a, j3, v) reste supérieure en valeur absolue à un certain minimum lorsque le point a, p, y décrit la sphère

et par conséquent A conserve le signe de a, a', a" lorsque p est inférieur à une certaine limite. La fonction /(a?, y^ z) est donc maximum ou minimum.

Si les trois coefficients a, a', a" ne sont pas de même signe, il n'y a ni maximum ni minimum. Supposons, par exemple, a >> o, a'<^o; prenons pour a, p, y des valeurs satisfaisant aux relations P'=ro, P'^^o. Ces valeurs n'annulent pas P, et A sera positif pour les petites valeurs de p. Si l'on prend au contraire des valeurs de a, p, y vérifiant les relations P=:o, P'=o, A sera négatif pour les petites valeurs de p.