PROCÉDÉS DE CALCUL- — FORMULE DK GHREX. a

l'axe des x. Lorsque n augmente indéliniment, a^ cl b„ oni une limite commune À; c„ el d„ oni de même une limite commune [A. Car les a„, par exemple, ne vont jamais en décroi:ii-aiU cl soni

tous plus p«tiis qu'un nombre fixe. Tnn$ les points de A„ tendent vers un point limite M, de coordonnées (\, jjl), situé à l'intérieur du contour C on swr ce conlonr lui-même. Le raisonnement s'achève comme plus haut {a." 70); si le théorème énoncé était inexuct, la fonction /'{j:,j') ne pourrait être continue pour x ^=\, y = ^, contrairement à l'ii^potlièse.

Corollaire. — Supposons qu'on ait pris les parallèles assez rapprochées pour que la différence des valeurs de 3 pour deux points appartenant à une même partie soit moindre en valeur absolue que p. el soit ti la distance de deux parallèles voisines. Soient {x,y), (x', y) deui points pris à l'intérieur ou sur le contour C, dont la distance est inTérienre à t]. Ces deux points appartiennent à une même portion de A ou à deux portions a^ant un sommet commun ; dans les deux cas, la différence

ne peut être supérieure en valeur absolue à 2 - = e. Donc, à tout nombre positif & on peut faire correspondre tin autre nombre positif T^ tel que l'on ait

pourvu que ta dislance des deux points 'M{x,y) et M'(.r', y'). pris dans A ou sur le contour C, soit moindre que ï,. En d'autres

a84 CHAPITRA VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

termes, toute fonction continue dans A est uniformément continue.

De la proposition précédente on déduit, comme plus haut (n° 70), que toute fonction continue dans A est nécessairement finie dans A. Soit M la limite supérieure et m la limite inférieure 5 la différence A = M — m s'appelle encore Voscillation. La méthode des subdivisions successives permet de démontrer que la fonction z atteint au moins une fois chacune des valeurs M et m pour des points à l'intérieur de C ou sur ce contour luimême. Soient a un point pour lequel on a 5 := /n, et 6 un point pour lequel ^ = M. Joignons a et è par une ligne polygonale tout entière intérieure à C. Lorsque le point {x^y) décrit cette ligne, z est une fonction continue de la distance du point {x^y) au point a; elle passe donc au moins une fois par toute valeur p. comprise entre m et M (n® 70). Comme on peut joindre a ei b par une infinité de lignes polygonales, on voit que la fonction /{x^y) prend une valeur ix comprise entre m et M pour une infinité de points intérieurs au contour C.

Nous dirons, pour abréger, qu'une portion finie du plan A est inférieure à / dans toutes ses dimensions, s'il est possible de trouver un cercle de diamètre / renfermant A à l'intérieur. Une portion variable du plan sera dite infiniment petite dans toutes ses dimensions, s'il est possible de trouver un cercle de rayon aussi petit qu'on le voudra renfermant cette portion du plan à l'intérieur. Par exemple, un carré dont le côté tend vers zéro bu une ellipse dont les deux axes tendent vers zéro sont infiniment petits dans toutes leurs dimensions. Au contraire, un rectangle dont un seul côté tend vers zéro, ou une ellipse dont un seul axe tend vers zéro, ne sont pas infiniment petits dans toutes leurs dimensions.

121. Intégprales doubles. — La portion A du plan étant divisée en parties plus petites <7i, ^2, <••, On d'une façon arbitraire, soient w/ l'aire de la portion a/, M/ et m/ les limites de /{x,y) dans cette portion a/. Considérons les deux sommes

S =:^ Vw/M/, 5 = Vwf/w/;