II. — INTÉGRATION DBS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. SSg

même que Ton a F' ^^z Q. L'intégrale curviligne F(x, j) vérifie donc Téquation aux dilTérentielles totales (40' ^^ ^'^^ obtient Tintégrale générale de cette équation en ajoutant à F{x, y) une constante arbitraire.

La nouvelle formule est plus générale que la formule (44 )? puisque le chemin d^intégration reste indéterminé. Il est du reste facile d'en déduire la formule (44)- Pour éviter toute ambiguïté, désignons par (^o^ J^o)i (^i>>'*) ^^s coordonnées des deux extrémités, et prenons comme chemin d'intégration les deux droites x=Xo,^=^i. Le long de la première on a x ^=^ x^^ rfx = o, et y varie de ^o à j^i ; le long de la seconde on di y ^^y^^ dy = o, X varie de x^ à ^|. L'intégrale est donc égale à

/ <iix9yy)dy-\- I P{x,yi)dx:

c'est, à une différence de notation près, la formule (44)*

Mais il peut être plus avantageux de prendre un autre chemin d'intégration. Supposons qu'en posant x^~'/(l), y = (f(t)^ et faisant varier ^ de ^o ^ ^o le point (x, y) décrive un arc de courbe joignant le point (xq, y^ ) au point i^x^ , ^, ) ; on a

et l'on n'a plus qu'une quadrature à effectuer. Si l'on suit, par exemple, la ligne droile, on posera x--XQ-\-i(^Xs — Xq), y = J^o -f- ^(j^i — y Si) et l'on fera varier r de o à i .

Inversement, si l'on connaît une intégrale particulière ^(j?,^) de l'équation (40' ^^ ^^ déduira l'intégrale curviligne par la formule

I F dxhQdf -=^(Xjy) -^(xo,yo).

qui est l'analogue de la formule (6) du Chapitre IV.

153. Périodes. — On peut étudier des cas plus étendus. Observons d'abord que la formule de Green s'applique aussi à des aires limitées par plusieurs contours. Cousidérons, pour fixer les idées, une aire A limitée par un contour extérieur G et deux

36o CHAPITRE VII. — INTÉGRALES MULTIPLES.

contours C, C", intérieurs au premier {fig* 35), et soieat Pet Q deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, dans cette aire. (On doit regarder les portions du pian intérieures aux contours C, C", comme ne faisant pas partie de A ; on ne suppose rien sur les fonctions P et Q dans ces deux régions.) Joignons les contours C, C" au contour fermé C par les transversales ab^ cd. Nous obtenons ainsi un contour fermé abmcdndcpbaqa ou F, qui peut être décrit d'un seul trait. Si

Fig. 35.

nous appliquons la formule de Green à Taire limitée par ce contour, les intégrales curvilignes provenant des transversales ab et cd se détruisent, car chacune d'elles est décrite deux fois avec des sens différents, et il reste

l'intégrale curviligne étant prise le long du contour total de l'aire A, c'est-à-dire le long des trois contours G, G', Cï dans le sens indiqué par les flèches, de façon à avoir toujours à gauche l'aire enveloppée.

Si les fonctions P et Q vérifient la relation -J^ = -- dans la

^ dx dy

région A, l'intégrale double est nulle et nous pouvons écrire la relation obtenue

(5i) f Pdx-^qdy= f Pdx^qdjr-r- f Pdx-\-qdy,

*^(C) ^iC) •Ac")

en convenant maintenant de prendre les trois intégrales curvilignes dans le même sens.

Gela posé, reprenons une région A limitée par un seul contour G, et soient P, Q deux fonctions continues, ainsi que leurs