II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIHA. ET MINIUA

et quelquefois des dérivées d'ordre plus élevé. La discussion suivante, qui est d'ailleurs suffisante le plus souvent dans la pratique, ne s'applique qu'aux circonstances les plus générales. Lorsque b^ — ac— o, on peut écrire l'équation de la surface, en poussant le développement de Taylor jusqu'aux termes du quatrième ordre,

!z —/(x^y) = A (a? sinu) — ^costo)^

et nous supposerons, pour fixer les idées, A > o. Pour que la surface S soit tout entière d'un même côté du plan des sy dans le voisinage de l'origine, il est nécessaire que toutes les courbes d'intersection de cette surface par des plans passant par Oz soient d'un même côté du plan xOy dans les environs de l'origine. Or, si nous coupons la surface par le plan

y = a7tang©,

!*équation de la courbe d'intersection s'obtient en posant dans l'équation (9.6)

.r — p coscp, ^ r-t p sinç

{les axes étant Oz et la trace 'du plan sécant sur xOy), ce qui donne z r-z X p*(coso sinto — cosco sin©)' -f- Kp'-^ Lp*.

K désignant un coefficient indépendant de p; si l'on a tango) ^ tang(p, z sera

positif pour les valeurs infiniment petites de p. Toutes ces sections sont

donc au-dessus du plan des xy dans le voisinage de l'origine. Coupons

maintenant par le plan

y — x tangu);

si la valeur correspondante de K n'est pas nulle, le développement de z est de la forme

et change de signe avec p. Il s'ensuit que la section de la surface par le plan précédent présente un point d'inflexion à l'origine et traverse le plan des xy\ la fonction f{x^y) n'est donc ni maximum ni minimum à l'origine. C'est ce qui a lieu lorsque la section de la surface par son plan tangent présente un point de rebroussement de première espèce, comme par

exemple la surface

Si, pour la section considérée, on a K = o, on poussera le développement jusqu'aux termes du quatrième ordre, et l'on aura pour z une expression de la forme

Kl étant une constante dont il serait facile d'avoir l'expression au moyen des dérivées du quatrième ordre; nous supposerons que ce coefficient n'est pas nul. Pour des valeurs infiniment petites de p, ^ a le signe de Ki ;

l38 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLORt ETC.

si Kl est négatif, la section est au-dessous du plan des xy dans le voisinage de l'origine. [1 n'y a encore ni maximum ni minimum pour z\ c'est ce qui a lieu, par exemple, pour la surface z =^' — ar*, dont l'intersection par le plan des xy se compose des deux paraboles y = zii a?*. On voit donc que^ si l'on n'a pas à la fois K = o, Ki>o, il est inutile de pousser le calcul plus loin; on peut affirmer que la surface traverse son plan tangent dans le voisinage de l'origine.

Lorsqu'on a en même temps K = o, Ki>o, toutes les sections de la surface par des plans passant par Oz sont au-dessus du plan des xy dans le voisinage de l'origine. Mais cela ne suffit pas pour pouvoir affirmer que la surface ne traverse pas son plan tangent, comme le prouve l'exemple de la surface

qui coupe son plan tangent suivant deux paraboles dont l'une est intérieure à l'autre. Pour que la surface ne traverse pas son plan tangent, il faut en outre que, si l'on coupe cette surface par un cylindre quelconque ayant ses génératrices parallèles à 0^ et passapt par Oz, la courbe d'intersection soit au-dessus du plan des xy. Soit y = ^{x) l'équation de la trace de ce cylindre sur le plan des xy, la fonction ^{x) étant nulle pour:r = o; la fonction Ffo?) = f{x, «p(a7)] doit être minimum pour:r = o, quelle que soit la fonction ^{x). Afin de simplifier les calculs, je supposerai que l'on a choisi les axes de coordonnées de façon que l'équation de la surface soit de la forme

OÙ A est positif; avec ce système d'axes, on a pour l'origine

df df d^f d^f d*f

v^=o» -r- =0, T-4=o, -T — '-^ — =0, -7-4 >o. àro dyo dxl àxoâyo âyl

Les dérivées de la fonction F(:r) ont pour expressions

â^f d^f df

dx^ dx^ dy * âx* ây^ ' dx ây^ ^ dy