L :rz Lo -+- /i^ -+- e sin (Lo -\- nt — m

contient donc quatre constantes :

Lo, longitude moyenne à la date prise pour origine, cVst-à-dirc à

la date t — o{^)\ /i, moyen mouvement diurne, si t est exprimé en jours; ^, excentricité de l'orbite solaire; T3T, longitude du périgée P.

Toutes ces longitudes se comptent à partir de Ty dans le sens

direct.

Nous avons déjà vu comment on détermine la durée T de la ré-

36o* volution par rapport au point y. On en déduit n = -rrr-' H ne reste

donc plus à déterminer que les trois constantes Lq, e^ xa qui figurent dans l'expression de la longitude du Soleil.

Cette théorie est au fond identique à celle que nous avons exposée (t. I, p. 82), pour l'erreur d'excentricité dans les cercles •divisés servant à la mesure des angles. En suivant les indications de ce paragraphe, il est facile de voir qu'on éliminerait le terme en e en prenant la moyenne de deux longitudes L, \J à deux dates /, l' telles que n{t' — t)=^ 180". Cette moyenne est en effet

et elle fera connaître L©. On obtiendra m en cherchant dans une série d'observations, s'étendant à l'année entière, deux longitudes L et L-i-i8o®, dont les dates t et t' aient pour différence Y T. La seule droite tirée par T, qui partage en parties égales l'orbite sur laquelle le Soleil est supposé se mouvoir d'un mouvement uniforme, est en effet la droite PA. Alors l'une de ces deux

(•) La longitude Traie, à cette époque / = o, serait Lo-i- ^sin ( L, — n )

'Jt6 LIVRE PREMIER. ~ CHAPITRE 11.

longitudes sera celle du périgée, l'autre celle de l'apogée. Enfin les

observations faites vers l'époque où m, c'est-à-dire Lo-+-/i^ — weslpo* ou 270**, seront très propres à faire connaître l'excentricité ex primét^ en arc.

Il est préférable de déterminer simultanément ces trois constantes, en formant, avec un grand nombre de longitudes observées à des époques quelconques t, t'y t"^ . . . , des équations de la forme

L — Lo -H nt -i a; co% nt -h y sin ntj dans lesquelles

.r~esin(Lo — m), y- tfcos(Lo — w).

Après avoir résolu ces équations par la méthode des moindres carrés, on déduira <? et Lq — rn des valeurs obtenues pour a: eij'.

Nous verrons une application de ce genre de calculs dans la théorie du sextant.

ilipparque a trouvé, par un procédé quelconque,

Les vraies valeurs à cette époque étaient

T. -365i,2423, ro--^. 246^25', e 2'»i',

Ce qui précède donne une idée fort exacte des habitudes de calcul des astronomes. Pour représenter une variable qui ne procède pas tout à fait proportionnellement au temps, ils la décomposent en deux paris, Tune variant uniformément, l'autre généralement bien moindre, mais périodique. Ainsi, pour égaler la partie uniforme de la longitude, c'est-à-dire Lq -h "'> « la coordonnée réelle L, il faut lui ajouter une petite quantité périodique e sin//i, qu*ils appellent éi/uation du centre; elle sVx|>rime en are, à la condition convertir en arc le nombre abstrait e (en le multipliant par iko6'i6y ou 3438'). Quand m ^ 90°, Téquation ducentre aUeinl son maximum. C'est ainsi que i**5;V était et est encore désigné sous le nom de plus grande équation du centre.

Les anciens voyai<'iit bien que, pour démontrer la réalité de leur hypothèse, il ne suffisait pas d'établir que les longitudes observées du Soleil étaient très approximativement représentées par la for-

ASTRONOMIE SOLAIRE DES ANCIENS. ^7

mule (*); il aurait fallu, en outre, qu'il en fût de même des ravons vecteurs, c'est-à-dire que les variations de distance du Soleil à la Terre répondissent à la formule (2), page 24. Mais, pour effectuer ce contrôle, on aurait dû mesurer de jour en jour le diamètre apparent du Soleil. On a, en effet, en représentant part le rayon du Soleil,

sin 1 A nz: - »

en sorte que les diamètres observés sont sensiblement réciproques aux rayons vecteurs r; mais les anciens n'ont jamais pu effectuer de telles mesures, qui exigent l'application des lunettes aux instrutruments de mesure.

Le fait est que celte hypothèse de l'excentrique satisfait aux longitudes du Soleil. Nous verrons bientôt que les anciens Tont étendue à toutes les planètes et même à la Lune. Admettre cependant une excentricité quelconque dans l'orbite, c'était déroger singulièrement à la règle qui ne permettait d'attribuer aux astres que des mouvements parfaits. Pour répondre à ceux qui auraient accepté difficilement ce défaut de centrage dans les mouvements célestes, les Grecs faisaient remarquer que leur combinaison revenait à faire circuler le Soleil uniformément et en seûs rétrograde sur un petit cercle de rayon égal à TG, nommé épicycley tandis que le centre de ce petit cercle parcourrait un cercle plus grand autour de la Terre, dans le même temps, et en sens direct. L'épicycloïde ainsi engendrée se réduit effectivement à un cercle avec une excentricité égale au rayon de l'épicvcle (').

(') Faisons ici udc dislinctioa imporlantc. Les cpicycloïdes que nous avons con. sidérées dans Tintroduction du tome I ont une autre génération. Le mobile se meut sur l'épicycle avec une vitesse angulaire /?, mais ce cercle se transporte dans l'espace sans tourner^ de manière que son centre parcourt le déférent avec la vitesse angulaire /i', ces deux mouvements étant de même sens. Dans l'exposé cidessus, nous avons adopté la définition des anciens. Ils supposaient Tépicycle fixé matériellement à un rayon du déférent. Alors ce rayon, tournant avec la vitesse /i', imprimait déjà à l'épicycle, sur lui-même, une rotation de même sens et de mcnic vitesse. Mais le résultat sera le même si, comme le faisaient les anciens, on inrprime au mobile, sur son épicycle, une vitesse angulaire égale non plus à /i, mais à n — /i'. Dans le cas actuel, les anciens donnaient au Soleil une vitesse — /i', égale et contraire par conséquent à celle du centre de son épicycle sur la circonférence du déférent. Nous retrouverons cette distinction dans la théorie des planètes.