DES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES
396. S'il n'y avait, dans Tunivers, d'autre corps que le Soleil et une planète^ celle-ci décrirait autour du Soleil une ellipse parfaite, en suivant la première loi de Kepler.
Mais en raison de la gravitation universelle , les autres planètes exercent une attraction sur la première et la font dévier de sa route.
De sorte que les lois de Kepler ne sont qu'approximatives.
Définition, — Les différences variables qui existent entre la trajectoire réelle d'une planète et le mouvement elliptique qu'indiquent les lois de Kepler prennent le nom d'inégalités ou perturbations.
Ces perturbations^ quoique très-petites dans un court espace de temps^ finiraient à la longue par s'accumuler et donner des différences notables dans les éléments elliptiques primitivement déterminés.
Il faut donc savoir déterminer ces perturbations, de manière que l'on puisse corriger au fur et à mesure qu'ils varient^ les éléments elliptiques, éléments dont la connaissance est, comme nous l'avons vu, la base des prédictions astronomiques.
Il n'entre pas dans le plan de cet ouvrage de donner le développement du calcul des perturbations. Nous renvoyons à ce sujet, ou à la Mécanique "Céleste de Laplace, ou aux Annales de V Observatoire impérial de M. Le Verrier.
Nous allons cependant tâcher de donner un aperçu de la marche de ce calcul, en mettant sous les yeux du lecteur les équations différentielles qui servent de point de départ et les formules qui représentent les variations que subissent les éléments elliptiques d'une planète sous l'influence attractive d'un corps céleste autre que le Soleil.
Ces formules qui, pour être comprises, n'exigent que les connaissances mathématiques dont on a déjà fait, usage dans ce volume, montreront mieux que tous les raisonnements la distinction que Ton doit faire entre les perturbations ou inégalités périodiques et les inégalités séculaires. Cet aperçu facilitera en outre, je l'espère, l'Étude du calcul des perturbations à ceux qui voudraient aborder celte intéressante question.
Détermination des équations différentielles du mouvement dune planète m autour du Soleil^ en ayant égard à V attraction développée sur cette planète par une seconde planète m'.
C'est ce que Ton nomme le problème des trois corps.
397. Soit S (fig. 216), le Soleil considéré comme réduit à un point matériel de masse M ; soient m et m' deux planètes de masses m et m',
agissant l'une sur l'autre sui- F>g- >»«• vant les lois de la gratitatiok;
^ il s'agit de déterminer Véquaiion
de la trajectoire décrite par la planète m.
Le centre de gravité du Soleil est pris pour origine des coordonneras se rapportant à trois axes rectangulaires SZ, SY et SX; ce dernier étant supposé parallèle à la ligne des équinoxes à une époque donnée.
Appelons r la distance iwS,
r' la distance m'S et w Tangle
mSm',
Désignons par f l'intensité de rattraclion de l'unité de iwos5e sur l'unité
de masse à l'unité de dislance. Nous prenons pour unité de masse la masse
solaire.
Considérons maintenant les diflérentes attractions développées par les
trois corps S, w et m\
f En raison du principe de la gravitation, —, est l'attraction développée
par la masse solaire sur une molécule de la planète m.
Cette planète agit aussi sur le Soleil avec l'intensité ~-, (force qui déplace l'origine des coordonnées auxquelles on rapporte la planète m; ce corps céleste est donc, en réalité^ soumis à une force
dirigée suivant mS. La composante de cette force, suivant l'axe SX, est en appelant x, y, z les trois coordonnées de m.
ZIi+ii:)cosmSX=/ii+;^.
La planète m', en agissant sur m, développe aussi Fattraction élémentaire
A m' fn^
(mm']* r' -}- r'* — 2rr' cos cd*
Pour avoir la projection de cette force sur Taxe des x, nous pouvons d*abord la projeter sur Sm et projeter ensuite cette projection sur SX. Menons m'K perpendiculaire sur le prolongement de St». La projection de
sur Sm est
[mm'Y
fin' „ , fm' mK rC0sKmm'= -X' — ;,
mm' mm'^ mm'^
ou
fm'(r' cos te — r)
(r* + r'' — 2r r cos u>)'
LsL projection de celte projection sur Taxe des a: est, en ayant égard au signe,
/'m'(r^costo~r) ^^a-
(r- + ^'' — ^J^^"' cos 0))''
Nous ne devons pas considérer raltraction de m sur m' parce que cette attraction déplace m' et ne déplace pas m; autrement dit lorsque deux planètes libres s'attirent elles cèdent chacune à l'attraction développée par l'autre.
EnHn, Tattractiou de m' sur le Soleil, déplaçant aussi l'origine doit être considérée ; cette attraction est égale à
fm'
la projection de cette force sur Taxe des xest obtenue en projetant d'abord cette force sur Sm, ce qui donne
fm'
^r cos w
et ensuite cette projection sur S X, ce qui donne
î3) -TT cos ta -.
En faisant la somme des trois forces {i), (2), (3) on a la force totale qui
484 ASTBOIfOllIE. — XOTIOKS DE MECAlflQCC CELESTE.
agit sur TaDité de masse de la planète et qni est dirigée snhrant Tue desx.
Cette force est évidemment égale et de signe contraire à Taccélért-
tion -3-r et l'on a par suite^ en faisant (i -f- m) = ^ la relation sufaote ai
r'cosw X
(r«4-r^— 2r/cosa>)* ^
X cos « x\
(r« 4. r'î—Srr' cos «;
Posons cos «> = 5 et
(5) R=(r«+r'«-2iys)-i-jl,
En Tertu de la relation
on a, relativement aux différentielles partielles,
dr X
dx r* On a aussi
dR dR dr dR x dx dr' dx dr ' r
dK Au moyen de la relation (5^; déduisons -^: il vient
^ = 1 (T'+r-'-îrry, "* (2r-2/,) - ± d*où l'on a
rfR rs X r X s X
rfx"" i" r Ir f^'r
(r«+r^— 2rr'5>' .'r» + 1^ - îrrV/
L'équation M) peut donc s'écrire
Si Ton agit, comme nous venons de le faire, pour les compoanttf suivant les axes des T et des Z, on aura finalement les trois équations difèrentiell^ suivantes :
, d*u , /au ^ , dR
(6) (j7^ + 7^ = ^-'rf];
Si l'on considérait Taction de différentes planètes sur la planète m, chacune d'elle introduirait dans le second membre des termes analogues à ceux qui résultent de la considération de la planète m' et de la fonction R.
Les équations (6) ne peuvent pas s'intégrer directement^ avec les moyens dont dispose l'analyse; mais à cause de la petitesse des masses planétaires relativement à la masse du Soleil on effectue cette intégration par le moyen d* approximations successives.
Première approximation. En intégrant les équations (6) en négligeant d'abord les seconds membres (*), on obtient par cette intégration 6 constantes arbitraires (puisque les équations différentielles sont du deuxième ordre) qui sont les éléments de Vorbite (section conique) fournis par les méthodes de Gauss ou autres.
Ces éléments sont :
a Le demi-grand axe ;
t La longitude moyenne à une époque donnée nommée Y Époque;
e L'excentricité;
?c La longitude du périhélie ;
o L'inclinaison de l'orbite;
0 La longitude du nœud ascendant.
L'intégration des équations (6) en ne négligeant plus les seconds membres, donne des résultats de même forme que l'intégration que nous venons d^ndiquer, à la condition que' l'on considère les 6 constantes arbitraires, c'est-à-dire les 6 éléments elliptiques (a, 6, e, Tt, (p et 0) comme devant
