FORMULES USUELLES. I
Séries trigonométriques.
Sm J? = X :; x^ H , - a?* — ... ,
COS J: = I X^ H ;r— ; .XT* — . . . ,
tang X = j: -f- r J?' -H -r j:* -h . . . .
Dans le second membre, x doit être exprimé, comme sin x et cosa; dans le premier, en parties du rayon et non en parties de la circonférence.
La Trigonométrie sphérique a pour but de résoudre les triangles sphériques. Ceux-ci comprennent trois côtés ou arcs a, by c et les angles dièdres opposés A, B, C. Les arcs ou les angles doivent être compris entre o"* et i8o°. Un côté quelconque doit être plus petit que la somme des deux autres ; la somme des trois côtés doit être moindre que 36o**, et celle des trois angles doit être comprise entre deux droits et six droits, ou entre i8o° et 54o". Étant donnés trois quelconques de ces six éléments, on déduit les trois autres de certaines relations que nous allons obtenir entre quatre quelconques d'entre eux.
Toutes ces relations se tirent immédiatement des formules de transformation des coordonnées. Celles-ci sont beaucoup plus générales^ car elles échappent aux restrictions que nous venons d'indiquer.
La figure relative à ces formules montre en effet que les coordonnées a, 6, B et Tare c sont les éléments d'un triangle sphérique ABC. Le seul angle A fait exception ; il n'appartient pas à ce triangle, mais il est le supplément de son angle BAC. En outre, les angles A et B, considérés comme coordonnées sphériques, peuvent varier de o" à 36o°, tandis que, pris comme éléments d'un triangle, ils doivent rester compris entre o*» et 180°. Admettant cette restriction et remplaçant dans les formules (a), {b)y (c) l'angle A par son supplément, on aura, pour
l8 CHAPITRE III. — TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
le triangle ABC, les équations
(i) cosa= cosccosi-+- sincsin^cosA,
(2) sina cosB — sine cos^ — cosc sinb cosA,
(3) sin«sinB= sin^sinA.
Elles comprennent toute la Trigonométrie, et nous en déduirons toutes les autres.
En divisant (2) par (3), on a Téquation nouvelle
(4) sinAcotB = sinccot^ — cosccosA.
A tout triangle sphérique ABC répond un triangle A'B'C dont les angles dièdres ont pour suppléments les côtés a, fe, c du. premier et dont les côtés a', 6', c' sont les suppléments des angles A, B, C. Nous aurons les équations de ce triangle supplémentaire en remplaçant dans (i), (2) les grandes lettres par* les petites, et réciproquement, et en changeant les cosinus d^ signe. Cela donne les nouvelles relations
(5) cosA — — cosGcosB-i- sinCsinBcos«,
(6) sinAcos^— sinC cosB -h cosGsinBcos«.
Quant aux analogies des sinus et aux équations (4), elles n'éprouvent aucun changement par cette substitution. En divisant (6) par (3), on retrouve la forme (4) :
sma cotb — sinC cotB -h cosC cos^'.
Les équations (2) et (6) ne peuvent servir à la résolution des triangles, parce qu^elIes contiennent chacune cinq éléments du triangle au lieu de quatre, mais elles se prêtent à d'utiles transformations.
Par simple permutation des lettres a, b, c. A, B, C dans les six types de (i) à (6), on déduit six groupes de relations que nous allons écrire :
cos« = cosb COSC -h siïib sine cosA, (i) { cos3 = cosflCOSc-+-sinflsinccosB,
COSC - cos«cos^-+-sinârsin3cosC,
POftMULBS USUELLES. 19
, sina cosB = cos6 sine — sin^ cosc cos A, sina cosG = cosr sin^ — sine cosb cosA, sin^ cos = cos/i sine — sin/icose cosB, sin^ cosC = cosr sina — sine cosa cosB, sine COS = cosa sin6 — sina cos^ cosC,
^ sine cosB = cos6 sina — sin6 cosa cosC,
Isina sinB =8inù sinA, sina sinC = sine sinA, sine sinC = sine sinB,
sinA cotB = cot^ sine — cose cosA, sinA cote = cote sine — cos6 cos A, /\ I sinB cot A = cot« sine — cose cos B,
sinB cote = cote 8in« — cosa cosB, sinC cot A = cotrt sine — cosô cosG, sinC cotB -- cot6 sina — cosa cosC,
cosA = — cosB cosC -+- sinB sinC cos^/, cosB = — cosAcosC -t- sinAsinC cos^, cosC = — cos A cosB -h sinA sinB cos r,
sinA cos^ = cosB sinC -+- sinB cosC cos/?, sinA cose = cosC sinB -f- sinC cosB cos ri, sinB cos« = cosAsinC -i sinA cos G cos^, sinB cose = cosC sinA -h sinC cos A cos^, sinC cosfl = cos A sinB -^ sinA cosB cosr, sinC cos^ = cosB sinA -t- sinB cosA cose.
On rend aisément calculables par logarithmes les équations des groupes (i) et (5). Prenons par exemple
cos« = cosb cose -h sinb sine cosA ;
on en tire
cosrt — cos ^ cose
cos A = :— 7— ^ î
sm^ sine
20 CHAPITRE III. — TRIGONOMETRIE SPHERIQUE.
el par suite
. — COSû-hCOSf^ — c)
I — cosA = . , . j
sm^sinc
. cosa — cos(b-hr) l 4- cosA = . , . >
sinésmc qui se réduisent, en posant a-^b -^€ = 1$, à
. „A sinff — ^) sm(f — c)
sin2 - = — ^ . , . ï
2 sm^sintr
.A sin(.ç — «) sin5
cos* - = — . , . •
2 sino smc
En divisant membre à membre, il vient
^A sinf.v — ^)sin(5 — r)
tangî - -- — i-r-r — - — -^-:
