DISTANCE ET GRANDEUR DU SOLEIL

Distance du Soleil. — De l’équation polaire échiptique de la trajectoire solaire, on tire

4 +e cos Ce 1 6°

e et Go étant connus par les variations du diamètre apparent, il suffit, en principe, de déterminer la distance géocentrique du Soleil correspondant à une longitude quelconque connue G de cet astre, pour êtreÿà mème de calculer sa distance moyenne a. La facon de déterminer p ne pourra être exposée qu'’ultérieurement. Elle fournit

a — 149 161 000 km.

ou environ 93,4 X 10° rayons terrestres équatoriaux.

Parallaxe solaire. — On donne le nom de parallaxe solaire, pour la distance p, au rapport HA DES 4

R étant le rayon équatorial terrestre. C’est, à très peu près, en radian, la demi-ouverture du cône dont le sommet est au centre du Soleil et circonscrit à la Terre supposée sphérique et de rayon

R ; exactement, cette demi-ouverture serait arc sin à : En fonction de la longitude G du Soleil,

JR; dires G— Go) AE 14 — e°

me)

R 1 DR EE | 1 elle varie de a Je *u périgée (maximum), à a ea

à l'apogée (minimum).

La connaissance de p à un instant donné équivaut à la connalssance de p à cet instant : p se lit dans les recueils astronomiques annuels pour des instants suffisamment rapprochés. :

En particulier, la parallaxe solaire à la distance moyenne a est égale à

Approximation. — La parallaxe solaire est un élément astronomique essentiel. Elle se détermine par plusieurs méthodes entièrement différentes, et que nous signalerons au fur et à mesure que nous en aurons l’occasion. Chaque mesure l’évalue avec deux * ou trois décimales ; mais la comparaison des résultats montre qu’il n’y à que la première décimale dont on soit tout à fait sûr. La deuxième décimale doit être À ou 2, et plus probablement 1. De cette approximation de la parallaxe, il résulte qu’on ne connaît guère la distance moyenne du Soleil qu’à 100 000 km. près.

Grandeur du Soleil. — Le rayon solaire se déduit de la distance et de la grandeur apparente du Soleil à une même époque. On obtient un rayon de 700 000 km., soit 109 rayons terrestres équatoriaux. À ces nombres correspond un volume du Soleil égal à 1 300 000 fois celui de la Terre.

Loi des aires. — Le déplacement de la direction géocentrique solaire n’est pas uniforme : cherchons la loi de ce déplacement.

Nous sommes actuellement à même de tracer un diagramme en portant le temps { en abscisse, et, en ordonnée, la longitude géocentrique G du Soleil à cet instant : le peu de précision de la méthode permet encore de faire rentrer les erreurs de parallaxe dans les erreurs d’observation. |

En menant des tangentes suffisamment nombreuses à la courbe obtenue, nous pouvons déduire de ce diagramme un autre dia-

dG gramme avec le temps en abscisse et avec la vitesse Pr la direc-

tion géocentrique du Soleil en ordonnée.

Sur ce second diagramme, nous constatons que la vitesse angu-

RCE s dG laire a Passe par un maximum | Se lorsque le Soleil est au p

périgée, par un minimum ( à) lorsque le Soleil est à l’apogée, et que le rapport de ces valeurs tronc est à peu près égal à 61”, die mal fe e) .

Ro? 0 MUR AT > »

elles sont donc de la forme

dG (Gr) =Ka +07

HIER ONE ARRAS e .=KG e).

La vitesse angulaire prenant respectivement ces valeurs

pour G = G, et G = Go + 7, pourrait, en fonction de G, être de

la forme dG ; ‘ À a RU +e cos (G— G)f.

La confrontation de cette formule avec le diagramme montre qu’elle est effectivement acceptable. Cherchons en une interprétation cinématique.

Appelons & et { les instants où le Soleil occupe deux positions quelconques M, et M respectivement, puis Z l'aire limitée par les rayons géocentriques de ces positions et l’arc d’ellipse MM : Zest une fonction de {. La vitesse aréolaire à l'instant t est, par

définition, la dérivée elle est liée à la vitesse angulaire par

HN NAT Écrivons ce second membre en fonction de G au moyen de l'équation polaire de l’ellipse et de l’expression qui vient d’être

adoptée pour 2e Toutes réductions faites,

Ù = KI va? (1 — 6e?) — une constante C :

la vitesse ra du Soleil est constante.

Après intégration,

les aires, intérieures à l’ellipse, balayées par le rayon géocentrique du Soleil, sont proportionnelles au temps. C’est en quoi consiste la Loi des aires.

La constante C est le rapport de tout secteur focal elliptique au temps que met à le balayer le rayon géocentrique du Soleil, Calculons C en considérant la durée S pendant laquelle la longi- * tude du Soleil augmente de 360” ; l’aire correspondante est l’aire totale de l’ellipse, et

ma VI —e GC — S d’où 20 PAL 1

Re EN UE T2

Le facteur . serait l’angle décrit pendant l’unité de temps par le rayon vecteur du Soleil, si le mouvement de celui-ci était uniforme ; on l’appelle le moyen mouvement, n :

PAL n SL. Fons en fonction du moyen mouvement, des éléments de l’orbite et de la longitude du Soleil, la vitesse angulaire de la direction de cet

astre, et les extrema de cette vitesse sont donc

dG ?

nee [M + e cos (G — G)}?, 2e) 2 NT dé }» "A — 7 ce AN Te, dt ie ee A +eÿ®

Instant défini par une coordonnée écliptique du Soleil. — PROBLÈME. — On donne le moyen mouvement n, les éléments (à, e) de l'orbite solaire, La longitude Go du périgée, l'instant to du

passage en ce point, et soit une longitude quelconque G, soit un rayon vecteur p du Soleil, quelconque pourvu que non extérieur à l'intervalle [a (1 — e), a (1 + e)|.

. On demande : 4° l'instant t où la longitude du Soleil est égale à G ; 2° l'instant t où Le rayon vecteur de cet astre est égal à p. 1° Nous connaissons l’équation différentielle qui lie le temps t à la longitude G ; elle peut s’écrire, après séparation des variables;

ARRET dG (1 — e*)°” HA + e cos (G — Go)

La solution du problème actuel consiste dans l’intégration de cette équation. L'intégration du second membre se fait sans difficulté, par la méthode générale, en prenant comme nouvelle

variable

G — Go 2 =

qui rendra rationnelle la fonction à intégrer. C’est ce que nous allons faire, mais en prévenant de ce que les astronomes abrègent les calculs par un artifice que nous verrons tantôt.

La substitution ci-dessus fournit

2dz 1 — 2?

dG = UE? COS (G — GE 1 + LE m Le second membre de l'équation différentielle devient (9 2 2 À +2 ge ;

ro pH

Posons encore, pour simplifier les écritures,

A AL die Um, La fonction à intégrer est CG Hu ep Les racines du dénomina-

teur sont deux fois + € et deux fois — €, imaginaires. La fonction.

MR no à

à intégrer se décompose en une somme de fractions ayant pour dénominateurs (2 — €), (2 — €), (ze), (2 + €) :

Fe (CC ne ete

PE QU Ur T 4e? L €)? Ua (z + y

c’est-à-dire, revenant à e,

10 1 se e 1 + 6° ne 2140] par) en = (2 He ivre

En intégrant,

re 1 T —e 1 —e | En) BerreV Fe arte ( .

2 pe M (: LÉ SE (2 2 .

Led TRES à A " A — e

Revenant à la variable G,

a dû — 2 4/1 arc tg( 1 et G Go Aecos (G— GP A—1LeVi1Te" S\VITLEeS 9

CDs 00) 2 :

HSE PETER mn QUE

L’équation finie cherchée entre t et G est donc, après simplifications, multiplication par V1 — e?, et détermination de la constante d'intégration à l’instant & — #, où G — G, :

sin (G—G) À Le cos (G — Go)

AE — tr) —Zarc 18 (4, tt Die Go SHIRT

Telle est l'équation qui, donnant { en fonction de G, résout la

première partie du problème proposé. On remarque que cette relation est indépendante de a.

Dans un grand nombre d’applications, on pourra profiter de la petitesse de e pour remplacer le second membre par les premiers termes de son développement en série suivant les puissances de e. Si, par exemple, nous négligeons déjà le terme en e?,

nt to) =G — Go + 2e sin (G — Go).

2 Si, au lieu de G, on se donnait p, on se raménerait au cas précédent au moyen de l’équation polaire de la trajectoire solaire,

TT (Eu COTE DR ARENA)

cos (G — Go) — 1 œil

sans qu'il puisse y avoir, pratiquement, d’ambiguité. La condition de possibilité est

un

ou a (1 — e) < p < a(1 + e),

telle qu’elle a été assurée dans l’énoncé du problème. L’élimination explicite de (G — Go) ne présente aucun intérêt.

Anomalie excentrique. — A la manière qui vient d’être exposée d'intégrer l’équation n dG

(1 — 6°)? Ces M + e cos (G — Go)l?

les astronomes ont préféré l’artifice qui consiste dans la substitution définie par

AR à 1 —e G — Go Bg— le DD

On en tire, en vue de l'intégration,

f+te 1—e

GAL TEL To:

COS 4 — € COS (Eater eco AY A TRE D OT EAN cos

Après substitution, on obtient simplement ndt = du — e cos u du et, par intégration, nt = u — e Sin w + const.

Appliquée à l'instant { — t,, pour lequel G — G, et, par conséquent, « — 0, cette équation fournit la valeur nf, de sa constante d'intégration ; d’où, finalement,

n (— lo) = u — e sin w.

L’élimination de « au profit de (G — Go) fait retrouver l’équation trouvée dans le problème précédent. Dans les applications numériques, on ne fait pas cette élimination : connaissant (G — Go), on en déduit « au moyen de l’équation qui définit cette variable, puis le temps { par l’équation qui vient d’être obtenue.

Quant au rayon vecteur p, lié à (G— Go) par l’équation que l’on sait, 1l est lié à w par

p — a (1 — e cos uw).

Si on connaît p, on tire de cette équation COS ni] —2), EAN

d’où w, et enfin £ par l’équation en w et t.

La nouvelle variable « revient souvent dans les recherches astronomiques, et il est intéressant de lui chercher une signaficahon géométrique. Actuellement, elle n’est encore définie qu’à 90°

près ; imposons lui la condition d’° AANEEtt au même quadrant que (G — Go).

Dessinons l’ellipse (a, e) et son cercle principal (fig. 16). Soient O leur centre, T le foyer occupé par le centre de la Terre, P le périgée, M la position du centre du Soleil à l’instant #, et M le