REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FIGURES DE L’ESPACE. — PROJECTIONS

Dessin perspectif. — Le dessin perspectif est employé pour reproduire l’aspect d’une figure à trois dimensions vue par un observateur placé soit en un point déterminé (perspective conique ou simplement perspective), soit dans une direction donnée à une distance infinie ( perspective cylindrique ou perspective cavalière).

Exemple d’un cube représenté en perspective pro

Fig. 143 Fig. 144

prement dite (fig. 143) et en perspective cavalière

11 permet de faire comprendre à simple vue la configuration d’un solide et sa position par rapport à l’observateur, mais il est impropre à exprimer rigoureusement les dimensions de ses éléments et leurs positions

relatives et aussi à fixer la position exacte du solide dans l’espace.

L’art de la construction met parfois à profit les propriétés du dessin perspectif, mais il réclame des procédés de représentation qui ne laissent aucune indétermination sur la

construction géométrique des solides à réaliser bien plus que des méthodes de dessin qui procurent des images plus ou moins frappantes de la forme de ces solides.

Principes de géométrie descriptive. — Les procédés rigoureux énoncés plus haut sont empruntés à la géométrie descriptive dont nous allons exposer en quelques lignes les principes fondamentaux.

On appelle projection d’un point M (fig. 145) sur un plan P, le pied m de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan, dit plan de projection.

La projection d'une ligne sur lin plan (fig. 146 et 147) est une autre ligne qui réunit les projections de tous les points de la première sur ce plan.

Fig. 145

Fig. 146

— Hy

Fig. 147

La projection d’une ligne droite (fig. 146) est une ligne droite, ou bien un point (fig. 148) si elle est perpendiculaire au plan de projection.

La projection d'un polygone (fig. 149) ou d’un cercle (fig. 150) est la portion du plan de pro¬

jection comprise parla projection du périmètre du polygone ou de la circonférence du cercle. La projection d’un cercle., dont le plan est oblique h P,, est une ellipse (fig. 150).

Fig. 151 Fig. 152

Si les plans de projection sont parallèles aux plans des figures, celles-ci sont projetées en vraie grandeur (fig. 151 et 152).

Fig. 153 Fig 154

Si les plans de projection sont perpendiculaires aux plans des figures, celles-ci se projettent suivant des lignes droites (fig. 153 et 154).

La projection d'un solide est la portion du plan de projection qui contient les projections de tous les points de la surface du solide. On figure ordinairement sur la projection d'un solide les projections de toutes ses arêtes.

La projection d’un polyèdre est un polygone dont les côtés sont les projections d’arêtes du solide (fig. 158).

La projection d’un cylindre s'obtient en menant aux projections de ses bases des tangentes parallèles à la projection de l'axe du cylindre (fig. 156).

Lorsque le plan de projection est perpendiculaire à l’axe du cylindre, celui-ci se projette suivant un cercle égal à ceux de ses bases (fig. 157).

Fig. loi Fig- iSS

Lorsque le plan de projection est parallèle à l’axe du cylindre, celui-ci se projette suivant un rectangle dont les dimensions sont l’axe du cylindre et les diamètres de ses bases (fig. 158).

La projection d’un cône est limitée par la projection de la circonférence de base et les deux tangentes menées à celte projection parcelle du sommet (fig. 159).

Fig. 139 Fig. 160

Lorsque le plan de projection est perpendiculaire à l’axe du cône, celui-ci se projette suivant un cercle égal à celui de la base (fig. 160).

Lorsque le plan de projection est parallèle à l’axe du cône, celui-ci se projette suivant un triangle isocèle ayant pour base le diamètre de la base du cône, et pour hauteur la hauteur du cône (fig. 161).

Fig. 161 F'g- 162

La projection crime sphère (fig. 162) est un cercle ayant pour centre la projection du centre de la sphère, et pour rayon le rayon de la sphère.

En géométrie descriptive, en emploie simultanément deux plans de projections, 1 un

horizontal H (fig. 163), correspondant au sol, l’autre vertical V, correspondant à la face verticale d’un mur.

La ligne suivant laquelle les deux plans de projection se coupent s’appelle ligne de terre ; on la désigne par les lettres LT.

Principe. — Les deux projections mm' d’un point M de l’espace (fig. 163) sur le mur et sur le sol sont telles que les perpendiculaires abaissées de chacune d’elles sur la ligne de terre rencontrent celle-ci en un même point m0.

On nomme m Yà projection verticale et m! la projection horizontale du point M de l’espace.

A l’aide des points tels que mQ, il est toujours possible de rapprocher les deux projections, dans le cas où ces deux figures auraient été séparées.

Fig. 163

Convention. — Pour éviter 1

Fig. 164

"tf\/

'inconvénient de deux figures tracées sur des plans différents (sol et mur), on convient de rabattre (fig. 164) la première sur le plan du mur supposé prolongé au-dessous de la ligne de terre, en prenant cette ligne comme charnière.

On obtient ainsi la figure ci-contre qu’on appelle l’épure.

Le principe précédent se modifie alors de la manière suivante :

Principe I. — Les deux projections d’un point de l’espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

Cette perpendiculaire s’appelle une ligne cle rappel.

Ajoutons quelques principes faciles à vérifier :

Principe II. — La projection verticale d’un point est située au-dessus ou au-dessous de la ligne de terre à une distance égale à celle du point de l’espace au sol.

Principe III. — Les projections horizontales et verticales des points d’une même droite sont respectivement des lignes droites.

On appelle ces deux lignes : Projection horizontale et projection verticale de la droite.

Connaissant les projections de deux points de l'espace, il suffira donc de joindre les projections de même nom de ces points pour avoir les projections de la droite qu’ils forment.

Principe IV. — Deux lignes droites de l’espace ont pour projections verticales des droites parallèles ; leurs projections horizontales sont aussi des lignes parallèles.

Principe Y. — Lorsqu’une droite est parallèle à l’un des plans de projection, sa projection sur l’autre est une parallèle à la ligne de terre.

Principe YI. — Lorsqu’une droite est perpendiculaire à l’un des plans de projection, elle se projette sur ce plan suivant un point et sur l’autre suivant une perpendiculaire à la ligne de terre.

Définition. — On appelle traces d’une droite, les points où cette ligne perce les plans de projection.

Pour obtenir la trace horizontale d’une droite donnée par ses projections (fig. 165, 166), il suffit de prolonger la projection verticale de cette droite jusqu’à la ligne de terre et, du point obtenu, mener une ligne de rappel ; cette ligne coupe la projection horizontale de la droite en un point qui est la trace cherchée. Ce point, se trouvant sur le plan horizontal, se projette verticalement sur la ligne de terre.

De même pour avoir la trace verticale d’une droite (fig. 165, 166), il suffira de mener une ligne de rappel au point où la projection horizontale de la droite coupe la ligne de

Fig. 165

terre. A la rencontre de cette ligne de rappel et de la projection verticale sera la trace cherchée ; cette trace, se trouvant dans le plan vertical, se projette horizontalement sur la ligne de terre.

Ainsi, les traces horizontale et verticale delà ligne A A' (fig. 165, 1 66) sont obtenues en a et en b' . Elles se projettent sur la ligne de terre en a • et en b.

Pour connaître la vraie grandeur d’une ligne, et pour trouver les angles qu’elle fait avec les plans de projection, on opère un rabattement.

Opérons d’abord sur le plan horizontal :

Dans le triangle-rectangle de l’espace cib' b (fig. 166), nous connaissons les deux côtés de l’angle droit b qui nous sont donnés par a b projection horizontale de la droite et par la hauteur b b' d’un point de cette droite ; nous pouvons donc le construire sur le côté a b de 1 épure en abbt. Le triangle abbl est le rabattement du triangle a b' b de l’espace.

Nous construirions par le même raisonnement le triangle a^b' a' rabattement du triangle a b' a' de l’espace sur le plan vertical. Dans les deux figures, les lignes a1b',ab[ doivent être égales.

On peut aussi obtenir la vraie grandeur d’une ligne AA' (fig. 167) en la rendant parallèle au plan vertical par une rotation autour d’un axe vertical passant par a a' . Le point a a' restant fixe, le point b b' décrit un arc de cercle ayant pour projection horizontale un arc de rayon ab et pour projection verticale une parallèle b' b{ à la ligne de terre. En joignant a' br nous aurons en At la vraie grandeur de la ligne AA'. L’angle b^a' L est l’angle que fait la ligne AA' avec le plan horizontal.

Définition. — Les traces d’un plan sont les lignes suivant lesquelles ce plan coupe les plans de projection .

Principe VII. — Les traces d’un plan coupent la ligne de terre en un même point. Connaissant les traces horizontales et verticales de deux lignes AA', BB' se coupant en aa ' (fig. 168), il suffit de joindre les traces de même nom de ces lignes pour avoir les traces du plan qu’elles forment.

Fig. 168

AO

diculaire au plan horizontal dont la trace horizontale P est dirigée suivant AB, et la trace verticale suivant une verticale P'.

Principe IX. — De même, deux lignes horizontales AA', B B' (fig. 170) forment un plan perpendiculaire au plan vertical; sa trace verticale P' est dirigée suivant A' B' et sa trace horizontale P suivant une perpendiculaire à la ligne de terre.

Dans les deux figures qui précèdent, A, et B, représentent les rabattements sur les plans de projection des droites A et B.

Principe X. — Lorsqu’un plan est perpendiculaire aux deux plans de projection et, par

suite, à la ligne de terre, ses traces sont en lignes droites et sont perpendiculaires à la ligne de terre (fig. 171). Ce plan est appelé plan de profil.

On a besoin d’avoir recours à une rotation pour opérer sur les figures tracées dans ce plan.

Ainsi, soit à projeter la ligne AA' sur le plan de profil PP', nous ne nous rendrons bien compte de cette projection qu’en la faisant tourner de manière à la rabattre sur le plan vertical.

Le point b b' après la rotation vient en bi sur l’horizontale b'bl. La projection du point aa! vient en clk sur le plan horizontal.

En joignant ai b{} nous aurons le rabattement A, de la projection cherchée.

Principe XI. — Deux plans de l’espace parallèles rencontrent chacun des plans de projection suivant des lignes parallèles.

Fig. ni

Dessin projectif. — Dans le dessin que nous appellerons dessin projectif, par opposition au dessin perspectif, on représente les figures à trois dimensions par leur projection sur le sol et sur le mur. Les projections sur le sol s’appellent alors des plans et les projections sur le mur des élévations.

On emploie quelquefois plusieurs plans verticaux de projection Vt, V2 (fig. 172 et 173),

Fig. 172

et on a alors plusieurs élévations, correspondant à un plan unique. On conçoit alors les plans verticaux comme ayant été rabattus sur le plan du sol en arrière de chacune des lignes de terre Lt T,, La T2 prises comme charnières.

Dans le dessin d’architecture, pour figurer la disposition des murs aux différents étages.

on suppose ces murs coupés par des plans horizontaux à un mètre environ au-dessus de chaque plancher, et l’on projette séparément chacune des sections obtenues, ce qui fournit autant de plans que d’étages.

Fig. 173

Enfin, on a souvent recours à des sections faites par des plans verticaux convenablement choisis pour faire voir des dispositions intérieures qui ne sont visibles ni sur les plans ni sur les élévations.

Ces sections s’appellent des coupes (coupe suivant AB, CD — AB, CD désignant les traces des plans sécants sur le sol). On projette les coupes obtenues sur des plans verticaux parallèles dont les traces sont situées en dehors du plan.

Les coupes horizontales ou plans, ainsi que les coupes verticales, reçoivent sur les parties pleines des hachures de directions différentes pour les plans et pour les coupes (fig. 174 et 175).

Les hachures sont souvent remplacées par des teintes plates de carmin ou d’encre de Chine .

Dans le dessin projectif \ on fait usage de divers traits pour l’exécution des lignes à l’encre (% 176).

Le trait continu faible ou fort pour les arêtes vues des solides.

Le trait ponctué pour les arêtes cachées.

Le trait interrompu pour les lignes de rappel.

Le trait mixte pour les axes et les lignes de construction.

On distingue les lignes vues sur la projection horizontale et celles vues sur la projection verticale.

Les premières correspondent à des arêtes visibles pour un observateur placé à une distance infinie au-dessus du sol.

Les secondes à des arêtes visibles pour un observateur placé à une distance infinie en nvant du mur.

De sorte qu une même arête peut être vue en projection horizontale et cachée en projection verticale.

Les traits continus forts ou traits de force s’appliquent aux lignes vues qui séparent une face éclairée d’une face dans l’ombre.

Pour faire cette distinction, on suppose les rayons lumineux parallèles à la diagonale x y

d’un cube qui a une face sur le mur et une autre sur le sol (fig. 177).

Echelles. — Lorsque la figure à représenter a des dimensions trop grandes pour que ses projections soient contenues dans les limites assignées au dessin, on substitue à ces projections des figures semblables exécutées toutes à la même échelle. Cela revient à supposer que les dimensions de la figure de l’espace ont été réduites dans un rapport déterminé.

Fig. 177

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EXERCICES