SUPPLÉMENT A LA DIXIÈME LEÇON

Construire les cures d'une ellipse connaissant les deua; demî-diamètres conjugués OB, OC (fig. 73).

Conservons les notations employées pour exposer la solution de la page 116. Le point- [i est un sommet de l'ellipse, si la tangente \i.t en ce point à la courbe est perpendiculaire à Op.. Soit |j.| le relèvement de |j., la droite jxii étant la tangente à la circonférence relevée, l'angle 0\).it est droit aussi.

Afin de déterminer (i, construisons une figure semblable à Ofi-,\).t qui est telle que k circotiféreace décrite sur 0 e comme diamètre passe par les points fi et Hi. Pour cela, du point i, milieu de CCi, élevons une perpendiculaire à cette droite. Cette perpendiculaire rencontre OB en un point qui est le centre de la circonférence circonscrite au triangle GiCC'|. Soient 0' et l' les points où cette circonférence rencontre OB. Le quadrilatère O'CiCi' est semblable au quadrilatère 0}t.,\>.t; il résulte de là que 0[<. est parallèle à O'C, c'est-à-dire à la bissectrice de l'angle CiCC',.

On retrouve ainsi que les axesde l' ellipse sont parallèles aux bissectrices des angles formés par les droites CC,, CC,.

o'Ci o;c o;c, o;c

(l'oit

O II = O'C cos O'CO = O'C cos O'GC, .

Projetons orthogonalemetit 0' en v sur CC[, on a alors Ce ^ 0|j.; (le même pour l'autre axe. Ainsi les demi-axes de l'ellipse sont égaux aux projections de CO' et de Ci' sur CC',.

Fig. 73.

Menons la (iroite Oi, appelons a le point où elle rencontre CC. La droite C,« est parallèle à O'C. Les droites aC,, aC, obtenues comme nous l'avons vu dans la dixième Leçon, donnent donc les directions des axes de l'ellipse.

Les points O'CiCC, sont sur une même circonférence de cercle. Les pieds it, 0, v des perpendiculaires abaissées de 0' sur les côlés du triangle GiCC, sont alors en ligne droite; mais O' est sur la bissectrice O'G de l'angle «Ce; donc la droite «Oc est perpendiculaire à O'C, et, par suite, elle est parallèle à Ca. On a donc O^r =^ Ci'. Le segment On est, par suite, égal au demi-axe Q\i.. On démontre de même que 0& est égal à l'autre demi-axe. On retrouve ainsi la construction donnée dans la dixième Leçon (').

( ') Voir The Messenger of Malhematks, vol. XI, p. 175,