PRÉFACE

J’ai divisé ce coursdegéométriedescriptive en deux parties: dans la première , je donne tout ce qui esl relatif au point , à la droite et au plan ; dans la seconde, je m’occupe des courbes et de» surfaces, en général , et en particulier, des sections coniques et des surfaces du second ordre.

Je n’ai point voulu écrire un traité de géométrie descriptive , car alorsj'aurais été obligé de donner un résumé de toutce qui a été fait , et de classer avec ordre toutes les recherches duesauxdiverssavants(*) qui se sontoccupésdela science, si vaste et si utile par ses nombreuses applications, à laquelle Monge a donné le nom de géométrie descriptive. En écrivant un cours, j’ai pu me borner à exposer mes idées et mes recherches sur cette science , tout en donnant ce qui esl indispensable à ceux qui l’étudient dans le but de devenir ingénieurs.

Monge a souvent répété que, lorsqu’on savait les divers problèmes relatifs au point, à la droite et au plan , et dont l’ensemble forme ce que l'on appelle encore et assez improprement les préliminaires de la géométrie descriptive , ou savait la géométrie descriptive. On n’a pas fait assez attention à cette manière de voir de Monge, au sujet de la géométrie nouvelle dont le premier il a formé un corps de doctrine, età laquelle il a donné un nom, celui de géométrie descriptive, qui a été souvent critiqué , faute de comprendre tout ce qu’il signifiait dans la pensée du savant fondateur de l’École polytechnique.

Il n’existe, à vrai dire, qu’une géométrie, et qui a pour but de reconnaitre les propriétés de l’espace figuré. Ces propriétés sont de deux espèces, savoir : les propriétés de relation de position , et les propriétés de relation métrique; mais l’on peut employer des méthodes diverses pour arriver à la découverte des unes et des autres. Chaque méthode particulière a reçu, par extension , le nom de géométrie. Ainsi on disait la géométrie de Descartes, et l’on a dit la géométrie de Monge : Descartes employait f analyse à la recherche des vérités géométriques , Monge a employé la méütode des projections à la recherche des propriétés dont jouissent les formes géométriques. Et comme les surfaces qui limitent et terminent les corps sont composées de lignes, et que les lignes sont formées de

k*} Je me propose d’écrire un nouvel ouvrage qui aura pour litre : i)c F Enseignement de h i Géométrie descriptive; c’est alors que j’exposerai les travaux des divers savants qui, après Monge, ont écrit sur celte science ; et alors je tâcherai de faire connaître, aussi complètement qu’il me sera possible, les progrès que chacun d’eux a fait faire à la Géométrie descriptive.

points , et qu’une foule de corp6 sont terminés par des faces planes, et que d'ailleurs le plan joue un grand rôle lorsque l’on examine les surfaces , soit que l'on considère un plan comme tangent ou sécant par rapporté la surface particulière dont on discute les propriétés , soit qu'on le considère comme tangent ou normal ou oscillateur en certain point de certaine courbe tracée sur la surface particulière, il est bienévidentdès lors que, lorsqu’on saura représenter un point, une droite et un plan par la méthode des projections, et résoudre, par la méthode des projections , les divers problèmes que l'on peut proposer sur le point, la droite et le plan , on saura la géométrie descriptive ,- en ce sens que l’on saura tout ce* qu’il faut pour appliquer la méthode des projections à la recherche des vérités géométriques qu’il lui est permis de démontrer touchant l’espace figuré : car, il faut bien le reconnaître, chaque méthode est plus spécialement applicable à un genre particulier de questions. C’est ainsi que l’analyse s'applique à la recherche des propriétés de relation métrique , et que la géométrie descriptive s'applique à la recherche des propriétés dé relation de position.

La géométrie descriptive doit être considérée comme un art et comme une science. Pendant longtemps et depuis très-longtemps, Cari des projections était connu des sléréomilres , et ainsi des appareil leurs pour la coupe des pierres et des charpentiers ; mais c’est vraiment depuis Monarque la géométrie descriptive a été reconnue être une science , et c’est aux travaux de Monge qu’on le doit ; car c’est lui qui le premier a démontré que, dans ce quel’on appelait f«r/rf«prq/ectimis , résidait réellement une méthode scientifique qui permettait de rechercher et de démontrer certaines vérités géométriques , et ainsi toutes celles relatives à ta forme de l’espace figuré. Et, à ce sujet, nous devons rappeler que Monge a souvent dit: « Si je refaisais mon ouvrage qui a pour titre de C analyse appliquée à ta géométrie ( ouvrage dans lequel il s’est servi de Canalyse infinitésimale pour rechercher et démontrer un si grand nombre de propriétés inconnues jusqu’à lui et dont jouissent les courbes et les surfaces) , je l’écrirais en deux colonnes : dans la première, je donneraisles démonstrations par Canalyse ; dans la seconde, je donnerais les démonstrations par la géométrie descriptive, en d’autres termes, par la méthode des projections; et l’on serait peut-être, ajoutait-il, bien étonné, en lisant cet ouvrage, de voir que l’avantage serait presque toujours du côté de la seconde colonne, pour la clarté du raisonnement, la simplicité de la démonstration, et la facilité de l’application des théorèmes trouvés aux divers travaux des ingénieurs. »

Or, il faut savoir que Monge avait d'abord recherché et démontré par la géométrie descriptive presque tout ce qu’il a donné dans son analyse appliquée à la géométrie. Mais comme il lui était défendu de faire connaître scs méthodes géométriques, attendu qu’il était attaché comme professeur a l’école du génie de

Mézières , il fut obligé de traduire en analyse , les résultats auxquels il était parvenu directement par la méthode des projections. Et , chose digne de remarque ,• c’est peut-être à cette nécessité de ne pas présenter ses recherches sous leur première forme , que nous devons les démonstrations si admirables données par Monge au moyen du calcul aux différences partielles . et qui ont fait faire un si grand pas à l’application de C analyse h la géométrie.

'l'ont le monde sait que ce ne fut qu’après la révolution de 89 , après la destruction de l’École du génie de Mézières, et lors de la création de la première École normale, qui précéda la création de l’École centrale des travaux publics, qui plus tard prit le nom d’École polytechnique , que Mange publia son Traité de géométrie descriptive, dans lequel se trouvaient révélées toutes les méthodes graphiques dont l’école de Mésières faisait un secret; et cependant un ouvrage moins complet , il est vrai , avait déjà paru sur ce sujet important. Cet ouvrage avait été publié, sous le titre de Complément de géométrie , par hteroix ( que les sciences viennent de perdre) , alors qu’il était professeur aux écoles d,’artillerie.

Il n’est pas sans intérêt pour l’histoire des sciences de rappeler comment le Complément de géométrie a été écrit par Lacroix, et ce qui lui a donné naissance.

Un oflicier du génie vint en congé à Besançon , où était une école d’artillerie; iMcroix y était professeur. Cet oflicier laissa dans sa chambre la collection de ses épures, ce que l’on appelait, en terme d’école, la gâche , et s'absenta pour quelques mois. Les officiers d’artillerie, qui avaient sur le cœur quelques plaisanteries , fort innocentes sans doute , sur leur ignorance des travaux de l’école de Mézières, résolurent de s’emparer du trésor de l’officier du génie. I je complot fut exécuté , les épures enlevées furent calquées, et puis les originaux remis en place. Mais grand fut l’étonnement , lorsque le travail fini , on voulut se mettre à déchiffrer les hiéroglyphes de l’école de Mézières : personne n’ycomprenaitrien. Alors on va trouver Lacroix , et on lui remet tous les calques. Ixcroix parvint à déchiffrer tout ce qui est relatif au point , à la droite et au plan , et il rédigea sur ce sujet un petit traité qu’il fil publier sous le titre de Complément de géométrie. Ce fut son premier ouvrage, qui plus lard devait être suivi d’un si grand nombre de traités remarquables et utiles. Populariser la science, et ainsi la faire descendre des hautes régions pour la rendre accessible nu plus grand nombre, fut une des pensées dominantes de Lacroix , et l’on voit que son premier début fut. non pas seulement de populariser» ne science, mais d'arracher à des mains avares une science éminemment utile à tous ceux qui s’occupent des travaux (Y ingénieurs, hteroix avait bien réfléchi avant de donner a son petit traité le titre de complément de géométrie ; il ne l’adopta qu’après avoir bien reconnu qu’en effet, la nouvelle méthode poussait réellement plus en avant la géométrie qui nous avait été léguée par les anciens, et qu’elle permettait de s’oc-

cuper avec certitude des problèmes à trois dimensions. Monge donna à son traité le titre de géométrie descriptive , parce qu'il connaissait toutes les ressources et tous les procédés de la géométrie nouvelle qu’il venait enfin enseigner publiquement. 11 savait que, lorsqu’on considère un système dans l’espace , on parvient, enprocédant par voie d e synthèse et au moyen du raisonnement géométrique. à reconnaître les diverses propriétés géométriques dont jouit le systèrpe proposé, et que l'on décrit au fur et à mesure chacune de ces propriétés , en passant successivement des unes aux autres, les premières servant à reconnaître et è établir la vérité, l’exactitude des suivantes. Mais il savait aussi que Vesprit se fatigue pur une attention trop longtemps soutenue, et qu’il est nécessaire d'écrire au fur et à mesure les découvertes faites, en un mot : ce quelY.iprif voit et reconnaît être ' rai. pour ne pas le surcharger et lui permettre d’ailleurs, lorsqu’il vient à s’égarer. de revenir avec certitude sur ses pas , pour reprendre sa route d’une manière plus assurée. Monge comprit dès lors que la géométrie nouvelle sert en même temps, et à décrire ce que f esprit voit , et à écrire , et ainsi à fixer d’une manière invariable, ce que l esprit a vu. C’est pour cela qu’il a donné h cette géométrie nouvelle le nom de géométrie descriptive. 1/tcroix et Monge ont toujours considéré l'un et l'autre la géométrie descriptive comme une jriencr dont la méthode fondamentale, celle des projections , était un nouveau moyen d'accroître nos connaissances géométriques , et de plus ils l'ont regardée comme un procédé graphique, apte à écrire les propriétés géométriques d’un système à trois dimensions.

C'est enmeconformant à cette manièred’envisager la géométrie descriptive, que

j'ai écrit ce ( ours que je soumets au jugement des géomètres et des ingénieurs (*).

(*) lorsque je songeai à rédiger mon cour* de géométrie descriptive, je priai M. de Paul mon répétiteur a l’ccole centrale des art» et manufactures, d'assister à mes leçons, de les rédiger et de le» lithographier pour l’usage de nos élèves. M. de Paul rédigea avec soin et avec zèle la première partie (du point, de la droite et du plau ) et quelques fragmenta de la seconde partie (des courbes et des surfaces}; ce sont ces lithographies faites, sous ma direction, d’après mes leçons et quelques notes que je rédigeai n la hâte, qui m’ont servi de bases pour la rédaction définitive.

J’ai peu changé à la rédaction de la première partie, j'y ai fait cependant quelques additions et quelque* corrections : c’est d’après les dessins de M. de Paul que les quarante-deux planches de la première partie ont été gravées.

J’ai écrit en son entier la seconde partie, en y faisant entrer les fragments rédiges, sous ma direction, par M de Paul.

» *^rr

rABLEDFSMÀTTÈREST

Dn point, A» U droite et du pUn.

CHAriïfli: PHEMU'.K.

HATIONS fhf.LlMiNAlURS.

Perrict.

But de U géométrie dcscripliTp.

?■ O qu'on entend par rabattre un plan.

Itepréttnlalion d’un point.

Ne*

%. Des quatre partie! ou répons des plans, des quatre anslcs dièdres. .

4. Des projections d'un point et de ses droites projetantes. . . , . .

.S. Propriétés des projections d’un point. . I 1 I ! ” ! ! ~

fi. Les deux projections d’an point en lisent la position dans l’espace. .