CHAPITRE PREMIER
REPRÉSENTATION DES CORPS
27. néfinlUon. — Représenter un corps en Géométrie descriptive, c'est exécuter un dessin au moyen duquel on puisse déterminer la forme et les dimensions du corps, ainsi que sa position dans Tespacc.
28. Insuffisance du dessin ordinaire. — Dans le dessin ordinaire, on se fait une idée de la forme d'un corps au moyen de sa perspective sur un plan F, et par rapport à un
/ point de vue 0. Mais cela ne suffit pas
/ pour représenter le corps ; car si Ton veut,
par exemple, fixer la position d'un point A, connaissant seulement sa perspective a,
f^ / on reconnaît que cela est impossible, ou
plutôt, que le problème est indéterminé en / ce sens qu'il y a une infinité de points
/ ayant pour perspective le point a : tous les
points situés sur la droite Oa répondent en effet à la question. D'autre part, la grandeur et la forme d'un objet dont on n'a que la perspective sur un plan, sont évidemment fixées en même temps que la position de cet objet ; et comme celle-ci est indéterminée, puisque la position de chaque point est indéterminée, on voit que plusieurs objets de formes et de grandeurs différentes peuvent avoir la même
16 LES PRIXaPES DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE
perspective. Le dessin ordinaire ne sufBt donc pas pour la représentation exacte des corps.
29. Utilité d'une métbode géométrique. — Or, dans l'industrie et en Architecture, il est indispensable d'avoir un mode de représentation permettant de déterminer tous les éléments d'un corps et de résoudre tous les problèmes qui peuvent s'y rattacher. D'un autre côté, nous pouvons bien concevoir des constructions effectuées sur un corps, mais il nous est impossible de les exécuter ; nous ne pouvons guère exécuter que des constructions sur un plan. De là l'utilité d'une méthode géométrique qui, par des constructions exécutées sur un seul et même plan, fasse connaître exactement tous les éléments d'une figure.
C'est l'exposé de cette méthode géométrique qui constitue le fond de la Géométrie descriptive, dont nous allons maintenant aborder l'étude.
30. Représentation des corps. — Un corps étant un ensemble de points, nous saurons représenter un corps si nous savons représenter un point. Soit donc A un point quelconque. Nous avons vu que la position de ce point n'est pas complètement déterminée si l'on connaît seulement sa perspective a sur un plan P, par rapport à un point de vue 0 (fig. précédente). Mais supposons que l'on donne, en même temps que a, la longueur ak et le sens dans lequel cette longueur doit être portée : alors la position du point sera bien déterminée, et si l'on convient d'inscrire à côté de la perspective a de chaque point A, un nombre précédé d'un signe indiquant, l'un la mesure de la longueur ak à l'échelle du dessin, l'autre le sens dans lequel cette longueur doit être portée, on aura un mode de représentation des corps. L'étude de ce mode de représentation, quand le point 0 est à Tinfini dans une direction perpendiculaire au plan P, constitue la
Géométrie cotée, ainsi désignée parce qu'alors ak s'appelle la cote du point A. Nous reviendrons plus loin sur ce mode de représentation des corps.
REPRÉSENTATION DES CORPS
Actuellement, au lieu de cela, nous remarquerons que la position
d'un point est déterminée quand on connaît ses projections dans deux systèmes de projections différents. Par exemple, la position du point A est déterminée si l'on V connaît ses projections a et a! sur le même plan P, par rapport à deux points de vue différents 0 et CK ; car alors le point A est l'intersection des deux lignes Oa et CKa'. La position d'un point est également déterminée quand on connaît ses projections sur deux plans différents P et P, par rapport à deux points de vue différents 0 et CK, et en particulier, quand on connaît ses projections orthogonales sur deux plans rectangulaires.
Soient H et Y ces deux plans et A un point quelconque de l'espace projeté orthogonalement en a sur le plan H et en a! sur le plan V. Il est clair que si l'on connaît les deux points a et a', le point A est déterminé par l'intersection des perpendiculaires menées respectivement par a et a! aux plans H et V. Toutefois, comme ces deux perpendiculaires doivent se couper, les points a et a' ne peuvent être choisis arbitrairement si l'on veut qu'ils soient les projections d'un même point de l'espace et que, par suite, ils déterminent ce point.
Pour voir comment il faut les choisir, on remarque que les deux projetantes doivent être dans le même plan, perpendiculaire à l'intersection xy des deux plans H et V. Soit « l'intersection de xy avec ce plan. Celui-ci coupe alors H suivant aa, Y suivant a'a, et ces deux, droites aa, a'a sont perpendiculaires à xy au même point.
Réciproquement, si les perpendiculaires menées à xy par a et par a' coupent xy au même point a, le plan aoLa' est perpendiculaire à xy en ce point, perpendiculaire par suite à H et à Y ; il en résulte que la normale à H menée par a, et la normale à Y menée par a' sont situées dans le plan aoLa' et ne sont pas parallèles ; donc elles se coupent en un point A, qui a pour projections respectives a et a' ; en
AXTOMAHI. — 6É01I. DBSCR. 2
sorte que si les points a et a' sont ainsi choisis, ils sont bien les projections du même point de Tespace, qu'ils déterminent par suite.
Le mode de représentation, adopté depuis Monge, en Géométrie descriptive, est le mode de représentation par la méthode des projections orthogonales : nous représenterons donc un corps par ses projections orthogonales sur deux plans rectangulaires, H et V.
31. Plan horizonlal et plan vertical. — Ces deux plans s'appellent les deux plans de projection : le premier est appelé plan horizontal^ sans qu'il soit nécessairement horizontal, mais parce que généralement on le suppose confondu avec le sol ; le second est appelé plan vertical.
Pour cette raison, la projection a d'un point A sur le plan H s'appelle la projection horizontale de ce point, tandis que la projection a' sur le plan V s'appelle la projection verticale du même point. La projection horizontale et la projection verticale d'un corps se définissent de même.
Ceci indique en même temps le genre des notations employées en Géométrie descriptive : une gi'ande lettre pour désigner un objet dans l'espace ; la même lettre minuscule pour désigner la projection horizontale de cet objet ; et la même lettre minuscule et accentuée pour en désigner la projection verticale.
32. Ligne de terre et réglons. — Les deux plans de projection se coupent suivant une droite appelée la ligne de terre^ et que
nous désignerons toujours par xy.
Ils partagent l'espace en quatre diedres qu'on appelle les dièdres (1), (2), (3), (4), en tournant toujours dans le même sens, de droite à gauche, par rapport à un observateur couché sur arî/, les pieds en y et la tête en a:.
Chacun des deux plans de projection est partagé en deux parties par la ligne de teiTc ; nous appellerons : région antérieure du plan horizontal celle qui est située dans les dièdres (1) et (4); région postérieure du plan horizontal celle qui est
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située dans les dièdres (2) et (3) ; région supérieure du plan vertical celle qui est située dans les dièdres (1) et (2) ; enfin région inférieure du plan vertical celle qui est située dans les dièdres (3) et (4).
On s'assure bien aisément :
1® Que tout point situé dans Tun des dièdres (1) ou (4) a sa projection horizontale sur la région antérieure du plan horizontal, tandis que tout point situé dans l'un des dièdres (2) ou (3) a sa projection horizontale sur la partie postérieure du plan horizontal ;
^ Que tout point situé dans l'un des dièdres (1) ou (2) a sa projection verticale sur la partie supérieure du plan vertical, tandis que tout point situé dans l'un des dièdres (3) ou (4) a sa projection verticale sur la partie inférieure du plan vertical.
Les réciproques sont évidemment vraies, et ceci permet alors de trouver immédiatement la région de l'espace dans laquelle se trouve un point dont on donne les projections.
Quand un point est dans l'un des dièdres (1) ou (4), on dit qu'il est en avant du plan vertical ; de même quand un point est dans l'un des dièdres (1) ou (2), on dit qu'il est au-dessus du plan horizontal. Les définitions contraires sont intuitives.
33. Cote et élolgnement ; plans bissecteurs. — La cote d'un point A est sa distance Aa au plan horizontal; Véloignement est sa distance
Aa' au plan vertical.
On appelle premier bissecteur, deuxième bissecteur^ troisième bissecteur et quatrième bissecteur les plans bissecteurs respectifs deux à deux des dièdres (1), (2), (3) et (4). Ces plans bissecteurs, qui sont confondus par leurs prolongements, partagent l'espace en huit régions, que nous appellerons respectivement les dièdres (10, (1«); (2,), (2,); (3i), (3,);
(4i), (42), en tournant de droite à gauche par rapport à un observateur couché sur xj/, les pieds en y et la tète en x.
Quand un point est dans le plan horizontal, sa cote est nulle ; de même l'éloignement est nul quand le point est dans le plan vertical. Les réciproques sont vraies.
Quand un point est dans le plan horizontal, il coïncide avec sa projection horizontale, et sa projection verticale est sur la ligne de terre ; de même quand un point est dans le plan vertical, il coïncide avec sa projection verticale, et sa projection horizontale est sur la ligne de terre. Les réciproques sont vraies.
Quand un point est sur la ligne de terre, il coïncide avec ses deux projections, et réciproquement.
Convenons de dire que la cote d'un point est positive quand le point est au-dessus du plan horizontal, et qu'elle est négative dans le cas contraire. Convenons de même de dire que Téloignement d'un point est positif quand le point est en avant du plan vertical, et qu'il est négatif dans le cas contraire. Puis remarquons que si un point est dans l'un des plans bissecteurs, la grandeur de la cote est égale à celle de l'éloignement. Enfin, appelons c la cote d'un point et e son éloignement.
Cela posé, on s'assure facilement :
Que si un point est dans le dièdre (li), la cote et l'éloignement sont positifs, et l'on a c < e ;
Que si un point est sur le premier' bissecteur, la cote et l'éloignement sont positifs, et l'on a c = e ;
Que si un point est dans le dièdre (Is), la cote et l'éloignement sont positifs, et Ton a c > e ; etc.
34. Remarque. — Nous avons dit plus haut qu'une figure quelconque est représentée par sa projection horizontale et par sa projection verticale. Il y a toutefois exception quand la figure est située dans un plan perpendiculaire k xy. Un plan perpendiculaire à xy s'appelle un plan de profil.
Toutes les figures situées dans le même plan de profil sont projetées horizontalement sur l'intersection du plan de profil et du plan horizontal, et verticalement sur l'intersection du plan de profil et du plan vertical. Dès lors les deux projections ne suffisent plus pour représenter l'une quelconque d'entre elles. On se donne alors autant de points qu'il en faut pour déterminer chacune d'elles.
Par exemple, une droite étant déterminée par deux points, pour représenter une droite située dans un plan de profil , il suffira de se donner les projections de deux de ses points.
35. Épure d'un point ; épure d'un corps. — Nous venons de voir
REPRÉSENTATION DES CORPS
comment on peut représenter un corps par ses projections sur deux plans rectangulaires ; il reste à montrer comment on peut atteindre le même but à Taide d'un dessin tracé sur un seul plan.
Pour cela, imaginons qu'après avoir construit les projections d'un corps quelconque, on rabatte le plan vertical sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de la ligne de terre jusqu'à ce que la partie supérieure du plan vertical coïncide avec la partie postérieure du plan horizontal ; de sorte que la rotation du plan vertical autour de la ligne de terre devra s'effectuer de droite à gauche, par rapport à un observateur couché sur cette ligne, les pieds en y et la tête en a?. On obtient ainsi, sur le plan horizontal, un dessin unique composé des deux projections du corps et de la ligne de terre. Ce dessin unique s'appelle Vépure du corps. Si le corps se réduit à un point, on a l'épure d'un point.
On est donc conduit à représenter un corps au moyen de son épure. Ce mode de représentation équivaut du reste à celui de la représentation du corps par ses projections, car on passe facilement de l'un à Tautre par deux opérations inverses.
Ajoutons que, dans l'épure d'un corps, les deux projections du corps ne sont pas disposées d'une manière quelconque Tune par rapport à Tautre, ainsi que le prouve le théorème suivant :
36. Théorème. — Dans une épure les projections du même point sont sur la même ligne de rappel^ et réciproquement.
Une ligne de rappel, dans une épure, est une droite perpendiculaire
à la ligne de terre.
Cette définition étant donnée, pour démontrer la proposition énoncée considérons un point A de l'espace, projeté en a sur le plan H et en ai sur le plan V. Nous avons vu que les perpendiculaires à ary, menées de a et de aj, rencontrent xy au même point a; il en résulte que si l'on rabat le plan vertical autour de xy, comme cela a été indiqué au numéro précédent, la ligne auil sera, après le rabattement, perpendiculaire à xy au point «, c'est-à-dire dans le prolongement de aa. Si donc a' est la nouvelle position du
point a\ après le rabattement, les deux points a et a' sont sur la même ligne de rappel, conformément à Ténoncé.
Réciproquement, si deux points a et a! d'une épure sont sur la même ligne de rappel, on peut les considérer comme représentant le même point de l'espace; car si l'on relève le plan vertical, a' vient en aj tel que aa^ = olo! et tel, en outre, que aa', soit perpendiculaire à xy. Dès lors les perpendiculaires menées à xy par a et ai rencontrant xy au même point, les deux points a et a\ sont les projections du même point de l'espace, c'est-à-dire déterminent ce point, et il en est de même de a et de a'.
37. Corollaire. — Dans V épure d'un points la cote de ce point est mesurée par la distance de sa projection verticale à la ligne de terre; Véloignement du même point est mesuré par la distance de sa projection horizontale à la ligne de terre.
Sur la figure précédente on voit en effet que la cote ka est égale à oaj et à aa'; de même l'éloignement a', A est égal à «a.
38. Étude de Fépure d'un point. — D'après cela, l'épure d'un point A se compose de la ligne de terre xy et de deux points a, a' situés sur la même ligne de rappel, et appelés respectivement projection horizontale ei projection verticale du point A. Quant aux positions relatives de ces deux points et de xy, elles dépendent de la position du point dans l'espace et, pour les obtenir, il faut avoir bien présentes à l'esprit les remarques des n®» 32 et 33, ainsi que la manière dont le plan vertical a été rabattu sur le plan horizontal. Outre les remarques des n»* 32 et 33, il faut donc se rappeler que Von a rabattu le plan vertical sur le plan horizontal de manière à appliquer la partie supérieure du plan vertical sur la partie postérieure du plan horizontal et^ par suite^ de manière à appliquer la partie inférieure du plan vertical sur la partie antérieure du plan horizontal.
Ajoutons que, par convention, dans la feuille sur laquelle l'épure est tracée, la partie qui est au-dessous de la ligne de terre correspond à la région antérieure du plan horizontal, tandis que la partie qui est au-dessus correspond à la région postérieure du même plan. Pour bien se rendre compte de cette façon de parler, il faut imaginer que la feuille soit verticale et de manière que la région qui correspond à la partie antérieure du plan horizontal soit au-dessous de l'autre. On a
ta
REPRÉSENTATION DES CORPS 23
du reste soin d'écrire la lettre x à gauche et la lettre y à droite de
Tobservateur qui regarderait la feuille ainsi placée ; de cette façon, la distinction des ré-
j gions en lesquelles les plans de projection
1 sont partagés par la ligne de terre se fera sans
I difficulté, au moyen de ce qui précède.
Si l'on rapproche ces conventions des remarques des no* 32 et 33, on voit :
lo Quun point est en avant ou en arrière du plan vertical, suivant que sa projection horizontale, dans Vépure^ est au-dessous ou au-dessus de xy ;
2p Qu'un point est au-dessus ou au-dessous du plan horizontal^ suivant que sa projection verticale^ dans l'épure, est au-dessus ou au-dessous de xy.
Les réciproques sont évidemment vraies.
39. Lecture d*une épure. — Ces diverses remarques permettent de reconnaître la position d'un point dans l'espace à la simple inspection de son épure, et, plus généralement, la forme et la position d'un corps par Tétude de son épure. Cette opération s'appelle la lecture de l'épure.
Voici, sur un exemple, la manière de procéder pour lire l'épure d'un point :
Soit l'épure ci-contre. C'est l'épure d'un point situé dans la région (4i). En effet, le point a est au-dessous de xy, donc le point est en
avant du plan vertical ; de même le point a' est au-dessous de xy, donc le point est X I y au-dessous du plan horizontal. Il en résulte
! que le point est dans le dièdre (4) ; mais
♦ a' la cote aa' étant plus petite que l'éloigne-
[ ment aa, le point est plus rapproché du
*^ plan horizontal que du plan vertical, donc
il est dans la région (4s).
On ne saurait trop recommander aux commençants de s'exercer à la lecture de l'épure d'un point, en se donnant eux-mêmes, et au hasard, les projections de ce point.
40. Distinction des parties vues et des parties cachées. — Pour faciliter la lecture de l'épure d'un corps, on fait ce qu'on appelle
Z An
la distinction des parties vues et des parties cachées. On fait cette distinction en projection horizontale et en projection verticale.
!« Pour faire la distinction des parties vues et des parties cachées en projection horizontale, on suppose l'observateur à Tinlini au-dessus
du plan horizontal. Cet observateur voit tout point isolé placé au-dessus du plan horizontal, que ce point appartienne au dièdre (1) ou au dièdre (2). Tout rayon visuel issu de Toeil de cet observateur est d'ailleurs confondu avec une verticale, et il en résulte que si une verticale rencontre la surface opaque d'un corps en plusieurs points échelonnés, A,, A2, . . ., A„, le seul de ces points qui soit vu par Tobservateur est le plus élevé, si toutefois il est au-dessus du plan horizontal : tous les autres sont cacliés. Ainsi, dans la figure ci-contre, si l'observateur est à l'infini sur la direction OZ, le seul point qui soit vu est le point A„.
2* Pour faire la distinction des parties vues et des parties cachées en projection verticale, on suppose l'observateur à l'infini en avant du
plan vertical. Cet observateur voit tout point isolé placé en avant du plan vertical, que ce point appartienne au dièdre (1) ou qu'il appartienne au dièdre (4). Tout rayon visuel mené [îar Toeil de cet observateur est du reste confondu avec une ligne de bout, c'est-à-dire perpendiculaire au plan vertical, et il en résulte que si une ligne de bout rencontre la surface opaque d'un corps en plusieurs points échelonnés, le seul de ces points qui soit vu est celui qui a le plus grand éloignemcnt, pourvu toutefois qu'il soit en avant du plan vertical. D'après cela, soient V le plan vertical et ZZ une ligne de bout rencontrant la surface opaque d'un corps aux points Al, Aj, ..., A„. Si OZ est la partie de la ligne de bout qui est en avant du plan vertical, le seul point vu est le point A„.
41. Ponctuation. — Pour faciliter également la lecture d'une épure, on a convenu d'appliquer certaines règles pour le tracé des lignes
de répure. On trace à l'encre noire et en traits pleins ( )
d'une épaisseur de 1/4 de millimètre, à peu près, les lignes vues
REPRÉSENTATION DES CORPS
qui représentent les données ou les résultats. Les lignes cachées se représentent en points ronds ( ) ; enfin les lignes de construction se tracent soit en traits continus et très fins à Tencrc rouge, soit à l'encre noire en petits tirets de 1/6 de millimètre d'épaisseur
( ) ; les lignes de rappel sont considérées comme des lignes de
construction. La ligne déterre se trace à Tencre notre, et en trait plein, excepté quand c'est une ligne de terre auxiliaire, comme on le verra plus loin. {Voir le chapitre d^s changements de plans de projection.) Dans ce cas le trait employé est celui des figures de construction.
Quand une ligne de construction est plus importante que les autres, on se sert pour la représenter d'un trait noir, mixte et un peu fort
( ) ; c'est ainsi que Ton procède pour les tangentes et pour
les ligures rabattues (voir le chapitre des rabattements). On peut aussi employer le trait plein, fort et à l'encre bleue. Les lignes d'axes se font
en traits forts et double-mixtes ( ), à l'encre noire ou à
l'encre bleue.
L'application de ces règles constitue ce qu'on appelle la ponctuation de répure {').
42. Exemple. — Comme application de ce qui précède, proposonsnous de faire la ponctuation de l'épure d'un tétraèdre défini par ses quatre sommets (a, a'), (^, ô'), (c, </), frf, d'). On obtient facilement les
projections horizontales et les projections verticales des arêtes du tétraèdre. Pour la ponctuation, on trace à l'encre noire et en traits pleins toutes les arêtes qui limitent soit la projection horizontale soit la projection verticale et qui déterminent ce qu'on appelle les contours apparents du corps. Tout point situé sur le contour apparent horizontal est vu par robser\'ateur placé audessus du plan horizontal, et tout point situé sur le contour apparent vertical est vu par l'observateur placé en avant du plan vertical. 11 reste donc tout
(•) Voir Instructions et Conseils sur l'Exécution des épures et sur le lams, librairie Nony.
simplement à établir la ponctuation des deux arêtes (ac, dc) et (M, b'd)^ en projection horizontale et en projection verticale. Occupons-nous d^abord de la projection horizontale et voyons si le point f qui se trouve à la fois sur ac et sur hd est vu. G>nsidéré comme appartenant à ac^ le point f est la projection horizontale du point i/, f) ; considéré comme appartenant. à M, il est la projection horizontale du point (f,f\)- De ces deux points, situés sur la même verticale, celui qui a la plus grande cote c'est le point if, f); il en résulte que ac doit être tracée en traits pleins et bd en points ronds.
Si maintenant nous passons à la projection verticale, nous verrons par un raisonnement analogue au précédent que b'd doit être tracée en traits pleins et dd en points ronds.
On peut remarquer que l'arête cac, ac) qui est vue en projection horizontale peut, comme dans le cas actuel, n'être pas vue en projection verticale : cela tient à ce que l'observateur qui regarde la projection horizontale n'est pas le même que celui qui regarde la projection verticale.
43. Définition et tracé des Ombres. — Pour faciliter la lecture de l'épure d'un corps, on suppose quelquefois le corps éclairé par un point lumineux à distance finie ou infinie.
Soit d'abord un point lumineux. S, à distance finie. Considérons un corps limité par une surface A, et soit B un point opaque, situé entre
A et S. Supposons que le point B soit le seul
S^ obstacle qui soppose à la propagation de la
lumière entre le point S et la surface A. On
appelle alors ombre portée par le point B sur
la surface A le point de rencontre b du rayon
SB avec la surface A. Lorsque le rayon SB
rencontre la surface A en plusieiu^ points,
c'est le point le plus rapproché de B qui est
Tombre portée par B.
On appelle ombre portée par un corps opaque B sur un corps A,
Tensemble des ombres portées par les points de B sur la surface du
corps A. Lorsque B est un corps continu, les ombres portées par ses
divers points sur A sont à l'intérieur d'une ligne tracée sur la surface
de A et qu'on appelle le contour de F ombre portée.
Soit maintenant un point lumineux à Tintini dans une direction
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donnée S. Figurons par une flèche le sens de propagation de la lu-
mière, et soient encore A la surface d'un corps et B un point opaque situé entre la source lumineuse et la surface A. Cela veut dire, ici, que si un point se déplace, en partant de Tinfini, sur la parallèle à S menée par B, et dans le sens de propagation de la lumière, il rencontre B avant de rencontrer A. On appelle alors ombre portée par B sur A, le point de rencontre de A avec la parallèle à S menée par B. S'il y a plusieurs points de rencontre,
Tombre portée est celui de tous ces points qui est le plus rapproché
de B.
L'ombre portée par un corps sur un autre, ainsi que le contour de l'ombre propre, se définissent comme dans le premier cas. Les ombres, quand la source lumineuse est à distance finie, s'appellent des ombres au flambeau; elles s'appellent des ombres au soleil quand la source lumineuse est à Tinfini.
Quand un corps opaque est éclairé par une source lumineuse, placée à distance finie ou à Tinfini, on appelle contour de l'ombre propre sur ce corps, une ligne tracée sur sa surface et qui sépare les régions éclairées de celles qui ne le sont pas. Par exemple, si le corps est une sphère éclairée par un point lumineux S, le contour de l'ombre propre n'est autre chose que la courbe de contact du cône de sommet S circonscrit à la sphère.
Si le point lumineux est à l'infini dans la direction a, le contour de Tombre propre coïncide avec la courbe de contact de la sphère et du cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles à A.
Les règles adoptées pour le tracé des ombres sont les suivantes :
Sur chacun des corps on trace le contour de l'ombre propre, en observant les règles de la ponctuation exposées plus haut (41). Pour éviter toute confusion, on trace les ombres en bleu, dans les épures faites à la main et on couvre de hachures parallèles, à l'encre bleue, les parties ombrées qui sont vues.
LES PRDiaPES DE LA GÉOII^TRIB DESCBIPHYE
1. Epure d*im point d'éloignement positif sitaé sur le plan borizontal.
