PREMIÈRE SECTION

$ I". — Centres et axes de sjrmétrie, — Polygones symétriques. — Centre des moyennes distances. — Centres de similitude. — Axes radicaux.

Centres de ^métrie, TBÉoain I. ( Flg. 195 et 195 bis.) Fie. içfi

N» i. — Lorsque Us sommets, A et A', B et B', C et C ', de deux poly- ® *^*

pnes {fg, ig5) , ou d'un même polygone (fig. ig5 bis), sont, deux à deux , sur det droites concourant en un méhœ point intérieur O ^ et à distances égales de « point :

i'* " Les côtés AB et A'B', BC et B'C, .. ., sont égaux, parallèles, et dt lesf contraires;

^ — Toute droite, telle que BIN , passant par le point intérieur, et ter» minée sur deux côtés opposés, est divisée par ce point en deux parties égales.

2^0 APPENDICE. — SEGT. I. — § I.

En effet: — 1<^— lei deux triangles OAB, OA'B', sont égaux ayant un angle égal, 0, comprit entre c^tés égaux chaeati à ehacs [ OA = OA', OB = OB' ]. Donc AB = A' B', et angle OBA = amgU OB' A ; ainsi les côtés opposés AB, A'B', sont égaux, parallèles et de aoueMtraires. — Même raisonnement pour les autres couples de eôtéa.

ao — Puisque les oôtés AB, A' B' (j^. iqS), et AO', DA'C^. igStû:. sont égaux et parallèles, la figure ABB'A' ou AD'A'D est an penllâ^ gramme dont AA', BB', ou AA', DD', sont les diagonales, et O le centre: doneOM=:ON (n» 76).

N<> 9. — tMrniiTioiis. — Le point O, qui jouit de la propriété dediriier a deux parties égales toute droite qui, le contenant, est terminée, aottaa coatour du polygone {Jig, 198 ftû), soit à deux côtés égaux et opposés (J%. 19S:. se nomme le centre de sjmétrie, ou simplement le centre de la figure: 4 chaque droite , telle que MN , AA', BB', . . . , pourrait être nommée ua l»centre, diaprés sa propriété de passer par le centre (*).

CoaoLUmi. — Tout polygone doué ^un centre ée tymêtrie n néceuuiement ses côtés en nombre pair : c^est une conséquence éridente da théorène i

K<> 3. — ScOLU I. — La réciproque est vraie et se démontrerait sans as- ■ cune diOiculté. — Ainsi':

FiG. 195. lorsque deux polygones {^fg. 195), pu wi polygone {fig. igS *»*), ont la' FiG. 195 bis. côtés égaux, parallèles et de sent contraires, deux à demx, ils s^mi doués im\ centre de symétrie.

Ainsi, tous l«s parallélogrammes [ et comme cas particuliers, le Uaeage, le rectangle, le carré] ont un centre de symétrie; et ce sont les seuls qetdrilatères qui puissent en avoir.

Tous les polygones réguliers d'un nombre pair de côtés ont on ccntif' de symétrie : c'est le point même que Ton a déjà nommé le centre dupoh' gone relier {b^ 159).

ScouE IL — Il serait facile de démontrer, en employant le moyen indiqué au Tfi 46, 00 dans la note an bas de la page 55, que les dm polygones {fg, 195), ou les deux portions de polygone {fg, igSMi), icst directement superposables , par rotation ou pivotement autour du eentit.

Des axes de symétrie.

N<» 4. — DtriMiTiONi. — Deux points A et A' (fg, içfi) sont dits syméiriéfuement placés par rapport à une droite XT, lorsque cette droita eit perpendiculaire sur celle qui joint les deux points, et la dinse en deux partie égales.

Fie. 196. Plus généralement, deux polygones ABCDE, A'B'C'D'E' [fy. ig^)» [» Ftc. 196 bis, portions de polygone, ABCD, A'B'C'O' (^fg, 196 bis)] sont dits symétri^-

(*) On doBttc ordiaaÎTCHicttt à nu» pareille dmite le nom de dum^tre; euii cette dMMeî' vatioo coBTÎeat plea particiiHèrcHicttt aas Hroitca Anal il «ne q«eftiaa a« o« 7.

CENTRES ET AXES DE STM^TEIE. 2^1

ment placés par rapport à une droite XT, lorsqae cette droite , étant perpflodicalaire sur celles qui Joignent deux à deux les sommets A et A', B et B',. . . des polygones [oa portions de polygOnS] , diTise chacone de ces dernières en dem parties égales.

La droite XT estdite alors elle-même un axe de symétrie.

Par exemple , le diamètre d^un cercle , la li{^ des centres de deux cercles , Js bissectrice d^n angle quelconque, ou de l'angle au sommet d'un triangle isoseèle , tes bissectrices des angles d^un polygone régulier, ou des angles an eeatre de ce polygose, etc., sont autant d'axes de symétrie dans ces figures.

Il est évident d'ailleurs que les deux polygones (Jig. ig6} ou portions de polygone (fg, jg6 his) sout superposables par rabattement autour de la àroiie XY.

N® tf. — Du trapèse isoseèle ou ^métrique. — Un trapèze ABDC {J^. 197) Fie. 197. dont les côtés latéraux AC ,\BD sont égaux, et qui peut , pour cette raison , ôtre nommé isoseèle, a pour axe de symétrie la droite £F qui joint les mi» lieux des deux bases \ -^ car de ce que A£ = EB, CF r= FD, il résulte que les trois droites AC , EF^BD concourent en Un même point I (a» SOi, réc); et le triangle lAB éUnt isoseèle k cause 4e AC s=z BD (n» 185), il s'ensuit que I£ est bissectrice de l'angle AIB ; donc , ete.

Le trapèxe isoseèle on tymétriqfte , ABDC , jouit d'une autre propriété assez remarquable, c'est d'être inscriptible (n^ 121). *^ En effet , I£ étant un axe de symétrie, les deux triangles I£A, lEB sont duperposables par rabattement autour de I£ ; donc les perpendiculaires élevées sur AC , BD, par leurs milieux K , L , se coupent en un même point O de I£ , lequel point est slors le centre d'un cercle passant par les sommets A, B, D, C.

Thégrèiik II. {Bg, 198.) Fie. ,g8.

N*^ 0, — Toute figure tjui a deux axes de symétrie, XT, ZV, perpendiculaires nure eux, a pour centre de symétrie l'intersection O de ces deux axes.

Pour le démontrer, d'un point quelcdhque M du contour, abaissons sur Kï, ZV, les perpendiculaires MPM', MQH*". — La droite OQ, étant égale fi parallèle k PM, est aussi égalent parallèle à PM'j donc les droites PQ, OM' lODt aussi égales el p«rallèleA {n^ 74). — On pfourerait de même que PQest égale et parallèle à OM''; d'où il suit que les droites OM', OM" ^oot le prolongement l'une de l'autre (n* S4), et, de plns^ que l'on a 3M' = OM*'.

Ainsi le point O, divisant une droite quelconque M'M" en deux parties ^es , est un centre de symétrie {d9 9, App.)-^ C. Q. F. D.

ScoLiB I. -^ L^é deux axes rectangulaires XY, ZV divisent la figure en quatre parties opales» — Les parties adjacentes sont lupcrposables psr ra- 'iûttement, et les parties opposées par pivotement.

11 y a donc deux sortes de position ^métrique dans un plan, Tune par rap- >orl h un point, l'autre par rapport à une droite. Les polygones symétriques

272 ^APPKIIDICK. SECT. i. — § I.

de la première sorte sont superposables directement, c''est-à-dire par on simple pivotement autour du centre ; tandis que les autres sont superpo&aUn inversement, c^esi-k-dire^r rabattement. Or, ces derniers sont les seuls polygones que Ton doive considérer comme sjrmétri^ues quant à laponne « c^esià-dîre comnttt inverses, ou simplement comme ^métritiues dans le sens a&soic du mot.

FiG. 199. On peut obtenir le symétrique d'un triangle ABC {fig. 19^ [ou eo fanerai d'un polygone quelconque], en le faisant tourner autour d'un de s6 côtés AB, comme charnière, pour le rabattre de l'autre câté dans la seeondt région du plan, et lui donner la position ABC'. — Bans ce eas, le êesm ou Venvers du triangle devient \» grmétrique du dessus ou de Yendroit, -e. réciproquement {vçyeg\e n** 18).

Mais , ainsi que nous l'avons établi au n^ 68 > ces sortes de figures pe«T«ti toujours, par une suite de mouvements convenables, être ramenées àra<? ( position telle , que les côtés , devenant parallèles et de même sens dui 1 1 deux , soient tons situés dans le même plan.

ScoLiB IL — Toutes les propositions établies dans les n^* i, 8, 3, 4«i I 6 i^pP') sont applicables aux pol|gooes concaves, qaoique , dans les fi^om qui ont servi aux démonstrations, nous n'ayons considéré qne des poiv gones convexes. — Elles s'appliquent même aux figures curvilignes^ si,ee généralisant ce que nous avons dit au n^ 24«$ sur le cercle, on regarde uo. figure curviligne comme uti polygone d'un nanhre infini de côtés infieinr^f petits.

Des diamètresm FiG. aoo. Theorâmb III. (Fig, )oo.)

N® 7. — Lorsque les sommets B et B', C et C, ... de deux polfgomei, (min méhie polygone , sont deux à deux sur des droites parallèles entre elle» et en*sées en deux parties égales par une même droite mêounc , cette droite médiat divise aussi en deux parties égales toute autre droite MM' parallèle aux ^ mières, BB', CC,

[On la nomme , pour cette raison , un diamètre du polygone.]

Les sommets B et B', C et C',. . . sont dits des sommets homologÊses; et i: en est de même des côtés AB et AB', BC et B'C, BD et BIK, . . . , qui K-ignent des sommets homologues.

Cela posé, pour démontrer que MM' est divisée en deux parties égales par; XY, prolongeons les côtés homologues CD, CD', jusqu'à leur renconti* avec la droite XY. — Puisque, d'après l'énoncé, les portions C*- et cC. D<2 et <2D', des droites parallèles CC, DD', sont égales, il s'ensuit (n» 909, récip,) que les droites CD, CD' doivent concourir au même point de XYi on a donc aussi (n^ 802) Mm = mM'; C. Q. F. D.

ScoLiE I. — Cette propriété des côtés homologues , de concourir en on même point du diamètre XY, convient également, comme il semit facile

CBITTAX UXS XOTSHNSS DISTAITCBS. tl'j3

de le prourer, aux droites qui joignent deii points homologues quelconques, en déflniieent leè points homologues, des couples de points tels, que la droite qui les joint est parallèle aux droites BB', CC',. . ., et est divisée en deux parties égales par le diamèire.

£u oQlre, \m perpendiculaires CP, C'P', abaissées d« deux sommets homologues [et, en général , de deux points homologues quelconques], sont égitles: —car les deux triangles rectangles cPC, cP'C sont évidemment égaux.

Enfin , les deux portions defgure ÂBCDE, AB' CD' £, sont équivalenus, comme composées de triangles ou de trapèzes ayant deux à deux même base et mèihe hauteur.

iV. B. — Les figures sjrmétrUimes par rapport à un axe , étant comprises dans celles dont nous venons de parler, possèdent toutes les propriétés de ces dernièros, en présentant de plus ces deux particularités : — i^' — que les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets homologues sur Taxe de symétrie , se confondent ; — a° » que les portions de figure ABCDE , k'^Q/XyEf y %onX égales et superposahles [inversement] dans le cas de symétrie , tan>lis qu^'elles sont seulement équivalentes dans le cas général.

ScoLiB II. — Dans tout triangle CAB (fg. 63), chacune des droites qui Fie. 63. joignent les sommets avec les milieux respectifs des côtés opposés, est un diamètre, puisqu'elle divise en deux parties égales (n^ HOi) toute droite parallèle au cûté correspondant du triangle ; et il en est de même, pour un trapèse quelconque, de la droite qui joint les milieux de» deux bases.

Centre des moyennes distances.

I^^ 8. — Proposition paÉLOiiicAiRE. — Soit ABCDE ( fy. aoi) un polygone quelconque.— Joignons les milieux consécutifs, M, M, P, Q, R, des côtes AB, BC , CD,. . . : il en résulte un nouveau polygone MNPQR dont le périmètre et Taire sont évidemment plus petits que le périmètre et Taire du premier. En opérant sur le second comme sur le premier , on obtient vn troisième polygone M'TÏ'P'Q'R' plus petit que le second; et ainsi de suite.

Or, ces opérations étant continuées indéfiniment, on doit nécessairement arriver h un polygone infiniment petit dont les sommets seront tellement rapprochés, qu'on pourra les considérer comme se confondant en un seul point O, lequel formera, en quelque sorte, un groupe d^'autanl de points qn^il y avait do sommets dans le po1y|;one primitif. — Ce point est d^aîllenra unique dans le plan dn polygone , puisqu'il résulte de la jonction toceessive de points fixes et déterminés de position dans le plan. Déplus, il jouit d^nne propriété remarquable qui sera rôbjct dn théorème suivant.

TnéORÈi» IV. {Fig. aoQ.) Pn». Qoa.

N* 9. — Il existe dans le plan de tout poljgone ABCDE [convexe ou con- ''^-f<r] un point unique 6 tel, que sa distance GO' à une droite quelconque XY

nUKée dani U plan, igaU lequoiient de U JiWiien de la somme Je$ diiuita. A A', BB',.,., det aoaimen dm pofygome à ente droite , par U Komtn a dei laimeli; — c'ect-k-dire quo l'on a

AA'-hBI)'-t-CC'+. -■

(Nous coDiidcroi» ici un penug;oao; miili U démonilnlion que not' aliont eipoter eil générale.]

Prenona lea milieui H, N, P, Q, B, de> cAlëa du polygone, al it*ii

■onB de cta points Ica parpeDdicultïm MM', NN', PP' larli

droite XT.

I^U pora, nouiaron* ■âparémeiit(n'>89)

MM-="'^"'', »!C!î-:tïïï, pK^œ-^DD'

d'où, en «jonlant Im égaliléi membre i membre ,

MM'-t-HN'-i-PP-.-QO'-vEH'=AA' + BB'-i-CC'-KDD'-(-EE'.

Opérona actuel lement sur HNPQR amnoie noiu btodi opérd «nr ARG)£ il en ré«ult«ra un nouTeau poljgooe tel , que la eomnie des dlilanca it loua atw aammeti k la droite XT aer* égale 1 la aomme des diitannartlatiTca au aeeond polygone , et par conaéquent auaii i U somme du ditlancei relativea au premier; et ainti de anile.

Donc , en dtalgnant par U le point de rtonlon dea cinq aommeu du paligune infiiimenl petit dont l'eiialeDce a i\é démontrée dans le numéro pHcFdent, et par GG' la perpendiculaire oorreppondante , laquello peut alon Cire regardée comme une espèce de ^'Arrau de cinq dnitaa^le* àGG',w aura la relation [I) 5.GG' = AA'-.-BB'-»-CC-i-DD'+EE'; I

douloDdMuil GC» = — ■-- — — ■■

Donc , en général, GG' = ^ '- .

N.B.— Le point G est ce que l'on nomme U niure damayennei dlûm- '1. — Il eat érideotd'ailteura que ta poailioo eat tout i &i( indêpendaulc : la direction donnée A la droite XT , puiaque cette potition eai dêtatlinée uniquement par celle dea sommeta du polygone.

La droite XT, dont la potitlon dîna le plan ait ariilr*ire, ae DOname bb ce i£ej nHQ'ejBiuj dùtencet.

Scoiul. — Hou* «foiuiuppoaé, dan* la figure, que le poljgonr ABCDE'