LIV. 1. — CHAP. I. — § I. — PBB.PE1ID. ET OBL

ScoLiF. II. — La perpendiculaire Q3 devant passer par tous les points qui sont également distants des extrémités A et B de la droite AB , est dite le lieu cioM^niQUE de tous ces points.

N** 49. — GoEOLiAi&E. — Ce lieu géométrique étant une ligne droite, et une droite étant déterminée par deux points (n® 6), il en résulte nécessairement que ^7' Si deux points [D, £, ou D, IV (fig* 27)], sont chacun à une même distance de deux autres points [A et B], la droite [DE on DD^], menée parles deux premiers, est perpendiculaire sur le milieu de la droite qui Joint les deux derniers.

N^ 45. — On nomme Bissectrice d'un angle BAC y la droite AD qui divise cet angle en deux parties égales : un angle ne peut évidemment avoir qu*«/i^ seule bissectrice. — Gela posé ,

1 10. jS. Théoeème IV. (Fig. 28.)

1 ° — Tout point 'E» de la bissectrice AD d'un angle BAC est également distant des deux côtés de cet angle;

2" — Tout point F situé dans l'angle et extérieur à la bissectrice, est inégalement distant des mêmes côtés,

i** — Soient abaissées sur AB et sur AC les perpendiculaires EG , EH ; et plions la figure suivant AD. Les droites AB, AC , se confondront , et par conséquent aussi (n® Vt) les perpendiculaires EG, EH.

Donc EG = EH.

2° — Abaissons sur AB, AC, les perpendiculaires FG, FI; puis, du point E où FG rencontre AD , menons EH perpendiculaire sur AC, et tirons Toblique FH.

Nous aurons évidemment

FI < FH, et FH < FE 4- EH < FE -h EG;

d'où , à plus forte raison ,

FI < FE -h EG < FG.

Donc FI < FG.

N. B. — On peut faire ici «ne remarque analogue à celle du n** 4 1.

§ II. -^ PARALLKXES. 3*]

ScoLiE I. — Les réciproques des deux propositions sont vraies.

ScoLiE II. — La bissectrice d*un angle est le lieu géométrique de tous les points situés dans cet angle à égale distance de ses côtés.

ScoLis ni. — Les bissectrices, AD, AD^, de deux angles adjacents, fiACy CAB^y sont perpendiculaires entre elles.

Car, puisque les angles BAC, CAD', sont respectivement moitiés des angles BAC , CAB% dont la somme vaut 2 droits (n° 89), il s^ensuit que DAC -f- CAD' vaut i droit. — Donc etc.

Les deux angles BAD, B'AIV, forment également une somme égale à I droit.

§ 11. — Théorie des parallèles.

THKoaiMX P^ [Fig. 29.) Fie. if).

N" 44. — Deux parallèles , AB, CD, sont partout également diitantes.

De deux points E, F , pris à volonté sur CD, soient abaissées sur âB les perpendiculaires £G , FH ; ces droites seront en même temps perpendiculaires sur CD (n^ 54, 4°); ^^ ce seront en outre (n° 50) les plus courtes droites qu'on puisse mener des points K , F, sur AB , ou des points G, H , sur CD. — Ainsi , il suffit de prouver que EG = FH.

Pour cela , par le milieu M de GH , élevons sur AB l'a perpendiculaire MN; puis rabattons ENMG sur FNMH. Tous les angles <le la figure étant droits , MG prendra la direction MH; et coroine on a MG = MH, le point G tombera sur le point H. Ensuite EG prendra la direction HF, et ^E la direction NF ; donc le point E tombera en F, et Ton aura EG = FH. C. Q. F. D.

RiciPiuïQUEMEnT : — Deux droites qui sont partout également distantes, sont parallèles ; — car alors elles ne sauraient se rencontrer.

>'•> 421 . — Avant d'établir d'autres théorèmes, il est nécessaire <i«? donner quelques nouvelles définitions. Lorsque deux droites, AB, CD [fig* 3o et 3i), parallèles ou con pic. 30 ci 3i