PROBLÈMES SUR LES CO?ITACTS. I

points 0,0% comme centres , avec les rayons respectifs OG y Og, seront ( n^ iOS) tangentes en G , I, et ^ , < , à ces cordes égales. D*où résulte évidemment la construction suivante :

Stkth^e. — Après avoir pris avec le compas , sur les deux drconférences 9 des cordes DE, de^ égales à a, et abaissé {n^ 149) les perpendiculaires OG , (ïg^ décrivons des points O , (X, comme centres, et avec les rayons respectifs OG, O'^, deux autres circonférences ; ifi^noitr-leur une tangente commune M/tC ( n^ 170 ) :

— Nous obtenons ainsi la droite demandée.

£o efîet, d'après la construction, les deux parties MN, mn , de cette tangente, comprises dans les cercles donnés, sont à même distance de leurs centres respectifs O, O', que les cordes DE , de; on a donc

MN = DE = a , et mn = de z=z a.

N,B, — Ce problème peut avoir, comme le précédent , quatre, trois, etc., solutions, suivant la position relative des deux circonférences; et, pour qu'il %oit possible , la droite donnée doït évidemment ne pas dépasser le diamètre du plus petit cercle. Mais cela ne suffit pas encore , comme on pourrait le voir d'après une discussion plus développée.

ScouB. — Au problème P', et à celui-ci comme cas particulier, se rattache le suivant :

Par un point donné dans le plan d'un cercle, mener une droite qui le coupe de telle manière que la partie de cette droite, interceptée par le cercle , soit égale à une ligne donnée.

Après avoir tracé dans le cercle une corde égale à la ligne donnée , décrivons, comme dans le problème précédent , une circonférence tangente à cette corde; puis menons, du point donné, aœ tangente à ce nouveau cercle : nous aurons la droite demandée.

Ce problème offre une discussion assez intéressante que nous oons dispenserons toutefois d'exposer ici , nous bornant à observer que, dans le cas où le point donné est intérieur, la question , pour être possible , exige que la droite donnée soit comprise entre deux limites, — i** — le diamètre du cercle , — 2" — la

i38 Liv. I. — CHAP. m. — § ui.

corde perpendiculaire à la droite meDée du centre au point donné. ( Voyez le n*» 112.)

Fw. 60. PaoBLiME IV. (JFÏ^. 60. )

N® 173. — Décrire un cercle tangent à trois droites données de position sur un plan.

La résolution de ce problème est une conséquence immédiate des théorèmes établis aux n<^ 9«> et 127 :

Construisons (n® 155, scoHe I) les bissectrices des deux angles CAB , CBA ; puis du point 0, où ces droites se rencontrent nécessairement (n** 54), abaissons une perpendiculaire sur AB ; et de ce même point comme centre, avec un rayon égal à cette perpendiculaire , décrivons un cercle : sa circonférence sera tangente aux trois côtés du triangle ABC , puisque ( n^ 127) les perpendiculaires abaissées du point O sur ces côtés, sont égales entre elles.

Mais on peut encore obtenir d^autres solutions du problème , en traçant, par exemple, les bissectrices des angles BCL, CBI, respectivement supplémentaires des angles G et B du triangle.

On trouverait ainsi , en général , quatre solutions , savoir : un cercle intérieur au triangle déterminé par les trois droites , et que l'on nomme, pour cette raison, le cercle inscrit; puis trob autres cercles extérieurs à ce triangle , que Ton désigne sous le nom de cercles ex-'inscrits.

Lorsque deux des trois droites données sont parallèles , il ne peut exister que deux solutions.

Dans le cas général ^ les centres des quatre cercles et les sommets du triangle forment 6 systèmes de trois points situés sur une même ligne droite; et ces 6 lignes droites sont perpendiculaires 2 à 2.

Il suffit d'exécuter en entier la construction pour se rendre compte de ces propriétés.

Fie. n5. Problème V. (Fig, n5. )

N® 174. — Tmcer une circonférence qui touche une droite donner LM en un point donné B , et qui paSjSe par un second point donne hors de la droite.

Il est évident que le centre du cercle cherché doit se trouver à

PHOBLEMIS SUR LES CONTACTS. iSq

la rencontre de la perpendiculaire élevée par le point B sur LM , avec la perpendiculaire menée sur AB par son milieu C.

Snmis%. — Construisez ces deux perpendiculaires ( n^ 149 , IM) ; et du point 0 où elles se coupent , avec le rayon OA ou OB , décrivez une circonférence : vous aurez ainsi le cercle cherché.

Ce problème est Xo\x}our% possible , et n'admet qu^tt/i^ solution.

Si les points A et B étaient donnés sur une même perpendiculaire à LM , le centre se trouverait au milieu de la distance AB.

PaoBubfE YI. {Fig. ii6.) Fie. 116.

Pi* 175. — Décrire un cercle qui touche une droite donnée LM et uÂe circonférence donnée O , connaissant le point I de contact opcc ia droite.

On reconnaîtrait aisément par V analyse , que ce problème peut être ramené au précédent.

SviTTRiss. — En supposant d*abord que le cercle cherché doive être extérieur au cercle O,

i^ — élevons au point I une perpendiculaire indéfinie IK; — 2* — prenons sur IK , et du côté de la droite LM opposé au point Oy une partie II' égale au rayon OB du cercle donné ; — S** — menons par le point I' la droite L'M' parallèle à LM; — 4* — déterminons { n° 174) le centre O' d'un cercle passant par le point O et tangent à L'M' au point V \ — 5° enfin , — de ce point C comme centre, et avec le rayon O' I » décrivons un cercle.

Ce cercle sera tangent en même temps à la droite LM et au cercle O.

D'abord , il est tangent à LM , puisque le rayon 01 est perpendiculaire à cette droite.— En second lieu, la distance des centres CyO, étant égale à OT par corutruction , se compose du rayon CI augmenté du rayon Ofi, c*est-à«dire, est égale à la somme des deux rayons : donc les deux cercles se touchent en un certain point C.

^. B. — La discussion de ce problème offre quelque intérêt ^ sous le rapport du nombre des solutions dont il est susceptible ,

l4û UV. I. CHAP. 111. — § llf.

suivant les positions relatives du cercle donné , de la droite donn<^, et du point donné. — On peut avoir un cercle tangent extérieurement 2lu. cercle donné , ou enveloppant ce cercle i ou bien un cercle intérieur au cercle donné.

P'c. 117. PEOBLiME VU. {Fig. 117.)

N° 176. — Décrire un cercle qui touche une droite donnée AB et une circonférence donnée O , connaissant le point C de contact auec la circonférence.

Menons au point C la tangente LM ; el prolongeons le rayon OC jusqu'à sa rencontre en O' avec la bissectrice MK de l'angle LMB :

Le point (V pourra être pris pour centre d'un cercle tangent à la droite AB en un certain point , ainsi qu'à la droite LM au point C, et par conséquent aussi au cercle donné.

N, B. — Ce problème est susceptible de deux solutions , dont la seconde s'obtient en menant la bissectrice WL' de l'angle supplémentaire LMA.

FiG. 118. PaoBLiME VIIL [Pig, u8.)

N" 177. — Décrire un cercle qui touche en un point donné k une circonférence donnée OK^ et qui passe par un second point donné B [extérieur ou intérieur à cette circonférence}.

Analyse et STVTHiss réunies. — /oignons d'abord le point 0 au point A : le centre du cercle cherché doit se trouver sur la droite indéfinie OAL. — Puis, sur le milieu de AB ou AB% élepons la perpendiculaire IK ou I^K' : les deux droites OL et IK, ou OL et VlL'j se rencontrent nécessairement ( n^ ISO) en un point O' ou 0", — Enfin , de ce point comme centre et avec le rayon O'A . ou O'' A , décrivons une circonférence qui touchera le cercle donné extérieurement ou intérieurement , suivant que le point donné sera extérieur Q\\ intérieur à la circonférence O, et qui passera en même temps, soit par le point A, soit par le point A'.

N, B. — Le problème est toujours possible, — Toutefois, si le

PROBLÈMES SUE LES CONTACTS. l4l

point donné B ou B', et le point A, étaient placés sur une même perpendicolaire à OL, le cercle cherché se réduirait à la tangente AB.

Problème IX. (Fig. iig. ) Fie. 119.

N° 178. — Décrire un cercle d'un rayon donné qui touche une droite donnée AB et une circonférence donnée O.

Il est facile de reconnaître que le centre (V du cercle cherché doit se trouver sur une parallèle , A' B', à la droite AB, menée à une distance de cette droite, égale au rayon donné, et sur une circonférence concentrique au cercle donné, décrite d'un rayon R' (^ à la somme ou à la différence des deux rayons, suivant le mode de tangence. — Ce centre une fois déterminé, le cercle pourra ensuite être décrit, puisque Ton connaît son rayon, R'.

Il y aura généralement quatre solutions, quand la droite donnée sera extérieure ou tangente au cercle donné. — Il pourra y en avoir jusqu'à huit, quand la droite coupera la circonférence R. — Mab le nombre de ces solutions est susceptible , suivant les circonstances , de se réduire beaucoup , et même de devenir tout à fait nui.

Problème X. (Fig* 120.) Fie. 120.

N^ 179. — Décrire un cercle d'un rayon donné, qui touche deux circonférences données Oet (ï.

En se bornant à la construction du cercle qui doit être extérieur va. deux cercles donnés, il faut, pour l'obtenir, décrire des points 0, (y, comme centres , avec des rayons respectivement égaux à ;R 4- R"), (R' -H R") [ R, R', R", désignant les rayons des cercles donnés et du cercle cherché] , deux circonférences qui se couperont généralement en deux points 0*\ O"'; et ces points seront les centres de deux cercles ayant pour rayon R'' et satisfaisant également à la question.

1^2 MV. I. — CfiAP. III. — § m.

ScouE OBsiaAL sur les contacts.

N® 180. — Nous avons cru devoir abréger ranalyse, la synthèse , et la discussion des derniers problèmes , parce que ces diverses parties de la solution, la discussion surtout , exigeraient beaucoup de détails. Il faudrait, en effet , avoir égard , non-seulement à la position relative des lignes données y mais encore an nombre des solutions dont la question est susceptible, ainsi qu^anx diverses conditions sous lesquelles ces solutions peuvent exister.

Nous ferons seulement observer que, quand deux cercles sont donnés de position sur un plan , on peut avoir diverses sortes de cercles qui leur soient tangents, savoir: des cercles extérieurs à Vun et à Vautre y des cercles extérieurs à l'un et enveloppant l'autre , ce qui donne deux combinaisons, des cercles enveloppant Vun et Vautre, des cercles intérieurs à l'un et à l'autre, etc. — D'où il suit que, dans les différents modes de construction à employer, il faut avoir continuellement présente à l'esprit la condition de contact de deux circonférences, savoir : La distance des centres égale à la somme ou à la différence des rayons, suivant que le contact doit être extérieur ou intérieur.

Nous ajouterons que , si un grand nombre de problèmes sur les contacts peuvent se résoudre à l'aide des principes établis jusqu'à présent , il en est une foule d'autres qui supposent la connaissance de certaines relations numériques entre les données et les inconnues. Or ces relations ne peuvent être développées et démontrées que dans le second livre, ou dans V appendice aux deux premiers livres.