LIT. II. — CHAP. III. — § II
PaOBLKME II.
N" 276. — Transformer un polygone quelconque en un carré. Si le polygone donné est un triangle ^ soient h sa base, h sa hanlear (n^ M8) , et x le côté du carré cherché. On doit avoir la relation
jc» = 6 X r A, d'où la proportion h \ x \\ x \ \h.
Ainsi le côté du carré demandé est une moyenne propordwnelle entre la base et la moitié de la hauteur du triangle.
Cette ligne étant construite, on en déduit facilement la coih struction du carré.
Lorsque le polygone est quelconque , on commence par k transformer en un triangle ( n° 970 ] ; puis on transforme cdai-d en un carré.
Quand il s'agit d'un, parallélogramme , ou d'un rectangle, oo bien enfin d'une figure dont Vaire est évaluée immédiatement par \e produit de deux lignes , tout se réduit , pour obtenir le coté du carré équivalent, à construire une moyenne proporHonnàk entre ces deux lignes.
C'est ainsi que , pour un polygone régulier, il s«£fit , après avoir développé sur une droite indéfinie, le périmètre du polygone , de chercha une moyenne proportionnelle entre le demipérimètre et le rayon du cercle inscrit.
Pour transformer un cercle ea un carré, il («udrait d'abord rectifier la circonférence (*); puis on détenaiserait une moyeiuM proportionnelle entre le rayon et la demi^circonférmce [rectifiée].
ScoLiE. — La quadrature du cercle est , comme on le voit, intimement liée à la rectification d'une circonférence : et si , jusqu'à
(*) On aurait une approximation grouière du résultat de cette rectification en portant sur la civooaférence, et à partir d*un point qmeleonqae, use ouvarture de eotn^kaa asset petite pour que Tare de cercle oorreapoodant * cette ouverture puisse être regardé sensiblement comme une ligne droite, ei répétant cette opération jusqu^h ce qu\)n retombe sur le point de départ.
PEOBIiiMKS SUA LES AlftSS. ^47
{irésent , on n*a pu , à Taide de la règle et du compas, construire rigoureusemeat un carré équipaient à un cercle, comme on peut le faire pour les figures rectilignes , cela tient à ce que les méthodes connues ne donnent que des valeurs approchées du rapport de la circonférence au diamètre.
Cependant nous ne tarderons pas à voir un exemple de figures planes curvilignes qui peuvent être carrées exactement y bien qu^on n'ait pas le moyen de rectifier rigoureusement les lignes courbes qui les terminent.
Construction de polygones semblables sous certaines
conditions.
PaoBLiMB m. {Fig. 188.) Fie. i88.
?i° 977. — Sur une droite ab donnée de longueur, construire un polygone semblable à un polygone donné ABCDEF.
PasMiER MOTSH. — Après avoir décomposé le polygone donné en triangles par des diagonales menées de l'un des sommets A à tous les autres , formez , aux points a etbj deux angles cab , abc , respectivement égaux aux angles CAB , ABC : vous obtiendrez ainsi un uiangle abc semblable au triangle ABC. — Construisez de la même manière sur ac un triangle acd semblable au triangle ACD; et ainsi de suite.
Le polygone abede,.», ainsi obtenu sera semblable au polygone ABCDE....
SscoHo HOTCif. — Si le côté ab n'est pas nécessairement donné àe position , portez ce côté de A en B' sur AB , et par le point B' mena B'C parallèle à BC ; — de même , par le point C où B^ C rencontre BC, menez Cjy parallèle à CD; et ainsi de suite.
Le polygone AB' CD'.... sera semblable à ABCD... (d!^ 167).
En un mot , chacun des cas d'égalité , établis pour les polygones, fournit un moyen de résoudre la question.
GosoLLàiBE. — On déduit de là un moyen de — Construire , sur tiffe droite donnée AB {fig- 1 58) , nn polygone régulier d'une espèce Fio. iSg. flonnée.
