LIVRE II

La commune mesure m est une partie aliquote de la plus grande commune M ; ceci est général.

Toutes les communes mesures de deux lignes sont les parties aliquotes de leur phu grande commune mesure.

Des lignes qui n^ont pas de commune mesure.

JIS9. 11 peut arriver que deux lignes a et & n'aient pas de commune mesure, soient incommensurables entre elles. La définition ordinaire (136) ne peut s'appliquer au rapport de ces deux lignes; alors on se dirige d'après les considérations suivantes.

La centième partie de h est contenue dans a un certain nombre de fois , au phu; 84 fois par ex. ; a contient les 0,84 de h, pas 0,01 de plus.

La millième partie de 5 est contenue dans a un certain nombre de fois, au pUu; 847 fois par ex. ; a contient les 0,847 de b, pas 0,001 de plus.

La dix-millième partie de h est contenue dans a un certain nombre de fois, au plus; 8475 fois par ex. ; a contient les 0,8475 de 5, pas 0,0001 de plus.

Et ainsi de suite.

a Le rapport de a à 5, - est la limite des nombres 0,84, 0,847 , 0,8475, etc.,

ainsi obtenus (*).

On dit que le rapport - est 0,84 à moins de 0,01 ; que c'est 0,847 à moins de

OyOOl; 0,8475 à moins de 0,0004; etc. {**).

Dans les applications et les calculs on remplace chaque rapport incommen-

snrablfrpar une de ses valeurs commensurables indéfiniment approchées. Ex. :

a Le rapport - ci -dessus se remplace par l'un des nombres 0,84, 0,847,

0,8476, etc. (•••).

Considérant dans les raisonnements les rapports incommensurables comme ainsi remplacés , on leur attribue toutes les propriétés des rapports ordinaires

(*) Ces nombres ont une limite ; car chacun d'eux est inférieur à 0,85 , ou à 0,848.

(••) Soient o'=0,84&; o" = 0,847&; o'"=0,8475&, etc...; o', o",o"'... sont des lignes commensurables avec 5, qui diffèrent de moins en mohis de a, et finissent par en différer d'une longueur moindre que toute ligne donnée, si petite qu'elle soit. Ces lignes a', a", a'" ont donc a pour limite; or 0,84 , 0,847 , 0,8475... expriment les rapports de ces lignes comparées successivement à la

a même ligne 5. C'est pourquoi on définit r- la limite vers laquelle tendent ces

rapports commensurables r- = 0,84 ; -j- = 0,847 ; -r- = 0,8475.

(***) Ce qui revient à remplacer la ligne a par l'une des lignes de plus en plus approdiées 0,845$ 0,847& ; 0,84756, etc., commensurables avec h.

eptre les noml^res entiers ou fractionnaires; nous ne ferons donc dans ce quira suivre aucune distinction entre les uns et les autres»

C'est en se plaçant à ce point de Tue, qu'ayant à démontrer nne égalité de rapports, on regarde la proposition comme vraie en général , quand on l'a Remontrée pour le cas où les termes de l'un des rapports ont une conmiune mesure, si petite qu'elle soit (V. le programme ). En effet , s'il se présente alors deux rapports entre des grandeurs incommensurables, il résulte de ce qui a été démontré pour le cas d'une commune mesure , que deux valeurs approchées correspondantes quelconques de ces rapports (ex. : leurs valeurs approchées i moins de 0^00 1) sont égales entre elles (Y. page 54 ). 11 en est donc de mêipe des limites de ces valeurs approchées qui sont les rapports InconunaunriMM.

Ceux qui voudront préciser davantage pourront eoiployer, dans le cas où les deux rapports considérés seraient incommensurables, un raisonnement tua* logue à celui que nous avons fait n« 104 pour les arcs et les angles an eentn. Quant à nous, nous suivrons désormais la prescription du programme, rappelée ci-dessus.

Tout ce que nous venons de dire s'applique à tontes les grandeurs géométriques incommensurables quelconques.

MVRE in. 79

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