LES TROIS MÉTHODES GÉNÉRALES

autre point de la séparatrice. En joignant par une courbe continue les points m, n , etc..., on aura la séparatrice cherchée.

Remarque. — Sauf pour des points tout à fait particuliers, la séparatrice Swi de la surface circonscrite auxiliaire

Fig. 6 Fig- 7

n’est pas tangente à celle hmng de la surface donnée. Autrement dit : il ne suffit pas que deux surfaces se raccordent pour que leurs lignes d’ombre propre se raccordent également (tig. 6). On prouve, en géométrie descriptive, qu’il faut de plus, pour qu'il y ait raccordement des lignes d’ombre, que les surfaces soient osculairices.

Il y aurait raccordement (fig. 7) si le profil était tracé à la main, comme on doit toujours le faire en architecture.

4. Méthode des projections obliques. — Soient (fig. 8) deux surfaces S et S', sur lesquelles on veut faire toutes les recherches d’ombres indiquées ci-dessous.

(a) Ombre propre de la surface S.

1° On trace sur la surface S une série de courbes, N° 1 , N° 2, N° 3, convenablement choisies, c’est-à-dire choisies aussi simples que possible : Si la surface est réglée, on choisira les génératrices rectilignes; si la surface est de révolution, on prendra les cercles qui constituent les parallèles, etc.

2° On prend arbitrairement une surface auxiliaire, ordinairement un plan Z, sur lequel on cherche en N° 1', N° 2', N° 3' les ombres portées par ces courbes.

On démontre facilement, comme on le fait pour les contours apparents, que l’ombre portée totale de la surface S est l’enveloppe (1) des ombres N° ï', N° 2', N° 3' portées par les courbes choisies.

3° On trace donc cette enveloppe, tangente aux ombres

portées auxiliaires, N° 1', N° 2' . et cela donne l’ombre

totale portée par la surface S sur le plan auxiliaire Z.

4° On détermine les points de contact al, b i — ci, di — f i, etc... de l’enveloppe avec les enveloppées, et remontant, par des rayons lumineux inverses , de ces points aux courbes

(1) L’enveloppe d’une série de courbes est une autre courbe tangente à chacune des autres.

de l’espace, on obtient en n, 6, c, des points de la séparatrice de la surface S.

(b) Ombre portée par la surface S' sur la surface S.

1° On cherche comme ci-dessus l’ombre totale portée par la surface S' sur le plan auxiliaire. (La figure n’indique pas les constructions faites à cet effet.)

Fig. 8

2° On prend les points de rencontre m', n'... de cette seconde ombre portée avec les ombres partielles N° 1', N° 2', etc... des courbes de la surface S et, remontant, par des rayons lumineux inverses, de ces points aux courbes de l’espace, on obtient en m, n,. des points de l’ombre portée cherchée.

Fig. 9

(c) Points de perte. — Les points p' et q', où se coupent les ombres portées totales sur le plan Z, permettent, comme l'indique la figure, 8 de remonter aux points de perte p et q sur la surface S.

(d) Nota. — Nous démontrerons au n° 6, théorème 2, qu’en ces points de perte p et q , la courbe d’ombre portée, pmnq, doit être tangente aux rayons lumineux.

4 OMBRES USUELLES

(e) Remarques. — 1° Cette méthode est générale ; c est celle dont l’application est ordinairement la plus facile. Le plan auxiliaire, au lieu d’être choisi arbitrairement, peut être fourni par l’épure même. Au lieu d’un plan on pourra prendre toute autre surface auxiliaire : un cône, un cylindre.... Il est rare que dans les applications il n’y ait pas des surfaces sur lesquelles les ombres portées soient demandées. Dans ce cas, ces surfaces serviront d’auxiliaires pour l’application de la méthode des projections obliques.

— GÉNÉRALITÉS

2° L’aspect des ombres portées auxiliaires (fig. 9) permet de reconnaître les divers cas de 1 ombre portée dans l’espace.

Dans le premier cas, la surface S' ne porte pas d’ombre sur S.

Dans le second cas, l’ombre portée est fermée, sans points de perte.

Dans le troisième cas, l’ombre portée est ouverte et il y a deux points de perte répondant aux points p' et q'.

S III. Les trois théorèmes généraux