CONTRACTION

supprimée

Hèim

sur le

sur les deux

sur les trois

du réservoir

' côté inférieur

bords latéraux

côtés mouillés

0,iO

o,âo

47 — Règle du centre de gravité. — La formule (20) permet d'établir cette règle approximative. Le débit d'un grand orifice rectangulaire peut sensiblement s'obtenir de la même manière que pour les petits orifices (éq. 19), en employant la vitesse qui se déve* loppe en son centre. En effet, Texpression ainsi formée aura pour valeur :

Q' = m/(H.-Ho)y/2</5l

et le rapport des deux fonctions devient :

s (H,-H.) VH, -h H.

il- m

Si nous représentons par 'ix celui do la hantenr II, — H, du

60 HYDRAUUQUE.

tangle à la profondeur -i-^r — 2 de son centre, il viendra :

rec

Ht — Hq d'où :

H^ 1+3; Ho "~ l—x'

On aura donc, en substituant celte valeur et multipliant les deux termes de la fraction par (1 — a?) * :

Q (i + xf — (i - xf Q' "" Zx

La valeur de x étant inférieure h Tunité, nous pouvons développer ces fonctions par la série du binôme de Newton. Les termes de puissances paires disparaîtront dans la soustraction, et les autres se trouveront doublés, en conservant leurs signes propres. Ces signes seront d'ailleurs ceux des coefficients numériques, lesquels renferment les produits :

Les facteurs s'y trouvent en nombre impair dans les puissances impaires, les seules qui subsistent. 11 s'y introduit donc un nombre impair de facteurs négatifs, car tous le sont à l'exception des deux premiers. Il s'ensuit que tous les termes qui nous restent sont négatifs, sauf le premier. Tous renferment un facteur ar, qui disparait aux deux termes de la fraction. Le premier terme du développement se réduit ainsi à une constante, et, tous les autres étant négatifs, l'expression est visiblement décroissante. On reconnaît par là que, si la profondeur augmente, x diminuant, ^r; va en

ci'oissant. La moindre valeur que puisse acquérir ce rapport cori*espond, par suite, à la charge nulle Hq, hypothèse qui donne dans la formule précédente :

On voit que ce nombre est déjà très rapproché de l'unité. Mais il faut remarquer en outre que cette valeur est, non seulement la plus défavorable de toutes, mais en outre tout à fait inadmissible, attendu que les vannes ne sont jamais à fleur d'eau ; et que, si on les y amenait par la pensée, le régime se modifierait de fond en comble. On passerait alors à un problème différent, celui* du déversoir de superficie (n" 52). On ne rencontrera sans doute que bien rarement une immersion moindre que celle pour laquelle la charge sur le

sommet serait égale à la hauteur du rectangle. 11 vient , dans ces

conditions, x =^ =y et, par conséquent :

— u,y9oj.

On peut donc affirmer que Terreur sera, dans la pratique, absolument inappréciable.

— Cette proposition peut dès lors s'étendre à un orifice de forme quelconque, pourvu qu'elle admette un axe de symétrie horizontal j condition ordinairement remplie dans les applications. L'on obtiendra le débit d'un pareil orifice en multipliant sa surface par le coefficient de dépense et par la vitesse qui se développe aux divers points de cet axe.

On peut, en eflet, décomposer cette aire en rectangles élémentaires au moyen de perpendiculaires à l'axe de symétrie. Pour chacun d'eux, d'après ce qui précède, le débit élémentaire s'obtiendra, sauf le coefGcient de dépense, en multipliant sa surface par la vitesse développée en son centre, laquelle est la même pour tous.

Cette règle si simple nous dispense d'effectuer des intégrations

UTDRADUQIIE.

pour chaque forme géométriqne en particulier. La démonstration précédente ne présente, en effet, qu'un seul point faible, en ce que nous ayons fait abstraction des variations que peut présenter, d'un rectangle à l'autre, le coefficient de dépense. Mais la méthode générale étant, de son côté, sujette à la même difficulté, que nous avons tournée par la considération d'une moyenne, n'aurait pas plus de valeur, sous ce rapport, au point de vue de la rigueur.

49 — Canal de fuite. — Lorsque certains appendices modifient le mouvement de la veine au delà de son passage à travers Torifice, le débit qui s'y établit ne reste naturellement pas le même, cl il y a lieu de passer en revue, à cet égard, les principaux dispositifs que nous présentent les usines hydrauliques.

On appelle canal de fuite un coursier plan et horizontal, sauf une légère pente qui est destinée à y entretenir une vitesse uniforme, et dont la détermination appartiendra à la théorie des

canaux (chap. Vi). Ce

bief se raccorde avec le côté inférieur d'un orifice rectangulaire, dont le bord supérieur est réglé par une vanne de fond 9 que nous supposerons, pour fixer les idées, parfaitement évasée (fig. 28). Le régime des pressions est alors celui de l'hydrostatique pour la section M qui succède à l'orifice, puisque le mouvement reste uniforme dans cette partie (n* 21). On peut l'admettre également à regard d*une région M„, suffisamment reculée à l'intérieur

Fig. 28.

du bief de retenue pour que les vitesses y soient négligeables (n** 22). Si, au contraire, il règne dans le canal dCamenée une vitesse d'écoulement Vo, celui-ci sera généralement prismatique, avec une pente capable d'entretenir cette vitesse constante v^. On pourra donc, dans ce cas, invoquer, en amont, le même argument qu'en aval.

En nous plaçant, pour plus de généralité, dans ce dernier cas, nous déduirons de l'équation de BernouUi (éq. 7), si p« désigne la pression atmosphérique :

V' . ;>. H- CT^ . V , Pa + gffo . ^

Si donc on représente par h la charge sur le bord supérieur de l'orifice, qui est parfois appelé tête d'eau^ l'on pourra écrire simplement :

Cette relation est bien propre à montrer à quel point une modification des abords de l'orifice, simple en apparence, peut troubler profondément les conditions de l'écoulement. Nous voyons, en eflet, que la vitesse est devenue constante et indépendante de la profondeur du filet élémentaire considéré. Dans l'écoulement libre à travers les grands orifices, au contraire, nous avons admis (n"" 45) qu'elle était proportionnelle à la racine carrée de cette charge. Inversement, la pression qui était, pour la veine libre, constante et égale à celle de l'atmosphère (n"^ 40), se trouve maintenant soumise au régime hydrostatique, et croit en raison de la profondeur au-dessous du plan d'eau inférieur (*). En définitive, parmi ces deux éléments, celui qui était constant est devenu variable, et réciproquement.

(■) Ce principe a été ingénieusement utilisé en 18^8 par Sartoris, en vue dé maintenii* Id niveau d'un cours d'eau à une hauteur sensiblement constante malgré les crues. Le buteautanne employé à cet effet (lig. 20) est pris entre deux bigoyers verticaux, dont l'un se trouve représenté en élévation suivant ADGD. Le ilottcur, figuré en coupe en EFGil, est installé en travers du courant, et maintenu par deux saillies des bajoyci*s dont Tune se voit en IJBDt Le coursier GJKDL présente une saillie JK, sur le seuil de laquelle

KO — Puisque tous les points de la section sont animés de la même vitesse, nous nous trouvons rigoureusement dans les condi-

le liquide s'écoule en lune, k tra L'eau retrouve ainsi leodue iai passent de la manière suivante.

Suivant la section UK de ce hiet de fuite, les pressions se distriiiueiit d'après le régime hydrostatique, et, en II, s'exerce direclement la pression atmospliérique. De plus, la vitesse est conslanle dans toute l'étendue de cette section, et due il la liautcur KG. Hais, en amont de cet étranglement, en DP, la vitesse moyenne reste nécessaireineiil moindre, d'après réqualion de continuitd, et réduite dans le rapport de UK à OP. La

Pig. i9. — Bateau-vanne.

pression sera donc supérieure, en raison du Uiéorème de Bemoulli [éq. 7). On obtient ainsi, sous la quille, une pression supérieure & la pression atmosphérique, c'est-à-dire â celle qui s'eicrce sur le bateau. En un mol, celui-ci subit une lout-preinoit rémllanU. On peut, par suite, demander à cette force d'équilibrer le poids du llolteur, avec le concours du frottement dèvelojipé contre la paroi IK. Telle est l'eiplicalion de sa suspension malgré la pesanteur; et l'on ne saurait l'emprunter, comme A l'ordinaire, au principe d'Archiinède, dont ta démonstration suppose l'eiiatcnce d'une ceinture liquide continue sur la totalité du pourtour des sections horizontales.

llfaut, i la vérité, pour que cet équilibre puisse avoir lieu, attribuer au poids la valeur précisément nécessaire ; maïs il est facile de la régler en vue de ce résultat. On dispose, t cet elTet, deux systèmes de robinets sur les faces £G et FU. Si le flotteur est trop léger, on admet A l'intérieur une certaine quantité d'eau A l'aide doit premiers. S'il devient trop lourd, on en évacue au moyen des seconds. Ce poids une fois réglé, si le niveau UN vient à s'élever spontanément, par suite d'une crue du cours d'eau, Ik vitesse s'accroît avec ta charge KG, et, avec elle, la sous-pression qui en est fonction. Le poids du bateau n'ayant pas changé, celui-ci s'élève et accroît d'autant le débouché, ce qui facilite le dégorgement du bief et l'abaissement du niveau. L'invei-se se pn>duirasi le bief tend A baisser de lui-même. On trouve donc, dans ce dispositif, un mod« de réglage automatique du plan d'eau.

On peut d'ailleui-t déterminer volontairement, i un moment donné, des élévations ou abaissements arbitraires, en (àisanl jouer, dans le sens et la mesure convenables, l'un ou l'autre des systèmes de robinets, de manière A modiUer le poids du baleati-

OBIFIGES.

lions du parallélisme des tranches (n** 18), et nous pouvons appliquer directement à cette veine l'équation de continuité. Sa hauteur étant H — A et sa largeur /, nous obtenons ainsi l'expression du débit :

Q = m/(H — h) W-^2jrA.

Poncelet et Lesbros, dans le travail déjà cité (n"" 46), ont étudié la variation du coefficient de dépense m qui doit être employé pour l'application de cette formule. Nous dresserons, à l'aide des résultats obtenus par ces expérimentateurs, le tableau suivant :