QUE
1 porte le nom deremout ('). On peutencore.diinslecasactuel, admettre, pour les pressions, le régime hydrostatique .
mais d'après des motifs distincts dans les diverses portions de la masse liquide :
pour la partie animée d'un mouvement rectiligne et uniforme, en vertu du théorème 21 ; et, dans les remous, en raison de leur lenteur (n* 22). Dès lors, tous les raisonnements qui ont été em- ' ployés pour établir la théorie du canal de fuite, subsistent
ent encore la formule (21) :
l-2sA.
le maintenant sur une hauteur ilation (22) se trouve remplacée
,) v'V H- 'igh.
cas particulier, pour H,^A.
— Lorsque l'on tend tet eaux s'échappent en cascade par-des-
litile, et nous le rencontrerons dins ua Léonard de Tiiicr Bel moto e mûura Tre n, SBCt. 9. — Poncelet. Inlrodueliott < De Cili^y. Eipériences ïur les lourtilappliquAâ. 1850. ~ De Caligny. Eipélant d'un bimge noyé. Joumai de finit. Annote» det PonU et ehaïuHet, tSSO).
sus le seuil ('). L'écoulement sur cette partie plane donnant lieu aux mêmes consiâérationa que dans les deux cas précédents, on aura encore pour la vitesse qui s'y développe (éq. 2i) :
V* = ïrj' -4- 2jA.
Dans cette formule, h désigne la dénivellation qui prend naissance sur le seuil entre ce point et les récions „. . 'f "' ^ .
J.U .. ^ "■' -e ""•' Déversoir de siiperflcie,
éloignées en amont, afin de créer la
charge nécessaire à la production de l'ccoulement, en raison du théorème de Bernoulli (éq. 8). Si II désigne en même temps la hauteur, au-dessus du seuil, de ce plan d'eau, asymptotique en théorie, mais avec lequel la surface libre se confond sensiblement à peu de distance, l'épaisseur de la lame d'eau sera H — A, et le débit Q, par unité de largeur, en faisant abstraction des effets de contraction latérale, aura pour valeur :
Ces deux équations constituent des propriétés rigoureuses du mode d'écoulement qui nous occupe. Mais elles ne peuvent, dans leur état actuel, nous être d'aucun secours pour des applications effectives, puisque h reste une fonction inconnue de U. Jusqu'ici, il a été impossible d'en donner une détermination purement rationnelle.
J'indiquerai cependant la manière dont on a basé cette recherche sur un aperçu intuitif et détourné. On a admis gratuitement que la déDÎvellatioo devait se régler spontanément, de manière à correspondre au maximum d'écoulement. La formule à laquelle on se trouve ainsi conduit a été, en effet, vérifiée par l'expérience.
!') M. P. Partie a c4it«rTé de curicui cITets de la part de l'air itirerpcsC cnire la lame liquide et le déversoir [lourntU dt phytique, Témer 1X85).
IITDRAUUQUE.
me un pareil postutatum est par trop éloigoé des condiévidence, on pourrait, inversement, accepter comme un npirique, déduit directement de l'observation, la formule m, et en conclure après coup, comme une propriété de ce coulement rigoureusement établie par l'analyse, qu'il d au maximum de débit.
l'il en soit à cet égard, si nous mettons sous la forme 'expression de la dépense par unité de largeur :
I à rendre maximum devient le produit des puissances,
I I et ;, de deux facteurs H — A et /i + ^^ > dont la somme ndantc de h. Nous devons donc poser à cet égard :
ins, par suite, pour les valeurs correspondantes des deux n question :
•nséquent (') :
rillc, dans son TraiU d'hydraulique, a donné une formule difTireote ne. Manuel de la machine à vapeur tl da autret mateurt, traduit et I. Gustave Richard, p. 09J.
Dans le cas où il n'y a pas de vitesse v^ dans le bief de retenue, il vient simplement :
Qi = -^H\/%ÏÏ = 0,385 II v/2p.
3vo
Les expériences de Castel et Lesbros (*) ont mis en évidence, à cet égard, une certaine variation du coefficient de dépense, et indiqué la valeur moyenne 0,350.
Si le déversoir est en mince paroi, au lieu de présenter un seuil plan d*une étendue suffisante, la théorie précédente cesse d'être applicable. Le coefficient de dépense continue à présenter une certaine variabilité, et parait, d'après les expériences dePoncelet et Lesbros, croître en sens contraire de la charge, depuis la valeur 0,385 jusqu'à 0,424. On comprend a priori qu'il soit alors plus grand que dans le cas précédent, puisque la charge doit se compter, pour l'ori- Oce en mince paroi, sur le centre de la section (n** 47), et non plus sur son sommet, comme avec le canal de fuite (n"" 49) .
£C«VLEHENT VARIABLE
— Toutes les recherches qui nous ont occupés jusqu'à présent se rapportent au mouvement permanent. J'indiquerai ici la manière
(■] Bxpérieneeê hydrauliques mr les lois de V écoulement^ 1S32. — Bidone. Expérienceegur ia dépenee des déversoirs ^ Turin, 1824. —Castel. Expériences sur les déversoirs (Mémoires de t Académie des sciences de Toulouse, t. lY, 1857). — Clarinval. Note sur la dépense des déversoirs (ilftfui/e« des minesy 5* série, t. III, p. 517 et 841; t. XIV, p. 277). — Daubuisson traite, avec beaucoup de développements, cette importante question {àydrauliqucy p. 76).
HYDRADUCHIE.
eutétudier l'écoulement variable ('). Nous nous fonderons, , sur un poêtulatum analogue à celui qui nous a permis ; passer de la théorie des petits orifices h. celle des grandes hypothèse plausible o priori, pourvu que les variations pas trop brusques, mais dont la véritable valeur ne peut s'apprécier que par la comparaison des résultats avec l'obdirecte ('). On admet que les choses se passent dans le nt instantané, précisément suivant les lois qui présidemouvement permanent correspondant aux conditions si elles persistaient d'une manière constante, avant et
exemple, on demande la loi suivant laquelle une masse î liquide, renfermée dans une capacité de forme quelconoule à travers un orifice Q pratiqué à travers le fond 1 de ce vase, on admettra que la vitesse dans la secractée est, à chaque instant, fournie par la formule de (17):
ant par z la hauteur variable de la surface libre au-dessus le la contraction.
is conditions, le débit élémentaire pendant un intervalle dt aura pour valeur mQ\/igzdt. On peut, d'autre part, r au moyen du produit de l'aire A de la surface libre lar la hauteur — dz dont s'abaisse ce niveau, pour subvenir rdilion qui s'effectue à la partie inférieure. Nous pouvons iT l'équation différentielle :
— A(/s = mas/^xdl ,
parant les variables :
I BeraoulU. Bgdjvdynamique, 8* eection. — Bossut. Hydrodgnamiqut. • Diubuisson. Hydraulique, p. 11S- — Risal-TroiUde Micaniipu générale.
cl, en intégrant :
mayrlgjn
si H désigne la hauteur initiale du liquide à Torigine du temps. Quant à A, il représente une fonction de z, qui devra être connue d*après la définition de la forme du vase. On peut d'ailleurs, en intervertissant les limites de l'intégrale définie, faire disparaître le signe négatif» qui ne saurait être ici qu'une apparence, ce qui donne :
1 rfl A 0,565 /-H A (24) 1 = — / —dz= / -dz.
— Supposons par exemple un vase cylindrique. La section  devenant alors une constante, il vient simplement :
c'esl-à-dirc :
___ A r^dz
On en déduit, en multipliant par yj'lg :
\/^ = v/%ri — ^gt.
Celte équation montre que la vitesse d'écoulement diminue proportionnellement au temps. Cette loi de décroissance est à celle du mouvement ascendant des corps pesants dans le rapport des sections respectives de la contraction et du récipient.
Le temps T de la vidange complète s'obtiendra en faisant 2=0, Il vient ainsi :
T= Ai/M = 0,727 A>^, ma V (i a
On peut comparer celte durée à celle T qui serait nécessaire pour faire passer à travers l'orifice un égal volume d'eau, en maintenant constante la charge H. Posons à cet effet (éq. 19) :
AU = ma\fîgn,T\
^ ' mû V 2g Q
De là ce résultat, vérifié par Mariotte (*) :
L'écoulement abandonné à lui-même procède deux fois plus lentementy pour vider un vase prismatique, que si l'on maintient constante la charge sur V orifice.
— Comme exemple d'application à des sections variables, je considérerai un ellipsoïde rapporté à son sommet inférieur (*) :
/yiî 1/1 ^S <*
Si a et 3 désignent les demi-axes de l'ellipse déterminée par un plan horizontal, il viendra pour l'aire de la surface libre :
A = ira^.
(') Drisse et André. Cours dephytique^ p. 301.
(*) Le cas de la sphère s*y trouve compris pour riiypothèse a = 6 = c = R.
On aura , pour les déterminer, à supposer successivement :
j^ = 0, a = — y/'-lcz — z*;
X = 0, P = - V^2c5 — zK
II vient, par suite :
Le temps de la vidange complète d'une cuvette ellipsoïdale de hauteur H aura donc pour expression :
^b r^icz — z* 27ra6ir(iOc — 311)
^Jo
Pour la vidange du demi-ellipsoïde inférieur, on obtient, en faisant 11= c :
el avec Tellipsoïde entier, pour II = 2c : Le rapport de ces durées a pour valeur :
mais il ne faut pas perdre de vue que la plus longue des deux sert à évacuer un volume double.
56 — Si le récipient présente la forme d'une surface de révolution, engendrée autour d'un axe vertical par une méridienne quelconque :
on a, pour le temps de sa vidange :
ir r^ x^ 1,144 /*» x«
T = -p= \ -7=dz = / -pdz.
mûv2j Jo yjz a Jo y/z
Pour apprécier l'influence des variations du profil sur la durée de Técoulement, il convient d'effectuer la comparaison à égalité de volume. Nous envisagerons donc le rapport du temps T au volume V:
/ — dz t — dz
1 Jo V/F 0'363 Jo V/^
Jo Jo
Prenons comme exemple la courbe méridienne qui a pour équation :
X = Ca",
quel que soit l'exposant n, enti^ ou fractionnaire, positif ou négatif. Il vient alors :
/.H cm»***
Jo
r~dx =
Jo v/»
et, par suite :
4r + 1 mûVâjrB
On aura, par exemple, pour le cône :
Y, 5mv/^'ûv/H ûv/ïî '
pour le paraboloïde de révolution :
pour le récipient qui serait engendré par la révolution d'une parabole autour de la tangente de son sommet :
On retrouve enfin comme vérification, pour Thypothèse :
» = 0, — = — -z — pr = — =■ »
Y* m\fg ûvH ûVH
résultat déjà obtenu (éq. 25) pour le vase prismatique.
Si Ton évalue les rapports à ce dernier nombre des valeurs relatives au paraboloïde, au cône, et au vase effilé en forme de rebroussement parabolique, oii obtient les diiTérents termes de cette gradation numérique :
qui met en évidence l'influence exercée sur l'écoulement, à contenance égale, par la forme plus ou moins rétrécie du récipient à sa partie inférieure.
5*7 — La formule fondamentale (24) a été utilisée pour l'établissement de projets importants. 11 s'agissait de mettre à sec, au
moyen de galeries d'écoulement aboutissant dans des vallées voisines à un niveau inférieur, des masses d'eau considérables, telles que le lac Lungern dans l'Underwald et le lac Fucîno dans les Abruzzes.
Afin de résoudre une pareille question, on commence par effectuer, au moyen de sondages, un relevé détaillé du fond de la cuvette, de manière à en figurer les courbes de niveau équidistantes. Pour connaître Taire A de chacune d'elles, on peut se servir mécaniquement du planimètre d'Amsler ; ou bien on mesure, par rapport à un axe quelconque, ses ordonnées équidistantes, dont on substitue les valeurs dans la formule approximative de quadratures de Simpson. Ces valeurs de A, substituées à leur tour dans la fonc-
tion-y=^ fournissent alors les valeurs équidistantes de la fonction à
intégrer (24), et une nouvelle application de la formule de Simpson fait connaître le résultat cherché.
— Toutefois il arrivera ordinairement qu'une circonstance, impossible à négliger, viendra compliquer la solution ('). En effet, un bassin naturel sert ordinairement de lieu de concentration pour les eaux d'une certaine étendue topographique. On doit donc le considérer comme recevant, sans interruption, un certain débit q par unité de temps, dans lequel on aura d'ailleurs tenu compte de l'influence inverse de l'évaporation. Dès lors, le volume élémentaire — kdz qui disparaît pendant le temps dt, devient la différence entre la quantité d'eau évacuée par l'orifice, à savoir : m Q sj^îgz dt, et l'apport qdt qui n'a pas cessé d'affluer durant cet intervalle. L'équation différentielle du phénomène devient, dans ces conditions :
— Mz = mCl^2gzdt — qdt,
et il restera à l'intégrer, lorsque l'on sera suffisamment renseigné sur les quantités A et q.
Pour achever la solution sur un exemple, nous supposerons con-
(*) Daubuisson. Traité d'hydraulique^ p. 106.
stants ces deux éléments ('). L'équation devient alors, en séparant les variables :
dt dz
A q — mû ^ig»
Prenons comme variable auxiliaire :
q — ma^'igz = x.
Nous en déduirons par la difTérentiation :
dz = U - \'z = , / dx,
ma y Q m}û}q
et l'équation se transformera de la manière suivante :
On obtient alors, en intégrant avec des logarithmes népériens à partir de / = 0 :
— --i t = X — -^0 + <7 Log — • A X
Comme on a d'ailleurs, pour / = 0 :
x^ = q — ma s/2gH ,
(1) A la Térité, lliypothése de rinvariabilité de A s'éloigne extrêmement de la réalité. On obtiendrait une idée plus juste du résultat, si l'on traitait l'hypothèse d'un fond de cuvette en forme de demi-ellipsoïde, ou de quart d'ellipsoïde, qui se rapproche beaucoup mieui du type des bassins naturels, ou des étangs que Ton réalise en barrant une vallée au moyen d'une digue transversale. L'intégration peut encoi*e s'achever en suivant h même marche, mais la complication des calculs m'empêche de les reproduire ici.
H. le commandant du génie Poulain a également intégré, à l'aide des fonctions elliptiques, réquation de l'écoulement par un grand orifice rectangulaire, en supposant que la charge subisse Tinfluence de la loi des marées [Mémoire$ de la Société d'émulation du Dotibt, 17 décembre 1875).
il vient définitivement :
T^' = -(^-^')-'^K^^fe)
59 — Traitons, comme dernière application de cet ordre d'idées, le problème de la décharge d'un bief d'écluse dans le bief adjacent, à travera un orifice noyé. D'après la formule qui a été donnée pour ce genre d'écoulement (n* 51), la vitesse sera, en tous les points de la section contractée mQ, constante et égale à :
si h désigne la dénivellation des deux biefs à chaque instant. Le volume infiniment petit qui passe pendant le temps dt aura donc
pour valeur mû d/ \/2gk. D'autre part, si l'on appelle A et A' les surfaces de ces biefs prismatiques, 2 et z -h A les hauteurs d'eau qu'ils renferment, les variations de volume à la surface seront Xdz et — A'd(z+A). Comme elles doivent être égales l'une à l'autre, ainsi qu'au volume précédent, nous poserons les égalités :
mû. rr-T , (h = H — y/'-lgh dt,
dz -f- dA = — ^^ y/'^ghdt,
d'où l'on lire, en retranchant :
dh
= — mû ^— -h — j y^dt.
et, en séparant les variables :
AV dh
di=^
ma(A-hA')V^2sr y/h
ORIFIŒS
II vient, par suite» en intégrant :
mû (A
si l'on désigne par H la différence initiale de niveau des deux biefs 0).
On aura, en particulier, pour la durée de la décharge complète, en faisant A = 0 :
ma (A
