TBË*BIE SES TURBINES

tOO — Représentons en MNf, (fig. 159) la trajectoire que décrit un filet liquide à l'intérieur de la turbine. Y désignera la différence de niveau de ses deux extrémités; y et y, leurs profondeurs respectives au-dessous des deux biefs d'amont et d'aval ('). On aura, d'après cela, pour exprimer la hauteur de chute :

(') Pour Hier les idées, nous STOns supposé la turbine noyée. Si eJle était, au contnire, établie au-dessus du bier inrérieur. il suflirait, san>i rien changer au dëvelnpp^iDEDl du calcul, d'attribuer à y, une valeur négative.

BIOTEURS HYDRAULIQUES.

Cet élément fondamental présente, pour les turbines, une élasticité qui est caractéristique de ce genre de récepteurs, et qui constitue Tun de leurs avantages les plus marqués. Nous Tavons vue déjà (n** 195) s'abaisser jusqu'à 0",15. Elle peut, inversement.

Fijf. 159.

atteindre des centaines de mètres (*). Cette propriété est de nature à permettre, pour les mines qui possèdent des galeries d'écoulement, l'utilisation d'énormes hauteurs de chute, au moyen de conduites installées dans les puits.

Nous pouvons admettre, en toute rigueur, dans la relation (75) :

Le parcours intérieur doit, en effet, être absolument continu et ne présenter aucun changement brusque. En outre, nous nous imposerons la condition de recevoir, à l'entrée, la vitesse relative exactement suivant le premier élément de l'aube, c'est-à-dire sans choc.

SîOt — Pour compléter l'application de la formule générale (75), il nous reste à déterminer la valeur de v^ . Dans ce but, nous suivrons par la pensée le mouvement de l'eau depuis le bief d'amont

(*) 108 mètres à Saint-Blaise, dans la forêt Noire ; 180 mètres à Airolo, pour le percement du Saint- Gothard ; 181 mètres à Irmensladt {DeulscJier Ingenieure, i9^, p. 301) ; 500 mètres sur les bords du lac Majeur {la Lumière électrique, t. XI Y, p. 450).

jusqu'au bief d'aval, au moyen de quatre opérations distinctes. Nous appliquerons, en premier lieu, au mouvement absolu, Te théorème de BernouUi du bief supérieur au point d'entrée M, afin de déterminer la vitesse absolue v. En second lieu, nous opérerons en ce point, au moyen d'un parallélogramme, la transformation de la vitesse absolue v en vitesse relative tv. Nous écrirons alors le théorème de BernouUi pour le mouvement relatif qui s'opère, dans rintérieur de la roue, le long de la courbe MM,, et nous obtiendrons ainsi la vitesse relative w^ au point de sortie M,. Enfin nous reconstituerons, à Taide d'un nouveau parallélogramme, la vitesse absolue v^ en fonction de w^. Développons ces calculs.

Le théorème de BernouUi, appliqué depuis le bief stagnant jusqu'au débouché du distributeur en M, donne (éq. 16, p. 47) :

Pa — P

en désignant par p^ la pression atmosphérique, et par;? celle qui se produit en M.

Le parallélogramme des vitesses (fig. 140) nous fournit la relation :

(98) 1/'* == V* -^ ur — 2 wy cos a ,

en appelant a l'angle sous lequel les contre-aubes du distributeur rencontrent la circonférence.

Pour formuler, dans le mouvement relatif, le théorème de BernouUi (éq. 14, p. 35), nous prendrons pour plan de comparaison celui du point Mj (fig. 139). Les altitudes seront, aux points M et M, : Y et zéro ; les vitesses relatives w et u\ ; les vitesses d'entraînement u et m, ; enfin les pressions p et />« + vsy. U est, en effet, permis d'admettre en M, le régime hydrostatique, en raison de la lenteur des mouvements qui s'opèrent dans le bief d'aval (n* 22) ; car notre objectif est précisément d'y réduire la vitesse v^ autant que possible (p. 221 ). L'équation de BernouUi sera, dans ces conditions :

CT^i

CT

et elle peut être mise sous la forme suivante :

(99) w^' — w;» — Wi« H- m» = 2g (^ ^ -t- Y — i/i)

Fîg. 140.

Nous aurons enfin, dans le parallélogramme des vitesses du point de sortie :

• î'j* zzz It'j» -\- Wj* — 2 Mj li\ COS «1

= (l/j — M'J* -h 2m4»'|(1 — COSa^)

= (Mj — ?r,)* 4- 4wiWi sin* -^ .

La somme de ces deux termes essentiellement positifs ne peut s'annuler que si chacun d'eux s'évanouit séparément. En ce qui concerne le premier, rien ne s'oppose à ce que Ton pose, dans ce but :

ce qui réduira l'équation précédente à cette forme plus simple : (101) V = 4u,«sin*-^.

Or u^ ne saurait s'annuler, ni même conserver une faible valeur, caries turbines sont presque toujours animées de rotations rapides(^). 11 nous faut donc écrire, pour annuler le second terme :

ai = 0.

Mais ceci même ne saurait avoir lieu en toute rigueur, attendu que, si les aubes étaient tangentes à la circonférence extérieure, le débouché se trouverait étranglé et l'écoulement rendu impossible. Il sera donc inévitable que a, conserve une valeur finie. On aura soin seulement de la réduire à ce qui est strictement exigé par le débit, comme nous le verrons tout à l'heure (éq. 107). Actuellement, après avoir mis la formule (100) sous la forme :

nous ajouterons cette équation membre à membre avec les précédentes (98), (99), (101). De nombreuses réductions s'opèrent alors, et il vient» en tenant compte de l'identité (96) :

ll02) uv cos a = gfH ,

relation très simple qui ne renferme que les éléments relatifs au point d'entrée M.

tùZ — Ceux du point de sortie M, s'y relieront par la condition <iue, dans un solide tournant, les vitesses de rotation des divers

(^' Parfois nu'^me vertigineuses. On est arrivé à des vitesses de 38 tours par seconde, c'est-à-dire 2300 tours par minutOt ce qui représente environ 500 fois ceUe d'une nnie à augets.

points sont entre elles dans le rapport des distances à Taxe (') :

ou, si Ton veut :

MjT — ur^.

Il reste, en outre, à exprimer que le liquide entre, en M, à plein tuyau, et sort de même en M,, sans laisser de place aux remous. Appelons, à cet effet, N le nombre des aubes. Chacune d'elles

occupera, sur la circonférence intérieure, un arc -j^. Elle livre

donc passage à un courant dont la largeur s'évaluera, comme ci-

dessus (n** 185, fig. 109), par -^ sina. Si a désigne la dimension

de la roue dans le sens perpendiculaire à son plan, la section de la

veine liquide aura pour valeur -^ — a , et enfin le débit qui s'y établit sera :

2izar siii a

Si, d'un autre côté, l'on imagine qu'un observateur participant à la rotation de la turbine exécute, pour le mouvement re/o/t/ et au point de sortie, un jaugeage analogue, il obtiendra de même, en se servant, pour cela, de la vitesse l'elative de ce point, la valeur suivante :

Mais ces deux observations doivent nécessairement donner le même résultat. Nous pouvons donc poser :

(') En ^énérali le i*appurl des rayons varie, dans les turbines, entre 1,25 et 1,50.

-vv ''*%•■'.

(105) a^7\Wi sin a^ = ai*v sin a.

Multiplions maintenant membre à membre les équations (102), (103), (105), en tenant compte des réductions qui s*opèrent. Il viendra par là :

a|!/|^ ces a, sin a^ = glla sin a,

fit Ton en déduit :

(106) «.« ^ JL i^îîll ^H

«1 sm «4

Celle relation exprime, en fonction de la hauteur de chute et de divers éléments de la turbine, la meilleure vitesse à la jante que Ton puisse imprimer à ce récepteur. Sous ce rapport, la pratique a mis en évidence une propriété précieuse de ces appareils, de nature à expliquer le grand essor qu'a pris leur emploi. Le rendement n'est, en effet, que peu altéré par des variations assez étendues de l'allure, aux environs de celle qui correspond au maximum d'effet utile (éq. 406), lors même que cet écart dût atteindre la proportion d'un quart en plus ou en moins.

%0Z — Le débit sera (éq. 104) pour les N aubes réunies :

(J = 2iïa|7*iM'| sin a^.

Mais w^ ne diffère pas dew, (éq. 100), et, si nous lui substituons la \aleur (106), il vient :

A / f^ tang a „

Q = 2r,aii\ sin a. \/ r-^ — qli ,

Y a^ sm ai

ou encore :

(107) Q = 2i:?-4 v^aa^jf 11 tang a sin a^.

De là une relation nécessaire entre les éléments de la turbine et ceux Q,H de la chute à laquelle on la destine. On peut arriver avec ces appareils à dépenser, sous un volume restreint, des débits considérables^ dépassant au besoin 4 mètres cubes par seconde.

204 — Il est encore important de déterminer la pression p qui se trouve développée dans le joint du récepteur au distributeur. A cet effet, nous multiplierons encore les mêmes équations (102), (103), (105), mais après avoir renversé les deux membres de cette dernière. Il vient ainsi :

(108) 0' = 2jH ^ fiiV ^

^ ' ^ a \r/ sm2

et, en substituant cette valeur dans la relation (97) :

(109) hlzL=ii^(!lY^-,j.

On ne saurait naturellement établir entre ces deux organes un joint étanche à frottement. Il est, au contraire, à propos d'y laisser un faible jeu. Pour éviter, dès lors, qu'il ne donne issue à des filtrations fâcheuses de liquide, il conviendra de réaliser, au moins approximativement, l'égalité de pression au dedans et au dehors. Mais, à l'extérieur, elle a pour valeur p^ -f-tj (y — H). Nous aurons donc à nous imposer la condition :

c'est-à-dire (*) :

a \ r / sin 2 a

(') Si la turbine fonctionne dans l'air, on devra prendre p^pa- En même temps y diffërc peu de H, en lui restant inférieur. On le représentera donc par une fraction

TURUINËS. 307

SOS — Après avoir ainsi évité les indécisions de l'introduction de l'eau, qui résulteraient àe fuites ou de rentrées, il faut encore obleair que l'insertion de la veine se fasse avec précision et sans choc, c'est-à-dire que l'aube mobile ait une inclinaison ^, en raison de laquelle elle se présente dans la direction même de la vitesse relative.

Le parallélogramme des vitesses nous donne, à cet égard, au point M (fig. UO):

On déduit d'ailleui-s de l'équation (102) :

OU, d'après {108} :

De là l'égalité :

Ln(a + f() ar*sin« sin ^ Oi r,* sin a

On peut encore lui donner, à l'aide de la relation (HO), celte forme plus simple :

»iii(« + p) 1 »in [t ^ cos a

caoDM de 11, et. dans ces conditions, l'équation (100) conduira i une relBlion luule KmUible à (110). aveu cette difTérencc toutefois que l'unité qui foi-me le second loembre de celte deruiii'e ésolilc, se trouvera remplacée par la Traction en question. Il Mndonc bien essentiel de ne pas oublier que l'on ne verra plus alors se dérouler les ooQwqueiKM de l'cqualioii (tlO), cl notanimeul qu'il n'y aura plus lieu d'invoquer I) tonBule(lll;.

OU, en développant :

2 sin a cos a cos fi H- (2 cos* a — 1) siii p ^^ 0,

sin 2 a cos 3 + cos 2 a sin 3 = 0,

sin (2a-{-?) = 0,

c est-à-dire :

(Ht) 2a -+- p = i80«.

206 — Occupons-nous enfin de former Tex pression (76) du rendement a. Il vient pour cela, en remettant, dans Fexpression (101), la valeur (106) de m, :

. . , «i a langa

2 sin ^^ cos ^^

On en déduit :

et, par suite :

(112) 1 = l - j^ langa tang^ - ^^^

On voit par là qu'il est avantageux d'évaser les turbines, c esl-àdire de prendre, dans le sens perpendiculaire à la roue : a^ > fl. Cependant cet artifice ne saurait être poussé bien loin, sous peine d'amener, par un épanouissement trop prononcé sur un aussi faible parcours, le dégorgement et la production de remous (n" 65). En général, Tévasemcnt a^ — a ne dépasse pas le dixième de la longueur des aubes.

On reconnaît également combien il sera utile de restreindre les angles a et a, dans les limites convenables. On sera d'ailleurs dirigé, à cet égard, par la nécessité de satisfaire à la condition (107), et

surtout à réquation (109), car la pression p deviendrait négative, si a se rapprochait par trop de zéro ou d'un angle droit. Ordinairement, l'inclinaison a des contre-aubes du distributeur est de 33 à 35 degrés, et celle a, des aubes réceptrices, à la sortie, de 15 à 20 degrés.

Pratiquement, le rendement d'une turbine bien établie doit être au moins de 0,70; il peut môme dépasser 0,80 (n**" 190 à 194). M. Bernard Lehmann, dans une série méthodique d'essais exécutés sur 36 récepteurs (*), a indiqué respectivement les rendements moyens 0,82 ; 0,77 ; 0,82 pour les trois catégories de turbines cylindriques, centrifuges, ou centripètes.

Rappelons qu'indépendamment d'un effet utile aussi avantageux, ces moteurs se recommandent encore par leur faible volume (If 203), par l'élasticité que comporte la vitesse de régime (n° 202), par la facilité de leur application aux chutes les plus basses comme aux plus élevées (n° 200), et enfin par la faculté de fonctionner sous la glace en hiver (n° 195).

t07 — Lorsqu'il s'agit d'établir a priori un projet de turbine, le problème reste indéterminé. Il admet, en effet, les données Q et H, et deux classes d'inconnues que nous pouvons appeler géorm^tri(pies et dynamiques. Le premier groupe comprend les sept quantités a, a,, r, r,, a, CL^, J; la seconde, ces sept autres éléments : M, M,, t\ i',, Wj u\, p. Or nous ne possédons entre les inconnues géométriques que les trois relations (107), (110), (111) (*). Toutes les autres renferment, en même temps que ces dernières, des éléments dynamiques.

On commencera donc par se donner arbitrairement quatre des

inconnues géométriques, et l'on en déduira les trois autres. Cela

posé, l'on déterminera le rendement X par la formule (li2), et la

u vitesse de régime -^ d'après la relation (106), ce qui pourra suffire

dans la plupart des cas. Si l'on veut cependant compléter la réso-

{') Deuticher bigenieure^ XXni, 31.

*, Réserve faite de l'observation relative aux turbines installées dans Pair (n* 204, note \).

3i0 MOTEURS HYDRAULIQUES.

lution du problème, on déduira u de l'équation (103), maintenant que Ton possède la valeur de u^; v^ de la relation (101); et v de Tégalité (108). La formule (100) fera connaître w^, et (98) w. Quant à la pression p, elle sera déterminée, d'après l'équation (i09), en fonction d'une cinquième arbitraire géométrique y, correspondant au mode d'emplacement qui aura été adopté.