IF

relation qui nous fournit une troisième valeur de -^•

Nous pouvons en obtenir une quatrième on additionnant terme à terme les trois fractions égales (2), (4) et (5) ; ce qui donne, en résumant dans le symbole ^ l'ensemble de l'influence des frottements :

m du — (P — p') s — (m^ — m) y — <^

'■Hiï

On voit que les équations différentielles (1) et (6), relatives aux deux types distincts du moteur à simple effet, rentrent l'une et l'autre dans la forme commune :

(7) dv (p-pQS-N

pour laquelle il nous sufQra, par conséquent, d'achever le calcul.

815 — En multipliant membre à membre cette relation par

l'identité :

dh

dans laquelle h désigne la hauteur parcourue par le piston, il vient :

(8) Uvdv = [(p — ]/) S — ^dh.

Mais l'intégration de cette équation prend des formes différentes pour les diverses phases de la distribution.

1^ Pendant la période d'admission, p demeure constant et sensiblement égal à la tension p^ de la chaudière. Il vient donc, en intégrant depuis la vitesse nulle du début jusqu'à la vitesse finale v^, et désignant par h^ la hauteur, directement connue, qui se trouve parcourue en pleine pression :

(9) ^Mi;:=[(/^,-;/)S-N]/i,.

2*^ A partir du commencement de la détente, la tension p varie

d'après une loi que l'on peut confondre pratiquement avec celle de

Mariotte(*) :

ph = pji^.

(») Voy. 1. 1, p. 815, note.

L'équation différentielle (8) devient d'après cela :

(i 0) Hvdv = p,h, J^ — (|>'S 4- N) dA.

On voit que, au fur et à mesure que h augmente, Taccélération, qui tout à l'heure était constante, est devenue décroissante. La vitesse s'accroît donc moins rapidement que pendant la phase de pleine pression, pour laquelle le mouvement était uniformément varié.

Elle atteint son maximum à l'instant où l'accélération (7) s'annule, ce qui donne pour la hauteur correspondante A, :

d'où l'on déduit :

La valeur v, du maximum sera fournie par l'intégration (*) de l'équation (10) entre les limites r^, A, et v,, A,, qui nous sont fournies par les relations (9) et (11) :

(12) |M(t;:-<)=;.Ai-^-(p'SH-N)(A.-AO.

ou plus simplement, en ajoutant membre à membre avec la relation (9), et substituant pour A, sa valeur (11) :

4m»: = pAi(^;^)

S"* A partir de cet instant, Taccélération devient négative, et la vitesse décroît jusqu'à l'arrêt. Pour obtenir la hauteur totale d'élévation A„ il suffira de remplacer dans l'équation (12), considérée pour un instant comme intégrale générale^ A, par A,, et r, par zéro;

(*) Effectuée ici avec un logarithme népérien.

ce qui donne :

- ^Mi^: = p,h,L Ij - (p^S 4- N) (^3 - K), ou, en ajoutant avec (9) :

(15) PihiL^ — (p'S -+- N) A5 + pA = 0.

il ne resterait plus qu'à résoudre, d'après les méthodes connues, cette équation transcendante par rapport à h^

816 — Mais, tout au contraire, nous devrons ici considérer Ik comme assigné d'avance, et égal à la course extrême que l'on veut permettre au piston. Ce choix arbitraire est en effet ici dans la nature môme des choses, puisque la course n'est plus déterminée a priori comme avec la machine de rotation, où elle a nécessairement pour valeur le double de la manivelle. On tirera ensuite sans difficulté de l'égalité (13) la valeur de N, ou de la différence m — m', qu'il y a lieu d'établir entre la masse motrice et celle du contrepoids; ce qui fournira finalement la valeur de celui-ci.

Cette question des masses est en eflet capitale dans la machine à simple effet. Elles y jouent en partie le rôle qui appartient au volant dans les moteurs de rotation. L'attirail doit avoir une certaine

dv importance, en vue de diminuer Taccélération -j-f à laquelle correspond la fatigue élastique des pièces. Or on voit (éq. 6) que m et m' figurent par leur différence au numérateur» et dans le dénominateur par leur somme, encore augmentée d'une partie de celle du balancier.

La portion m — m' qui reste non équilibrée doit elle-même garder une valeur notable, sous peine de voir augmenter la course au delà de ce qu'il serait possible d'admettre comme hauteur du cylindre. En effet, la relation (13) peut se mettre sous la forme :

La valeur de N et celle de m' — m dépendent donc de la fraction :

Lorsque l'on y considère h^ comme une donnée et A, comme la variable, la dérivée de cette fonction se réduit à :

quantité négative, car h^<^h^. La valeur de m' — m vane donc en sens inverse de A,. Par conséquent, pour limiter la longueur du cylindre, il est nécessaire de développer suffisamment m! — m.

817 — Ce rapport ~ sert de caractéristique pour le degré de

détente. Les expansions les plus prolongées correspondent aux grandes valeurs de A,, lorsque l'on considère A^ comme assigné a priori par la condition de dépenser une quantité déterminée de vapeur pour chaque coup de piston, dans un cylindre dont la section est, d'autre part, fournie directement par des considérations de force statique (n^ 563).

Si l'on exagère la détente, la partie non équilibrée ni' — m diminue; et comme le poids à élever m' se trouve déterminé, m doit augmenter en conséquence. Dès lors l'économie de combustible que peut procurer cette longue expansion, se trouve compensée par l'exagération de l'attirail. Il y aura donc lieu, dans chaque cas, de s'inspirer tout à la fois du prix du combustible, ainsi que de l'intérêt plus ou moins prononcé qui pourra s'attacher à la construction d'une machine plus légère, moins encombrante, et plus rapide, en vue d'accorder à chacune de ces deux influences antagonistes la part qui sera jugée convenable.