II

force^ et cherchons à reconnaître son influence sur la sensibilité du régulateur.

Je reprendrai, pour faciliter ces explications en fixant les idées, l'exemple du régulateur de Rolland. Nous devrons, pour la partie de l'appareil sur laquelle ont porté nos raisonnements du n"" 870,

adjoindre la force — au poids Q" de la charge A" qui est chargée d'actionner le distributeur. Il faudra donc changer dans l'équation (H) Q" en (y dz— ; le double signe étant destiné à nous permettre d'embrasser dans un seul calcul le cas de la manœuvre montante (pour laquelle la résistance est dirigée vers le bas), ainsi que l'hypothèse inverse.

Si, dans ces conditions, nous appelons û la vitesse angulaire, pour la distinguer de celle (o qui correspond à l'isochronisme sans résistance, cette relation deviendra par là :.

PaXû» , . ,

(Sm a -h ces a)

= (PX + 2Q'/ -+- 4pO sin a + /^Px -h 2Q'7 dz 2 -î- / + 4pA cos a;

ce qui donne, en retranchant membre à membre avec l'égalité (11) :

(û* — co«) (sin a + cos a) = ±: — / cos a.

On en tire :

nPXa 1 + tang « c'est-à-dire :

nPxaw" 1 + tang «

ou eh extrayant approximativement la racine carrée ('), et formulant

(») D'après la remarque du n« 746, note 1.

séparément ses deux valeurs :

\ nPXaw» 1 H- tang a /

û"= tù (i ^! ^ V

\ nPXato» 1 4- tan^%/

Nous sommes en effet autorisés, pour cette approximation» à regarder comme une faible quantité celle qui, sous le radical, se trouve précédée du double signe; car s'il en était autrement, ce serait Tindice que l'appareil aurait été établi dans des conditions détestables; le produit de ce terme par 2a> représentant la différence des deux vitesses de démarrage û' et Qf vers le haut ou vers le bas, écart qui doit rester peu considérable.

— On mesure précisément ce^ue l'on appelle la sensibilité du régulateur par le rapport de cette qusftitité Û' — Û' à la moyenne arithmétique de ces deux vitesses, ou plii^ simplement à leur somme û -+- Û^ :

û' û" Ig 4»

û' -1- û" nPXa«* 1 -h tang a

On voit que cette valeur varie avec l'angle a. Pour obtenir, comme il est désirable, une caractéristique fixe, on envisage l'écart spécial a^ qui correspond au maximum ^^ de la résistance opposée par la distribution à sa manœuvre par le régulateur. Cest ^ors à cette situation, la plus défavorable de toutes, que l'on s'attache pour l'appréciation qui nous occupe, en posant :

^ ^ \ û' -+- û" Jo ~ nPXa»* 1 -f- tang «^

Nous voyons, d*après cette expression, que Ton a intérêt à augmenter le nombre n des appareils élémentaires» qui sont associés dans des plans équidistants pour constituer l'ensemble du régulateur. Cet artifice permet en même temps de diminuer individuellement rimportance des boules capables d'un effort déterminé;

par suite aussi le diamètre des articulations qui les supportent, et enfin le travail des frottements correspondants, c'est-à-dire la valeur de ^\.

11 sera également avantageux d'augmenter la longueur a de la potence, et de diminuer le côté / des losanges ; double condition qui favorise d'ailleurs l'installation des n systèmes élémentaires dans le voisinage de l'axe.

883 — En ce qui concerne les boules, la sensibilité sera d'autant plus satisfaisante que leur poids P et leur bras de levier X seront plus notables. L'accroissement de ce dernier n'entraîne aucun inconvénient. On peut, au contraire, en trouver au premier abord à augmenter le poids, attendu qu'on développe ainsi les frottements, et par suite la valeur de ^P^. Toutefois cette influence indirecte restera peu importante, et nous devons au contraire en signaler d'autres, quijlendent à recommander l'emploi des lentilles massives. ^,

tout d'abord on y trouve l'avantage de concilier, dans une certaine mesure, la stabilité avec la sensibilité. Cette dernière, en effet, pour constituer une qualité vraiment jprécieuse, ne doit pas être confondue avec Vaffollement du régulateur sous les moindres influences ('). La masse des boules qui entre comme facteur dans l'expression de leur force centrifuge est destinée à fournir la puissance motrice capable de surmonter les résistances qui s'opposent au mouvement de la distribution. Si, à force de s'attacher à dirainuér ces divers obstacles, on, arrivait à se contenter de masses très réduites, les moindres perturbations leur deviendraient comparables, et la sensibilité entrerait en jeii d'une manière incessante. Lorsque, au contraire, la. résistance à. vaincre reste notable, le modérateur récouvre.ïine certaine" stabilité. On a parfois, d'après ces vues, amélioré des régulateurs désordonnés en y créant un supplément de frottement, par le serrage d'une articulation. Ce remède

• f} Lêautiè. Sur la théorie. 9ë& régulateurs. Revue générale dei sciences purges et appliqué^, 30 octjobre 1890, ^. 625- -* Hirsch. La [mécanique à V Exposition de 1878. p. 2^5. — Sauvage. Annales des mines^ 8« série, t. XVH, p. 497. —^Pichâull. Géniç

iMVkl. I.'I, p. 0. ' ♦ ' - - ^ - * ' - ^ • • • '«. .. j ........ ' ....

singulier réussissait à ramener une allure normale. Quelquefois aussi, on introduit la résistance permanente d*un frein à huile. ; D'autres motifs encore doivent faire éviter l'emploi des régula^ teurs ultra-sensibles, qui jouent à Toccasion des plus faibles variar tions. Il convient, en effet, de laisser au volant sa part normale d'action pour éteindre Teffet de ces influences légères pendant le cours de la période du mouvement de rotation, et de se rappeler que la principale fonction du régulateur est bien plutôt d'équilibrer, de révolution en révolution, le total de la production de puissance motrice avec la résistance. Si le volant était insuffisant, le régulateur ne pourrait convenablement le remplacer. Par exemple, quand ce dernier vient à fonctionner lorsque la vapeur est coupée, son effet reste nul, et ne peut se faire sentir qu'à la course suivante. Pendant ce temps, la vitesse a le temps de varier d'une manière sensible; tandis que le rôle du volant est incessant et sans intermittence.

— Oscillations à longue période. — Nous nous sommes, dans les calculs précédents, placé uniquement au point de vue du repos relatif, tandis que l'action utile du régulateur ne se développe précisément que par le mouvement relatif qui résulte de sa déformation, pour se communiquer au mécanisme de distribution. Examinons maintenant de plus près ce côté de la question.

Supposons que, l'appareil ayant pris son équilibre relatif pour la vitesse réglementaire u sous un écart a, on vienne à supprimer subitement une partie de la résistance industrielle que l'on était en train de surmonter. La vitesse de rotation va, comme conséquence, acquérir des valeurs û progressivement croissantes à partir de o),

avec une accélération angulaire --n d'ailleurs atténuée par l'effet du

volant. Les forces centrifuges, qui sont fonction de û, croissent en même temps. Le mouvement relatif d'écartement des boules se

développe avec une vitesse angulaire propre -tt (qu'il ne faut pas confondre avec û, ou ^ j» et une accélération angulaire -^-

Si le système se réduisait à un solide unique tournant sur une charnière, cette accélération serait en raison inverse du moment d'inertie de ce corps. Dans la réalité, le dénominateur de son expression sera plus ou moins compliqué par l'influence des autres pièces du régulateur et de la distribution. Tenons -nous -en cependant, pour plus de simplicité, à la première conception, et distinguons deux cas, selon que la valeur de ce moment d'inertie est très faible, ou au contraire d'une grande importance.

885 — Dans la première hypothèse, l'accélération -p- sera in-

doL tense. La vitesse d'écartement -j atteindra rapidement une grande

valeur, et l'écart a arrivera en très peu de temps à l'angle d'équilibre Aj, qui est compatible avec le changement apporté dans la distribution du travail moteur par le déplacement a, — a.

Dans un aussi bref délai, la vitesse û, qui est proportionnelle à celle de l'arbre du volant, n'a pu s'accroître que fort peu au delà de (o. Les forces centrifuges, sans être précisément celles qui sont capables de l'équilibre relatif pour la position a^, lequel exigerait rigoureusement la vitesse co, en seront cependant peu différentes. Celte nuance suffira néanmoins pour faire dépasser légèrement la position a^ jusqu'à une autre a,. On aura par là trop diminué l'admission; ce qui laisse maintenant le travail moteur en déficit, et non en équilibre.

Il s'opérera par suite inévitablement une réaction en sens inverse, de Q vers o), avec ralentissement général, et rétrogradation de a, vers a,. Pour les mêmes motifs, ce retour en sens contraire s'effectuera dans un laps de temps fort court. On dépassera donc trës peu la position a, pour en atteindre une autre o^, et continuer ainsi alternativement. A travers des oscillations aussi faibles, et bientôt éteintes, le régime voulu finira par se trouver rétabli.

886 — Mais il en sera tout autrement si nous supposons un moment d'inertie considérable. L'accélération -t-j- est alors peu im-

portante, et l'écart varie lentement. Lorsque la valeur a, est atteinte* l'cflet de la diminution préalable de la résistance a eu le temps d'emmagasiner une quantité appréciable de force vive dans le volant. La vitesse û est devenue notablement supérieure à (o. Les forces centrifuges sont dès lors beaucoup trop grandes pour l'équilibre» et leur excès conduira le système jusqu'à une position <i\ sensiblement plus éloignée que celle a, qui correspondait au cas précédent. Elle ira même la plupart du temps jusqu'à la butée qui est destinée à mettre une limite aux excursions excessives.

A son tour le recul s'opérera avec lenteur, pour la même raison ; et l'on dépassera beaucoup la position a,, en a ,, sans doute môme jusqu'à la butée opposée. Les oscillations seront donc, dans ce cas, d'une grande amplitude et d'une lenteur caractéristique; de telle sorte qu'avant que l'on puisse réaliser le rétablissement du régime normal, on aura le temps de voir naître quelque autre incident qui remettra tout en question. On arrive ainsi à une marche absolument incohérente (').

Ce défaut des longues oscillations a été reconnu par les praticiens, avant même que la théorie eût entrepris d'en rendre compte (*). Nous venons de voir que le moyen d'y remédier consiste à diminuer le moment d'inertie PX*. Pour un degré déterminé de sensibilité, c'està-dire pour une même valeur du moment PX (éq. 19, p. 4G7), ce moment d'inertie reste proportionnel à X. Nous sommes donc conduits à diminuer ce bras de levier, et par conséquent, pour conserver la constance du produit PX, à augmenter en raison inverse le poids P. De là un nouveau motif d'employer de grosses boules, à l'extrémité de courts bras de levier.

(') Les effets de cette nature ne se produisent pas avec les régulateurs statiques, tels que le gouverneur de Watt. Pour ceux-ci, l'écart es', fonction de la vitesse angulaire. L'angle a croît alors en môme temps que oo. Il finit par attemdre un maximum,

ce qui suppose à ce moment la condition v- = 0, laquelle entraine également -j- = 0.

dt dt

La vitesse co ne s'accroît pas non plus au delà, et ne donne pas lieu aux oscillations

inhérentes aux régulateurs isochrones, pour lesquels il n'existe, i l'inverse du cas

actuel, aucune liaison entre a et co. Dans le cas du régulateur statique, la vitesse

conserve sans alternatives la valeur qu'elle vient d'atteindre. Malheureusement ce n'est

plus la vitesse voulue, et tel est l'écueil qui nous a engagé ci-dessus dans la recherche

de l'isochronisme (n* 805).

887 — Régulateurs quasi-^isochrones. — Le défaut essentiel des régulateurs asiatiques sur lequel nous venons d'insister a fini par déterminer chez les constructeurs une tendance à déserter le terrain de la rigueur, pour se contenter d'un degré déterminé disochroxùmey que Ton cherche à concilier avec une suffisante stabilité (') en laissant à la différence Û' — û" (éq. 19, p. 467) une certaine marge (*) .

Quant à fixer d'une manière générale le degré de Tune et de l'autre de ces deux qualités qu'il convient d'allier ensemble, ce n'est pas une question que la théorie semble pouvoir trancher a priori d'une manière générale. On peut dire jusqu'à un certain point que le régulateur et le moteur sont faits l'un pour l'autre. Us s'influencent mutuellement dans leurs propriétés; et tel modérateur, parfaitement adapté à une machine déterminée, ne donnera plus les mêmes résultats si on l'installe sur un autre moteur, ou avec un volant d'importance différente (').

. 888 — Régulateur Andrade, -r- On doit à M. Andrade (*), ingé-

[*} Léauté (Mémoire sur les oscillations à longue période. Journal de VÉcole Polytechnique^ 55* cahier. — Comptes rendus de l'Académie des science*^ t. C, p. 15i). -^ Bérard et Léauté. Sur les moyens de réduire les aco^idsements de vitesse. Mémorial des poudres et salpêtres^ t. H. — Wonns de Romilly. Annales des mines, 7* série, t. ], p. 55. — Rolland (Sur les effets des variations du travail et les moyens de les régulariser. Comptes rendus de l'Académie des sciences, 8 janvier 1872, p. 99. — Sur la théorie dynamique des régulateurs. Ibidem, \^ août 1876, p. 418). — Hirsch. Cours de machines à vapeur de l'École des ponts et chaussées, feuilles autographiées. -^ Ledieu. Nouvelles machines marines, t. H, p. 293. — Marié. Annales des mines, ?• série, t. XIY, p. 450; 8*, XII, 193. — Wischnegradski (Comptes rendus de l'Académie des sciences, 31 juillet 1876, p. 318. — Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. lY, p. 1; V, 192).

(*) Léauté (Isochronisme à un degré déterminé, se rapprochant plus ou moiqs de l'îsochronisme rigoureux. Revue des travaux scientifiques, septembre 1881, p. 758. — Sur un procédé permettant d'obtenir un degré doimé d'isochronlsme. Comptes rendus dû l'Académie des sciences, 25 août 1878, 1*' septembre 1879. — Sur un perfectionnement applicable à tous les régulateurs à force centrifuge. Journal de l'Ecole Polytechnique, Al* cahier. — Note sur les régulateurs. Eléments de conslruction de machines par Unwin. Traduction de Bocquet. — Génie civil, t. X, p. 96). — PichauU. Étude sur les régulateurs de vitesse et sur un nouveau régulateur à boules et à isochronisme approprié. Génie civil, 1881, p. 202, 233, 265, 286, 313, 385, 400. — Régulateur Pichault. Victor Lebeau. Des régulateurs appliqués aux machines, 1890, p. 64. — Haton de la Goupillière. Revue des travaux scientifiques, t. H, p. 249. I (') Hirsch. La Mécanique à l'Exposition de 1878, p. 281.

(*) Résal. Annales des mines, 1* série, t. XHI. — Marié. Ibidem, 1" série, t. XIV,

RËGULiTEUHS k FORCE CEimtlFtJGE. 473

nieur du Corps des constructions navales, un régulateur compris dans la catégorie de ceux que l'on peut à volonté rapprocher de risochrontsme. sans que toutefois il y rentre rigoureusement par son principe.

Il se compose (fig. 542) d'un double pendule de

Watt BOB', de longueur/, ,

auquel on adapte un losange articulé LMNN'. Un des sommets L de cet or- . ^ | gane caractéristique est fixé sur l'axe de rotation, h une distance OL du " sommet égale au c6té a du losange. Le second M est adapté au manchon

mobile, qui actionne la Flg. Sli. - Régulateur Andrade (éléviKon).

distribution au moyen

du levier O'II et de la tringle IDC. Les deux autres N et N' sont portés par des coulisscaux engagés dans des rainures pratiquées longitudinatement sur les bras du pendule.

Si P désigne le poids de l'une des lentilles, le travail virtuel des forces centrifuges sera pour l'ensemble de ces deux boules (a* 860 et 863) :

2 — «'/' sin a COS «rfa,

et celui de leur poids (n" 865) :

— 2P/siD«</a.

Appelons Q l'ensemble du poids du manchon avec sa surcharge et de

p. WS. — Lebeau. Dtt Régutatair» appliqué* eux machina à tapeur, 1890. p. 48. — BuchalU. Lei Machinet à vapeur aclaetUt, p. Si3. — Uhlaud. Leê NouxUet Machinée à vapeur, p. 94. — JUvue induttrieUt, 187G, p. 105. — Bulletin d* la SotitU induttriellt de Mulkouie, t. LU, p. 5S. — Compte rendu mttuuel di» téancei de la Société de riiiduttrie minérale de Saint-Êtieiine, septembre 1818, p. IM. — Le* Monde; I. XIXEX, p. 65S.

474 MACIUNES À TAPEUR.

la résistance que lui oppose la distribution, réduite diaprés le rapport des bras de levier, de manière à être appliquée par la pensée en M. Le travail virtuel de cette force sera (n* 863) :

Qdz,

en appelant z la distance MO, qui a pour valeur :

z = a-hia ces 2a, dz = — 4a sin iada = — 8a sin a ces ada.

L'équation d'équilibre sera d'après cela, en la débarrassant de suite du facteur commun 2 sin ada, dont nous écartons comme ci-dessus les racines a, et a^ (n* 859) :

— w'/* ces « — P/ — 4Qa cos « = 0.

On en déduit :

,t iM . â

P/' / cos a

La valeur de la vitesse angulaire n'est donc pas indépendante de a. Aussi le modérateur Andrade ne rentre-1-il pas théoriquement dans la catégorie des régulateurs rigoureusement isochrones. Mais il dépend du constructeur de l'y rattacher au degré voulu, que nous devons d'ailleurs (n** 887) laisser à dessein limité. Il suffit à cet effet de disposer arbitrairement de l'un des éléments de l'appareil, de manière à imposer la valeur que l'on jugera convenable au rapport :