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et de temps, rien ne nous empêche de relier entre elles les trois unités qui.servent à leur mesure. C'est précisément ce qu’avaient timidement fait les savants de la Révolution, quand ils reliaient l'unité de masse et l'unité de longueur. Ils auraient pu aller plus loin en reliant aux premières l'unité de temps.

Le lecteur remarquera que, pour l'instant, je ne précise en aucune manière quelles sont les unités choisies : : ta ne ferait qu'’obscurcir les considérations suivantes.

2%.— La mesure d’une quantité Q se ramène donc (plus ou moins complètement) à la mesure d'un ou plusieurs temps, d’une ou plusieurs masses, d'une ou plusieurs longueurs.

On conçoit qu'il est utile de calculer les modifications numériques introduites dans le résultat de la mesure de cette quantité Q, par le changement des unités fondamentales.

Mais il est clair que les transformations de formules, quelles qu’elles soient, ne peuvent modifier la manière dont la mesure de la quantité Q dépend des unités fondamentales; d’où l'introduction d'une homogénéité particulière permettant de véribersles calculs, comme il arrive en géométrie et pour la même raison.

Les formules dites de dimensions satisfont à ces besoins. Malheureusement leur signification a été souvent mal comprise; de pseudophilosophes, qui n'étaient que des ignorants, leur ont attribué un rôle qu’elles sont incapables de remplir.

3°. — Partons des formules équivalentes :

le v RU PR Lit

Premier problème : cherchons comment est modifiée l'unité de vitesse quand nous modifions l'unité de longueur.

Second problème : cherchons comment est modifié le nombre qui exprime le résultat de la mesure d’une vitesse concrète déterminée (vitesse d’un corps après une seconde de chute, par exemple) quand nous modifions l’unité de longueur.

Nous ramenons immédiatement ces problèmes l’un à l’autre, en remarquant que si l'unité de vitesse est multipliée par «, le Éombre qui exprime le résultat de la mesure est multiplié par l'a.

Portons donc notre attention sur le premier problème.

Il est clair que si l’unité de longueur devient dix fois plus grande, la même longueur est exprimée par un nombre dix fois plus petit : pour que la formule subsiste telle qu’elle, il faut donc que la vitesse soit elle-même exprimée par un nombre de fois plus petit, c'est-àdire que l'unité de vitesse soit dix fois plus grande.

Même raisonnement pour le temps, mais en sens inverse.

C’est immediat: la formule de dimension v—LT-" rappelle le résultat : Quand l'unité de longueur est multipliée par x, quand

Me 0 MAGNÉTISME ET mess

- les l'unité de temps est multipliée par 6, l’unité de vitesse est multiphée par af, SI NOUS VOULONS CONSERVER LA PORMULE e—vl, AVEC LES MÊMES COEFFICIENTS NUMÉRIQUES (ici égaux à l'unité).

& nr le résultat de la mesure d’une vitesse concrète est ; multiplié par 1:aÿ-'—c"'f$, quand on passe du premier système d'unités fondamentales au second.

+ 4. — Dans le cas précédent, nous ne pouvions pas nous tromper; ni. la formule de dimensions était inutile.

“#4 Mais son utilité croît à mesure que la quantité considérée dépend 1e des unités fondamentales d’une manière plus complexe. , Re Prenons la formule donnant la force : F—Mg. ne. Nous écrirons : F—M & —M ue :

EC: … Pour simplifier, nous remplacerons cette formule par une formule 1 de dimensions dépouillée de tout coefficient numérique et de tout Ta signe de dérivation (voir Mathématiques générales, LE, où nous

ne conserverons, par conséquent, que les mesures fondamentales,

affectées d'un Poe convenable.

Nous écrirons :

vitesse — LT-!, : accélération —LT-?, force — MLT-*?,

On exprime ainsi, non pas que la force est le produit d'une masse par une accélération, ce qui est absurde, encore moins que la force est le quotient du produit ML par le carré du temps, mais simplement que le changement des unités fondamentales influe sur l'unité de force, comme si elle était donnée par la formule F—MLT-*?.

Par exemple, les formules étant conservées avec mêmes coefficients numériques, si l’unité de temps devient dix fois plus petite (est multipliée par 41:10), l'unité de force devient cent fois plus grande. ‘

En effet, l'unité de vitesse, définie par le fait que le mobile parcourt l’unité d'espace dans l'unité de temps, devient dix fois plus grande ; l'unité d'accélération, définie par le fait que le mobile gagne une unité de vitesse dans l'unité de temps, devient dix fois plus grande en raison de la diminution de l'unité de temps, dix fois plus grande en raison de l'augmentation de l'unité de vitesse; elle devient en définitive cent fois plus grande.

nus

Prenons une formule. quelconque : T—27 . , par exemple. Il est clair que les changements d’unités doivent influer de la même

manière sur les deux membres de cette équation. Donc ils doivent

définir ci-dessus.

Le moment d'inertie a pour dimensions : 1— MI;

être homogènes par rapport à M, L, T, au sens que nous venons de

PONT PT JC PR Te Su PL ETES y | due dd LE: “Li. à PT ni fes DÉS ti di Sr ce CE dé dde SN

Les dimensions du couple C seront donc :

C=METE = MLT "/L=FEL: Le couple a les dimensions d’un travail. ;

Il serait notoirement absurde de dire qu’un couple est un travail; mais la formule ne signifie pas cela : elle exprime seulement que les changements des unités fondamentales influent sur le nombre qui mesure un couple comme sur le nombre qui mesure un travail.

281. Multiplicité des formules de dimensions. Ce qui étonne le plus les débutants est la multiplicité des formules

de dimensions attribuées aux mêmes quantités ; ils ne comprennent

pas, pour la raison si fréquente qu'ils cherchent du compliqué là où n'existe qu'une convention. Cette multiplicité serait absurde si les formules de dimensions avaient la prétention de nous dévoiler la nature secrète des quantités; mais elles ne l'ont pas.

Aussi les discussions sur le meilleur système d'unités sont-elles aussi vaines qu'insupportables : les systèmes sont tous meilleurs suivant le point de vue; pure affaire de commodité dans les notations qui ne touche pas au fond des choses.

L'exemple suivant éclaircira le sujet.

Soit à évaluer une longueur. L'unité s'exprime naturellement par la formule de dimensions /,—L. Mais convenons de prendre pour unité de longueur le chemin que parcourt en l'unité de temps un

certain mobile animé d’une vitesse invariable; nous devons poser : Bt:

Voilà donc deux systèmes de mesures pour lesquels les dimensions de la même quantité sont essentiellement différentes. Quand j'écris : PCT Te je ne veux évidemment pas dire que le quotient de deux longueurs est une vitesse. J’exprime simplement qu'on se sert d'une certaine vitesse concrète comme intermédiaire, ici la vitesse du mobile choisi

pour préciser la secondé définition.

Supposons donnée cette vitesse : ce sera, par exemple, la vitesse d’un corps tombant en chute libre après une seconde de chute. Prenons une unité de temps dix fois plus petite; 1l est clair que l'unité de longueur, dans le premier système, ne changera pas: dans le second système, deviendra dix fois plus petite. Le rapport L:1 des unités de longueur dans les deux systèmes est done multiplié par dix : la formule de dimensions n’exprime pas autre chose.