OP
surface, de prolonger HO d'une quantité OA = -__^5 enfln,
OU
de mener par le point A ainsi obtenu une parallèle au diamètre Ow, conjugué de OH. Ou bien ecLÇore, ayant mené en H
la ligne HG parallèle à Oti^ et abaissé de 0 la perpendicu-
laire OG, on prolongerait GO de la quantité OB =- z.» ce qui
OG déterminerait B et partant TT'.
Cherchons encore l'équation de TT' par rapport aux axes
rectangulaires Ox, 0/. Conservons les notations ci-dessus
employées [d] et soit
y -.- nix -^ n
celte équation, m et n étant deux quantités à trouver. La distance d'un point quelconque du plan à cette droite sera proportionnelle à y— mx— n, et les forces parallèles dont H est le centre le sont au produit E;/ — mx— /i)co; donc, en écrivant le théorème des moments pour les axes coordonnés, on
aura
^•, i E ' >• — mx — n « - - 2l E >• — mx — n ] x &),
^•, i E ^ r — mx — n w — - E ^' — mx — n] jroi.
Or, les axes Ox et 0/ étant les axes principaux d'inertie au centre de gravité, on a aussi
ZExcù=^o, IlE^*ci):=o, ISEj7'w = o;
si nous nommons, en outre, aeib les deux rayons principaux de l'ellipse, el que nous posions, comme au n** 22 [d],
les deux équations ci-dessus se réduiront, par la suppression
du facteur 2E&), à
— nxi— — mb^,
— nxi — a\ d'où Ton lire
a^ nxy a' Xi
L'équation de la droite TT' sera donc
ou bien encore
jy, , xxi
On reconnaît dans l'équation (4) celle de la polaire du point H relativement à l'ellipse centrale d'inertie, sauf le changement de signe du terme indépendant de x et dej^% lequel changement a pour effet de faire passer la droite dans la position symétrique par rapport au centre 0. Ainsi TT' n'est pas précisément la polaire du point H, mais c'est une droite parallèle à la vraie polaire //', placée symétriquement de l'autre côté du centre, et que pour cette raison nous nommerions volontiers Vantipolaire de H. Réciproquement, H serait Vantipôle de TT', c'est-à-dire un point pris sur le prolonp^ement de la droite qui joint le pôle A au centre, à la distance OH:^0/i. Celte observation, qu'on aurait pu déduire de la construction géométrique indiquée [d] pour trouver le point H, aussi bien que de l'équation (4), permet d'étendre immédiatement toutes les propriétés des pôles et polaires aux centres de percussion et axes de rotation correspondants. De ce que le centre de percussion a l'axe correspondant pour son antipolaire résultent les propositions ci-après :
I" Quand le centre de percussion varie sur une même droite, les axes de rotation correspondants passent par un même point; ce point est le centre de percussion relatif à la droite.
a44 CHAPITRE TROISlfcMB.
7P Dans le cas particulier où la droite passe par le centre 0, les axes sont tous parallèles à la direction conjuguée dans l'ellipse, et réciproquement.
3° Si Taxe de rotation se meut en restant toujours tangent à une certaine courbe (K) dans le plan, le centre de percussion décrit une autre courbe (K'); ces deux courbes sont réciproques, c'est-à-dire que, si l'axe enveloppe (K'), le centre de percussion se meut sur (K). Ces courbes sont les antipolaires réciproques; le degré de Tune étant connu, le degré de l'autre le sera pareillement; on démontre, par exemple, que, si Tune est du second degré, il en est de même pour l'autre.
La seconde proposition peut être donnée comme un corollaire de la construction par laquelle on trouve le centre de percussion pour un axe de rotation donné. La première se démontre bien facilement, sans avoir recours à la théorie des polaires. Supposons, en effet, que Taxe de rotation varie, mais qu'il doive passer toujours par un certain point fixe dont nous appellerons les coordonnées Ç, yj; pour chaque axe particulier il y aura un centre ayant Xx, ji pour coordonnées, et, puisque Taxe passe au point (^, r;), il faudra que ces quantités, mises à la place de x et y, vérifient l'équation (4). Donc
donc les coordonnées x^y j\ sont liées par utie équation du premier degré, et le point qu'elles représentent se meut, par conséquent, en ligne droite. D'ailleurs la forme de cette équation, où a:,, j, désignent les coordonnées courantes, comparée à celle de l'équation (4), montre clairement que la ligne dont il s'agit est l'axe de rotation répondant au centre de percussion [^yfï]'
Quant aux propriétés énoncées dans le troisième alinéa [Z% nous nous contenterons de les avoir rattachées à la théorie des polaires. Leur démonstration exigerait de trop longs développements et nous écarterait trop de notre but.
57. Tensions produites sur la section transversale d'un prisme par une force agissant en dehors de l'axe, mais dans une direction parallèle. — On suppose que toutes les forces
extérieures appliquées à un prisme^ entre la section CD [fig. 37) et Tune des extrémités, se composent en une force unique N, parallèle à Taxe Oz du prisme et, par conséquent, normale à CD, mais venant rencontrer le plan CD en un point H
Fie. 3/.
CtC
— rr- W
Ao:
U'l>jD ii
différent du centre d'élasticité 0 de la section. La force N est, par exemple, la résultante des forces agissant sur la partie du prisme située à gauche de CD; il faudra qu'elle soit équilibrée par les réactions dues à la partie placée à droite, c'est-à-dire par les tensions développées sur le plan CD; ce sont ces tensions qu'il s'agit maintenant de déterminer.
La solution de ce problème se déduit facilement d'une hypothèse que nous regarderons a priori comme suffisamment exacte; cette hypothèse consiste en ce que tous les points de la section CD, dans leur déplacement par rapport à une section infiniment voisine AB prise pour système de comparaison, décrivent des chemins parallèles à la force N, chemins qui les amènent à être finalement contenus dans un autre plan CiD,.
Les plans CiD,, CD se coupent suivant une certaine ligne TT' s'éloignant parfois à l'infini, mais ne pouvant devenir imaginaire. Tous les points du plan CD se mouvant dans la direction normale à ce plan pour arriver dans CiD,, il en résulte que les points de TT' ont dû rester immobiles, et, par suite, que le mouvement total de CD relativement à AB se ramène à une rotation autour de TT'. Sur cette ligne il n'y a pas d'allongement et conséquemment pas de tension (en supposant, bien entendu, que la loi des allongements ou tensions s'étende, s'il le faut, même au delà des limites de l'aire CD); pour cette raison, nous nommerons TT' Y axe neutre.
^46 chàpitrb troisième.
Le point H, par où passe la résullanle des tensions moleculaireSy puisque celles-ci doivent équilibrer la force N, sera pour nous le centre de tension ou parfois le centre de pression.
Or la corrélation entre le point donné H et la ligne inconnue TT' est bien facile à découvrir. L'allongement d'une fibre élémentaire quelconque, ayant une section w, est proportionnel à la distance d qui la sépare de l'axe, et, si nous appelons E son coefficient d'élasticité longitudinale, sa tension sera (sauf un facteur constant) Ecurf. Toutes les tensions sur l'ensemble des éléments &> varient donc comme le produit de Eu) par la distance d; donc, en convenant d'attribuer partout à la surface une densité E, nous pourrons dire (n° 56, b] que le centre H de ces forces parallèles est le centre de percussion de la surface CD relatif à TT' prise pour axe de rotation. Cela permet (n° 56, e) de construire TT', puisque nous connaissons H; celte ligne a une direction conjuguée du rayon OHP dans l'ellipse centrale d'inertie de CD, et coupe le prolongement de ce rayon en un point F qu'on sait trouver.
Pour conclure de là l'expression analytique de la tension, concevons tracée autour du point 0 l'ellipse centrale d'inertie dont Ox et Or seront les axes principaux, et nommons
a, b les rayons de gyration de l'aire CD relativement à ces axes;
X, y les coordonnées, relativement aux mêmes axes, d'un point quelconque M appartenant à l'élément «;
V son ordonnée parallèle à OV, dans le système d'axes obliques OV, OW, cette dernière ligne étant le diamètre conjugué de 011 V;
u la distance normale de M à OW, prise avec le signe de l'ordonnée v\
X\y Xi9 «I» ^1 les valeurs particulières des variables x, x» "» ^ pour le centre de tension II ;
i/î, Vj les valeurs de m et de v pour tout point de TT', pour F par exemple:
p la longueur OP du rayon de l'ellipse dans la direction OH;
r le rayon de gyration de l'aire CD autour de l'axe OW;
/ la tension sur l'élément w.
On a démontré au n° 56 [d) les relations
M|Mj-}-r- = 0, ^;^i^2-f- p' =o
dont Tune ou l'autre suffit pour définir le point F; on a vu aussi que TT' est représentée parTéquation
xx^ rri
Cela posé, la distance rf s* exprime par u — 1/3, ou bien (sauf des fadeurs constanls) par v — i^, et par i -f- -.^ -r- '-' \ \ donc on peut écrire, en désignant par K, K', K" trois constantes,
/— KEw(w — M,), ou bien, si Ton remplace «j et Vi par leurs valeurs — --1
— - » et qu on pose
f Li : —
il viendra
Ux
/ = CEw ( I -i — -^ \
/=.C'Eck)(i-^-'^l,
Les trois coefficients constanls C, C, K" se dclerminenl par la condition que la somme des tensions élémentaires 2/ doit être égale à N. Celle somme, calculée en employant pour / successivement chacune des trois expressions qu'on vient d'établir, aura les trois valeurs
C2Ew, C'2Eo), R^SEo3,
car, puisque Oj^, 0^, 0(v passent par le centre d'élasticité, on a
a48 ghàpitrb troisième.
Donc il résulte de là
eXf par suite, trois formules donnant la valeur de la tension par unité de surface en chaque point, savoir :
,t., t NE / uu,\
^ ' w 2Ew \ r' /
fa\ ^ NE / vvA
Après avoir déterminé les tensions /, on peut aussi chercher quel est le mouvement de CD relativement à AB, mouvement qui constitue la déformation de l'élément prismatique ABCD. Ce mouvement consiste, comme on Ta vu, en une rotation autour de TT'; mais on peut aussi le regarder comme
produit par la coexistence d'une translation 00' = /, égale aa déplacement du point 0, et d'une rotation ip égale à la première et s'effectuant autour d'une parallèle OW menée enOà Taxe TT^ La translation amènerait CD dans la position intermédiaire CD', d'où l'on passerait à la position finale CtDi par la rotation ^ autour de OW. Afin de calculer /, il suffit de remarquer que cette longueur est l'allongement de la fibre centrale qui va du point 0 jusqu'au plan AB, et qui a pour longueur primitive la dislance L des plans AB, CD; à cet allongement répond (n"" 1) une tension par unité de surface
E'/ égale à -=-> si l'on nomme E' le coefficient d'élasticité longitudinale aux environs du point 0. Or les formules précédentes
NE' donnent pour cette même tension la valeur ^-^f^ \ donc
L 2iEw'
résultat remarquable en ce qu'il est indépendant du point d'application de la force N, et reste le même quand cette force
AUTRES CAS PARTICULIERS. ^^g
agit en 0. Ce dernier cas est celui dé Texiension simple, lel qu'on Ta étudié au n°2, dans lequel toutes les fibres élémentaires s'allongent de la même quantité /; quand le centre de tension se déplace en parlant de 0, en général, rallongement se modifie pour une fibre prise au hasard, mais il reste le même pour la fibre centrale. On voit, au surplus, qu'il y a identité entre la valeur de /donnée par la formule précédente et celle qu'on tirerait de la formule (2) du n** 2.
Maintenant, puisque le point 0 est à la distance — de l'axe
TT', la rotation autour de celte ligne, et aussi par conséquent la rotation 4», a pour valeur — -^ ? ce qui donne, quand on remplace
/par sa valeur,
ou encore, si l'on nomme X le moment N^, de N par rapport à 0 et d l'angle VOW de la droite donnée OII avec sa direction conjuguée,
