ilKl
de
DIPVÊRINaES
premières.
secoQdes.
On abrège le calcul en employant les logarithmes. Alors les taJble^ des différences premières et secondes facilitent les interpolations entre les nombres de la table^ et permettent de les faire suivant la loi pamMiqH0i qui É(eiM'd6 pto^ '{yrès la loi rigoureuse, an Uéu
d'opérer l'interpolation par piiTties j^oportionnelles.
J Si Ton donne J et Q, on formera le nombre ^„ qu'on cherchera
dans la table. On trouvera, enjregard, le diamètre demandé, et l'aire correspondante de la section. «Jl n*y a plus qu'à diviser la dépense par cette aire pour avoir la vitètee. Les diamètres de la table sont compris entre les limites ©■•Ol et 1".20.
ISS. "3* PkdiJLtiiÉ; — Oh donfié la pente J et le diamètre D; on demande la dépense et la vitesse, • v
Oft peut résoudre ce problème de plusieurs inanièi*es : 1* Au moyen de la table de Darcy. On cherche dans cette table le diamètre D; on trouve en regard différentes valeurs de J; on choisit celle qui se rapproche le plus de la valeur donnée. A côté, dans la même colonne, on trouve la dépense Q correspondante ; en tête ûd cette colonne, on lit la vitesse u.
2* Au moyen de la table de M. Bresse. On y cherche D; on trouve
la valeur correspondante de ^. On connaît J. On en déduit donc
la valeur de Q, puis on obtient u par la division u = . Le divi-
seur tD* est inscrit dans la seconde colonne de la table.
On peut aussi résoudre ce problème sans avoir recours aux tables. Prenant, la moitié de D, on a R; et» plir suite, on peut calculer
L'équation fait connaître u^
on a ensuite '
Rl3=6,u*
4 /Ri
13A à* PnoBïpfjL — Go£MPaiaa9|nt u iPente J et ]A.¥ite8e^#^^trQUt' ver le diamètre D ou lejayon R, ^ la.déi)fn^;Q« De Téquation
on tire
r ■■ ■ . ■ ■'• ':,'ÂJ'''
on connaît —^9 et par conséquent I\.j()e,ujl^ è(rç trouvé par h résolti* tion d'une équation du second degré. ^ ' \
218 PROBLÈMES SUR L*ÉCOLLEMENT
Cette équation peut se résoudre par approxîmatîoDS succesi^ves. On supprime d'abord le terme en ^, ce qui donne
On substitue ensuite cette valeur dans le terme supprimé, ce qui donnera une seconde approximation
La correction î- est constante; elle est de plus très petite, car
(3 est fort petit par rapport à cr.
Pour résoudre le même problème à l'aide d'une table, il faudrait e n
construii e une donnant -^ en fonction du diamètre D. Cette table a
été dressée par Darcy (*) ; elle donne pour toutes les valeurs de D,
de centimètre en centimètre^ les valeurs de b^i de -^ et de I/tt'
La coloaue (4) contient les va^leurs de -^ ou de -j. La colonne (5)
donnant V/t-i abrège le calcul des vitesses par la foimule
«= yjl-yi.
135. 6* Problème. — On donne le diamètre D et la dépense Q; on demande de déterminer la vitesse u et la pente J.
On trouve en regard du diamètre D, dans la table de Darçy, une dépense Q égale àja dépense donnée. A côté, on lit la pente J correspondante, pour 100 mètres de conduite; divisant par 100, , on aura
0 Ou moUvemetU di Veau dont les tuyaux, page 111
J pour 1 mètre. La vitesse u est iiisgrite en tète de la doubie colonne JetQ.
On peut aussi calculer u au moyen de la formule
On est aloii*s ramené au premier problème pour la détermuiation deJ.
1S6* 6* vr DBRimR Problème. — On dorme la vitesse t/ et ht dépense Q. On demande la pente J et le diaoràtre D.
On divisera Q par w; on aura irD*. Les tables de cercle donneront D. Connaissant D et u^ on est ramené au premier problème pour la détermination de J.
137.. Ces problèmes peuvent aussi se résoudre très simplement au moyen d'un tableau graphique donnant à la fois le diamètre D et la dépense Q en fonction de J et de U.
Prenons sur un axe horizontal des abscisses proportion n elles aux valeurs successives de la pente par mètre J ; sur un axe vertical, por- ^ tons des longueurs proportionnelles aux vitesses u. Chaque point du plan des deux aMS correspondra donc à des valeurs définies des quantités J et i<; or, entre ces deux éléoients, on a la relation
daoa laquelle è^ est nue fonction, a + ^ > du rayon R du tuyau. Si donc
on attrilHie au paramètre R des valeurs successives, on pourra représenter par une série de paraboles tracées sur le plan des deux axes, la relation qui lie entre elles les variables J et w pour toute déter- * mination du rayon ou du diamètre du tuyau. Chaque détermination pourra être inscrite le long de la courbe correspondante.
En chaque point du plan, le diamètre du tuyaa, la pente J et la vitesse u se trovveat ainsi déterminés ; donc la dépense Q l'est aussi ;
220 TABLEAU GRAPilIQUE.
et, par suite, sur le même tableau, on pourra tracer les courbes d'égal débit.
Au lieu de construire les courbes avec les coordonnées J et t«, on peut construire des lignes ayant pour coordonnées les logarithoies de ces variables ; on obtient alors des lignes droites parallèles au lieu de paraboles, et l'épure est plus facile à construire. On peut d'ailleurs inscrire le long des axes les valeurs mêmes de J et u, au lieu des valeurs de leurs logarithmes; Tépure construite avec des droites se prête à la même lecture que l'épure constmite avec des paraboles ; seulemept* la graduation des axes est modifiée {*).
138. M. Jean Gay, professeui* à TUniversité de Lausanne, a mis sous une forme très commode la table de Darcy.
Des équations
on déduit, en éliminant u,
Ce qu*on peut écrire Q 3= K y^JT K étant un coeiBcient qui ne dépend que du rayon R de la conduite. La table de M. Gay donne le logarithme de K en fonction de R pour les tuyaux à paroi lisse et pour les tuyaux i parois recouvertes de dépôts. Gomoio on passe simplement d^une hypothèse à l-autre en doublant les coefficients a et ^, les logarithmes des facteurs E correspondants à ces deux hypothèses diffèrent, pour une même valeur du ittyon R, d'une quantité con^
( *) Y«ir sur ce sojieC un Mémoire sur les tables graphiques et sur la géométrie ana* movpàique, par M. Léon Lalaiine, Annales des ponts et chaussées^ 1846. — M, Lalannt a réduit en tableau frapUifue la Taf^nule de Prdny; re tableau est inaéré dana le sup* plément f^outé par M. Cousinery aux, Tables de Genkys. — Gomme on peut disposer de Pangle des axes coordonnéB, et des échelles des ordonnées et des absciaaea, on peut rendre horizontales les droites correspondantea aux divers diamètrea. — Lèa lignes d'égal débit sont sensiblement droites dans le tableau I qu'on trouvera k la fin de ce volume.
TABI,E DE. M. GA\,
stante, et par suite la série de leurs valeurs successives auront des différences communes.
L*aire de la section û est aussi une fonction de R, qu*on peut écrire dans la table. La table donne, en outre« le logarithme de û*
Si Ton donne J, on pourra donc calculer, àTaide des logarithmes,
le produit K ^/l = Q, puis déduire la vitesse u de 1 équation Q c= ùu. Void la table de M. Gay :
