INVERSION

Fig. 44 Formes de 1& veine (cotêi en luillimèteee)

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Fig. 45.

Ce phénomène, dont l'analyse ne peut pas encore rendre un

compte exact, est dû sans doute à l'action mutuelle des filets liquides qui, pour une veine un peu étendue dans le plan vertical, tendent à décrire des paraboles s'entrecouj^ant les unes les autres. Si la veine occupe une hauteur AB sur la paroi verticale d'un vase rempli d'eau jusqu'en CD, le filet qui s'échappe du point Â, s'il était seul, aurait en ce

point une vitesse horizontale égale à y^iy.AD, et décrirait une certaine parabole AE, dont le paramètre correspondrait à cette vitesse ; le filet qui s'échappe horizontalement du point B aurait, s'il était

wul, une vitesse y/a^-AB, plus grande que la vitesse du filet A; il décrirait donc une parabole BF, de moindre courbure que la première; ces deux paraboles se coupent en un point G; ce qui montre que les mouvements attribués aux deux filets sont incompatibles

DE LA VEINE. i05

quand ils doivent s'opérer simultanément. Les filets liquides sont ainsi déviés par leurs actions mutuelles. Dans une veine de dimensioQ finie, il en est ainsi pour tous les filets; ceux qui s'échappent dans la région supérieure de la veine tendent à appuyer les autres vers le bas, et ceux-ci tendent à faire remonter les premiers. De là cette tendance de la veine à s'aplatir et à prendre la forme de double T que Ton constate dans l'expérience de M. Lesbros (*).,

70. D'après ce qui vient d'être dit, la formule de Torricelli V=y2jfA ne s'applique rigoureusement qu'à un orifice très petit.

{') U lieu dès intersections successives des paraboles AE, décrites par les divers filels considérés seuls, est une ligne droite. En effet, soit h la distance DA do plan d'eau an sommet de la parabole; appelons x l'espace horizontal décrit par une molécule liquide dans le temps t, et y la quantité dont cette molécule s'est éloignée à li même époque du plan libre CD; on aura les deux équations

qoi définissent' la trajectoire. L'équation de la courbe s'obtient en éliminant t, ce qui d'one

. ^\ 2gh . ^ ««

L'éqaation de TenTeloppe s'obtiendra en éliminant h entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à h, c'est-à-dire l'équation

Donc A =s -, et l'équatton de l'enveloppe est

Toutes les paraboles sont donc tangentes à la droite qui partage en deux parties égales i*iRgie droit formé par la paroi AD avec le plan d'eao CD prolongé : La droite GD est •a directrice commune à toutes les paraboler^ et si l'on projette sur AD le point M, où QBe parabole en particulier touche la droite enveloppe» la projection sera le foyer de 1

courbe.

Ces résultata sont faciles à démontrer par la simple géoméiirie.

Si roritrce a de grandes dimensions en hantenr, les filets liquides se gênant dans leur mouvement, la pression dans l'intérieur de la veine pourra s* élever au-dessus delà pression atmosphérique, et le théorème ide Bernoulli indiquera alors une diminution de vitesse. On peut cependant admettre l'équation de Torricelli pour le calcul de la dépense, sauf à affecter la vitesse d'un coefficient moindre que l'unité, et que l'on devra déterminer par expérience. A la formule de la dépense par les petits orifices

on devra substituer une autre formule

jA désignant le coefficient de correction. On peut fondre en un seul les coefficients m et [jl, et dresser des tables qui donneront les valeurs du produit m;/ pour les divers cas usuels. Mais le coefficient jx est, dans l'écoulement libre, assez voisin de l'unité pour qu'on puisse l'omettre en pratique.

71. Proposotis-nous de déterminer la dénense d'un orifice rectangulaire (r.D, C/G"G"D') ouvert dans, la paroi verticale d'un vase rempli d'eau jusqu'au niveau constant {fig, 46).

Soit BD=/ï, Bi] = h'\ CG", largeur horizontale de l'ouverture = a; considérons une bande infiniment petite (m, wW) comprise dans la section entre les horizontales définies par leurs distances r,

z 4- ds, au plan AB. L'aire de cette section élémentaire sera adz^ et la vitesse de l'écoulement qui se ferait par crtte portion infiniment mince de l'oril..c' '^*î!!!:^c' fice si elle éluit seule ouvert^^ sera

'""""""""^'"' ^'2gz. Donc la dépense de cette partie

iK " D* d'orifice serait adz y/^gs , et si nous

multiplions par un coefficient convenable K, nous aurons la dépense effec-

PAR UN ORIFICE RECTANGULAIRE. i07

tive, eu égard à la contraction et à toutes les actions exercées par

leii autres filets. Nous pourrons donc poser dQ = Kadz sj^lgz.

Pour avoir la dépense totale, nous n'avons qu'à Taire la somme des dépenses partielles, entre les limites z = ft, 3 = ft', qui correspondent au bord inférieur et au boni supérieur de l'ouverture. Nous

aurons

1 ht

Dans cette intégration , nous regarderons K comme constant pour (0(js les filets, ce qui revient à lui attribuer une valeur moyenne,

't faisant sortir du'signe somme les facteurs K, a, \2y, il viendra

'Al , /.i h't 2 . / 1 3\

Cette formule 'repose sur plusieurs hypothèses toutes gratuites, entre autres la constance du coefficient K pour tous les filets. Elle a 'fenc besoin d'être contrôlée par Texpérience.

On peut lui donner une forme qui la rende comparable à la formule

Q = r//A \/I(pl

relative aux orifices très petits.

L'aire de l'orifice est ax(h — h') ; nous pouvons donc écrire

Q=tKxXx^:tg ^ ^. ,

'Tiation de la forme

Si Ton prenait pour Z la distance au plan AB du centre cîe gravité ^« rorificCi un aurait Z= ^T . ; cherchons si la formule slm-

plifiée,

Q = RxAx\/2^(^A'),

peut remplacer la formule exacte ; cette substitution est admissible

quand la différence h — h! est suffisamment petite par rapport à la

demi-somme — ^ .

Soit

et faisons

- étant une petite fraction dont les puissances soient négligeable^. Nous en déduirons

/. = ii(i + l) et '^• = n(--^).

Donc

en arrêtant au second terme le développement en série des puis?sîinces (l zfc-^ j •

La différence A* — V* eU donc sensiblement égale à H^ x ~-, cl

H si on la divise par h — A', ou par - , il vient au quotient

Hxi * .