II
4o2 COURS DB UÉCÀlflQUB
décrit par G sera K'da^ et Tare BB' décrit par B sera Hda; par conséquent les vitesses virtuelles de P et de /, estimées dans leurs propres directions, stront
R'^asina et R^asin{3,
abstraction faite des signes. Les chemins élémentaires ou vitesses virtuelles des points d'application des frottements en A et B, se confondant d'ailleurs avec la direction même de ^es forces, seront évidemment
r^da et rrfj3,
d^ étant la variation de l'angle ABI = p, correspondant à da; donc on a, pour exprimer les conditions de l'équilibre,
msin(3cfa == PR' sin ada -♦-/, /rrf(3
-f-/, v/(P — ' cos y)'-+- {t's\n^y)r'dac,
en faisant toujours abstraction des signes de doc et «f|3, qui devront être pris positivement pour toutes les positions du système, attendu que les frottements agissent constamment en sens contraire de la puissance.
De là on tire l'équation
Rsin(3/ = R'sinaP4-/.rf :7^ -4-/,r' v^{P— rcosy)»-+- /«sin^v,
dans laquelle il ne s'agit plus que de substituer la valeur absolue de -j-j déduite des relations de la figure. ax
Or le triangle ABI donne, d'après les conventions ci-dessus, /»=H^-f-R^— 2Rcosa, H'= /»-f- R»— aR/cos^;
d'où, en différentiant,
doc^ l
dl RHsina'
dp __ Rcos(3 — / di^Rlsinp '
et par suite
rfô RcosS — / H
T.= ?— = ~7C0sy(M,
attendu que
Hsina — /sinj3 et / = Rcos(3 -f- Hcosy.
Substituant celte valeur de -J- en en changeant le signe, il viendra finalement
Rsin{3/ =:R'sinaP-l-/ir -j cosyt
-h/.r' v/(P — /cosy)^-f-/*sin»y.
Pour résoudre cette équation par rapport à ty on pourrra se servir de la méthode des substitutions successives dont il a été fait mention aux n*** k et 52, troisième Section de la pre- ♦mière Partie duCours, ou bien, observant qu'ici P — /cosy surpasse nécessairement /siny, on prendra, d'après la Note première de celte Section,
v/(P— /cosy)'-+- ^»siny* = o,96(P — /cosy) -f-o,4^siny,
valeur approchée à —^ près, qui ne peut conduire à aucune erreur notable, et qui, étant substituée dans l'équation cidessus, donnera
P(R'sina-f-o,96y;r') g '
Rsinp— /iT— cosy H-/ii-'(o,96cosy — o,4siny) quantité qu'il sera facile de calculer pour chaque position du
( * ) On arrivo directement à ce résultat par la considération du triangle élé» mentaire BB'^', dans lequel on a
BB'= R'</a, B'y = Id'/ = l{dK — d^) = BB'cos^ = Kdùtcosfi,
d'où Ton déduit
dfi l — R cos /S
quantité qui ne diffère que par le signe de celle ci-dessus, dans laquelle, en effet, dot doit être supposé négatif par rapport à djij afin d'obtenir la valeur absolue*
4o4 COURS DE MfiCAlflQUB
tablier, ou pour chacune des valeurs distinctes et simultanées de a, p et y.
Considérant, par exemple, le cas où AB est horizontal, ce qui répond ici à l'instant où la somme des résistances passivesest la plus grande possible, on aura
sina=i, sinp==cosy = y> siny=jj
et par conséquent
~" /KH -/.rH» -+-/.// (o,96H — o,4R)'
41. Calcul des résistances du tablier pour des données particulières. — Pour donner un exemple qui se rapporte au cas ordinaire des grands ponts-levis, nous supposerons
P = 3ooo»^«, R = 4", R' = 2", H = 4», r=o™,02, r'=:o",o4, /i = o,2o; d'où
1^=32, /=:5'»,657, ^ = 0,7095, P = 2i28'^s5o. S'il n'y avait pas de frottement ou si/, était nul on aurait
donc ces frottements augmentent la valeur de la tension de
Si le frottement des tourillons n'avait pas lieu, et que celui du point d'attache des chaînes continuât à subsister, on aurait simplement
et par conséquent l'augmentation de tension nécessaire pour vaincre ce frottement serait de
APPLIQUÉE AUX MACBDIBS. ^cS
ce qui démontre la faible influence exercée par ce dernier frottement.
' 42. Résistances des poulies antérieures et des chaînes. — Nommons /i [Jig. i lo) la tension de la seconde branche IL des chaînes appartenant à la poulie C, et supposons cette branche à peu près horizontale; l'angle de /i et de / sera ainsi 90*» -+- y. SI,
Fig. 110.
de plus, nous nommons n le rayon du tourillon de la poulie»
f /, la valeur de - — - - qui lui correspond, R, le rayon de la
gorge de cette poulie, y compris la demi-épaisseur des chaînes plates à articulations, construites dans le genre des chaînes de montre et ayant p pour rayon des tourillons,/, pour coefficient du frottement, nous aurons, en supposant la tension/ décomposée en deux, l'une, verticale /cosy, qui s'ajoute au poids de la poulie, que nous représenterons par m, l'autre tsïny horizontale, qui.se retranche de /|,
/.R.= ^-f- ^ j^P \ m.-f-r,/', v/(^-/siny)' + (/7H-/cosy«,
équation dans laquelle on peut également remplacer le radical par sa valeur approchée
0,96(771 -h tcosy) 4- 0,4 (/i— /siny),
attendu qu'ici encore m-4-/cosy surpasse évidemment il— tsïny pour les diverses positions du tablier. Substituant donc et faisant
ri
4o6 COURS DE MÉCANIQUE
on aura, 'pour calculer /,
^ . [(i + è) R, -hfl r, (0,96 cosy — o4siny)] / -h o,^f[ rnti ^
Les chaînes et leurs tourillons étant en fer, nous pourrons encore supposer /,=: 0,20; quanta/,', coefficient du frottement de l'axe de la poulie, il sera environ o,i4> si l'oii sup* pose cet axe en fer et la boîte en cuivre, sans renouvellement d'enduit. Cela posé, prenant /n=3oo^S à cause des deux poulies censées ici confondues en une seule, et faisant, comme ci-dessus,
d'où
smy = cosy = — = = 0,707
et
p = o™,oi, R,=:o",33, r,= o"',o2, / = 2 1 aS*"», 5o,
nous aurons, d'après ces données, conformes à celles qui sont en usage dans la pratique,
0,96 cosy — 0,4 siny := o,3g6, ô =: 0,0122, /, = 2i7i*'»,3o.
Ces résultats montrent : i"* que la résistance seule des articulations des chaînes fait accroître la tension / de 0^ = 0,0122/ ou 25''», 97, valeur plus que triple de celle qui représente les résistances passives du tablier réunies ; 2^ que l'accroissement total de tension, occasionné par cette résistance des articulations des chaînes et par les tourillons des poulies, s'élève à
dont à peu près
sont absorbés par le frottement des tourillons dont il s'agit.
Si, au lieu de chaînes méplates, on faisait usage du système
de chaînes qui a été mentionné dans la troisième Section de
la première Partie du Cours, leur résistance serait à très-peu
APPLIQUÉE AUX HACHIIfBS. ^OJ
près nulle ; de sorte que la puissance n'aurait à vaincre que les i6^»,83 des tourillons des poulies. Si, de plus, on remplaçait les coussinets en curvre de ces tourillons par des coussinets en gayac ou autres bois durs, tels que pattes de sorbier, de cornouiller, de buis, etc., qui, après avoir été bien desséchés dans un four, seraient bouillis dans l'huile, le tout avant leur confection, si, dis-je, on opère ce remplacement,/' se réduira à une valeur qu'on peut supposer être tout au plus égale à o,o5 ou ~j d'après les expériences de Coulomb sur le frottement du fer contre du bois dur; faisant donc ces hypothèsesdans la dernière formule, et toujours 5 = o, elle donnera
et par conséquent l'excès de tension provenant des tourillons des poulies se réduira à
au lieu des 42*"', 8o trouvés dans les suppositions précédentes. La puissance n'ayant ainsi à vaincre, au total, qu'une résistance de
on voit qu'un pareil pont-levis serait facilement manœuvré par un seul homme appliqué directement aux chaînes du tablier. Nos calculs supposent, il est vrai, la seconde branche IL de ces chaînes horizontale, tandis qu'elle serait verticale, mais cette circonstance ne ferait augmenter la résistance que d'une quantité assez petite; il en serait tout autrement, comme on va le voir, dans l'hypothèse où un second système de poulies serait placé en arrière du premier C.
43. Résistances des poulies intérieures et des chaînes, — Les équations ci-dessus, quoique relatives aux poulies antérieures, n'en donneront pas moins la valeur de la tension /, (Jig. iio),. qu'il faudrait appliquer aux nouvelles poulies D, pour vaincre celle /i de la branche de chaîne LI, ainsi que les frottements qui en résultent. Il ne s'agit, en effet, le cordon /, étant vertical, que de supposer y = o dans ces équations, et de rem-
4o8 COURS DB MÉCARIQCB
placer /. par /> sous le radical, t par /, et tx par U en dehors, ce qui donne
d'où
En supposant encore ici R.^o^jSS, p = o™,oi, r, =:o«',o2, y;=o'",20, /, =o",i4,
en prenant d'ailleurs m =^ 3oo^» -f- aoo*« = 5oo^», à cause des grandes roues et chaînes de manœuvre, enfin ^ = 2i7i^<,3o, valeur précédemment calculée, on trouvera d'abord ^=0,0122; ce qui donne pour la résistance des chaînes
ensuite
ce qui donnera un accroissement de résistance de
Quant à TefTort total qu'aurait à exercer la puissance, supposée'appliquée en /' aux petites chaînes, pour vaincre toutes les résistances réunies deç frottements, il serait de
2227'^«,4o — 2i2i^«,3o = io6^«, 10.
Un homme pesant moyennement 65 kilogrammes, on voit qu'il en faudrait au moins deux, dans les hypothèses actuelles, pour mettre le pont-levis en mouvement; mais comme, dans la réalité, un homme ne peut guère exercer d'une manière un peu soutenue un effort qui surpasse 26 à 3o kilogrammes, on volt qu'il en faudrait près de quatre pour manœuvrer le pont commodément. D'ailleurs, en plaçant, comme cela se pratique ordinairement, une roue de manœuvre d'un rayon de o'^yôô, à peu près double de celui des poulies, le nombre des hommes pourrait, sans inconvénient, être réduit à deux; mais il en faudrait encore quatre, au moins, dans l'hypothèse où les
APPLIQUfiB AUX HAGHIlfBS. ^OQ
petites poulies n'auraient que o">y33 de diamètre, ce qtfl montre les avantages inhérents à Tagrandissement du rayon de toutes les poujies.
kk. Résistance totale dans Vhypothèse dune construction convenable des chat nés, des coussinets, etc.-— Enfin, si, reprenant le cas où tous les coussinets des poulies sont en bois gras et où la chaîne n'offre plus de résistance à la flexion, on suppose dans la dernière des équations ci-dessus
on trouvera
de sorte que la résistance totale serait réduite à
2i44^S83 — 2i2iï^s3 = 23^S53,
effort qu'un homme, appliqué directement à la branche verticale des chaînes, exercerait facilement, et qui serait réduit à moitié si l'on employait une roue de manœuvre d'un diamètre double de celui de la poulie D; mais, comme on ne peut espérer anéantir complètement le frottement des articulations des chaînes sur les poulies, comme il faudrait en outre tenir compte des différences d'équilibre, etc., on doit admettre que la résistance serait à peu près double, et exigerait l'effort d'un homme pour être vaincue, sans de trop grands efforts, même dans le cas d'une grande roue de manœuvre.
&>5. Comparaison des résultats du calcul avec ceux de V^x^ périence. — L'expérience a confirmé ce résultat pour le pontlevis à contre-poids variable, dont nous avons donné la description plus haut, et dans lequel les différences d'équilibre en question ne s'élèvent pas, comme nous l'avons remarqué, au delà de II à 12 kilogrammes, pour les dispositions qui sont ordinairement adoptées dans la pratique. En effet, le pontlevis de la citadelle de Verdun, construit en 1821 par M. le colonel du Génie Thiébault, et dont le tablier, recouvert de bandes de rouage et ayant 4""» ^o de longueur, doit peser au delà de 3ooo kilogrammes, pouvait être facilement manœuvré
4lO COURS DE HÉGANIQUB
par un seul homme appliqué aux peiites chatnes de la roue de manœuvre, lors des premiers instants de sa construction. Nous pourrions en citer plusieurs autres de ce poids, dont la manœuvre a oflfert les mêmes résultats; et, si deux hommes ont paru nécessaires pour mettre en mouvement le pont-levis de la porte des Allemands à Metz, cela tient uniquement à ce que le jeu de toutes les articulations a été maintenu fort petit et a été mal observé par l'ouvrier chargé du travail des fers, d'où il est résulté de la gêne et des résistances véritablement étrangères à la nature du système.
Toutefois, nous n'avons pas tenu compte, dans les calculs qui précèdent, de deux autres causes de résistance auxquelles on serait d'abord tenté d'attribuer une grande influence dans le pont-levis en question : c'est, d'une part, la résistance qu'oflFrent les grosses chaînes du contre-poids dans leur reploiement vers la partie inférieure, et, d'une autre, la résistance occasionnée par l'inertie des masses considérables à mettre en mouvement. Or le calcul apprend, quant aux premières, qu'elles ne s'élèvent pas au delà de 5 kilogrammes dans le sens des petites chaînes, ou de 2^<,5 sur la circonférence du tambour de manœuvre, censé toujours d'un rayon double de celui des petites poulies; quant à la résistance provenant de l'inertie des masses, il ne sera peut-être pas inutile de montrer comment on peut l'évaluer, d'une manière suffisamment approximative, dans le cas qui nous occupe.
46. Influence de V inertie des masses du système. — Il paraît d'abord évident que, la vitesse du système étant nulle à la (in du mouvement, il n'y a pas eu, au total, de force vive ou de quantité d'action consommée en pure perte, soit pendant la descente, soit pendant la montée du tablier; mais la question est ici véritablement de prouver que la quantité de travail et l'effort que doit développer le moteur, dans les premiers instants, pour vaincre l'inertie, sont des fractions assez petites de ceux qu'il peut développer sur la roue de manœuvre.
Supposons, par exemple, qu'au bout du sixième de la course totale le système doive avoir acquis la vitesse de o",^ par seconde, dans le sens des points d'attache du tablier, ce qui
APPLIQUÉE AUX HAGHllfES. 4> ^
lui ferait parcourir les cinq autres sixièmes en moins de vingtsept secondes; la course totale des points dont il s'agit étant d'environ 6"», 3o, dans la supposition d'un tablier de 4 mètres de longueur, la vitesse angulaire, ou à l'unité de distance de ce dernier, sera ainsi
:^X o",2, = o«,o5 = w, à laquelle correspondra une force vive
(ù^fr^dm = OfOO^S f r^ dm y
Jr^dm étant le moment d'inertie de la masse du tablier, par rapporta l'axe des tourillons; mais, pour la simplification du calcul, on peut ici, sans crainte d'erreurs notables, assimiler la masse du tablier à celle d'une barre prismatique d'une densité uniforme H, dont e serait l'épaisseur, R=4" la longueur et '6 la largeur; ce qui donne (Additions à la deuxième Section, P*^ Partie).
où g-= 9",8o9 et 11^6 R représentent le poids de la barre, censé égal à 3ooo kilogrammes. Quant à l'inconnue e\ sa valeur ne saurait égaler même le yttô ^c 4RS de sorte qu'elle est tout à fait négligeable. Nous aurons donc, pour la force vive à imprimer au tablier,
, /• , i o,oo25 X 3ooo X i6 , o
dont la moitié donne, pour la quantité d'action à dépenser par la puissance, 2^«"*,o4.
Quant à la force vive des poulies et des contre-poids, on la calculera aisément, pour une position quelconque AB (Jig, m) du tablier, en observant que la vitesse, dans le sens des petites chaînes BI, est à celle &> R du point d'attache B dans le rapport des espaces élémentaires BB', BB" décrits simultanément par B, dans le sens de BI et de son propre mouvement,
4 12 coûts DB MftCàMlQUB
c*est-à-dlre que la vitesse des petites chaînes est
BB
-, «B= sin(3 û)R = o",asinp,
P étant toujours l'angle formé par BI et Afi.
Mais, en appelant /> la composante du poids du tablier agissant en B, laquelle est environ i5oo kilogrammes, et supposant que le point de contact moyen I des poulies et des chaînes soit sur la verticale A des tourillons, on trouve, d'après les considérations mises en usage dans ce qui précède, que la valeur correspondante des grosses chaînes du contre -poids
doit être
sina ^ ,.sina p — — ^ = i5oo*'
sin^
sinp'
donc la force vive de ce contre-poids aura pour expression
i5oo sina "ff" sïnp
(0,2 sin(3)= =r6,i2sinasinp.
Cette quantité, qui est nulle pour la position verticale du tablier, va sans cesse en augmentant jusqu'à ce que sina acquière la valeur 0,87, pour laquelle Bl est environ 4">72 et
sina sin(3 = 0,777;
passé ce terme, sina sin^ diminue successivement jusqu'à se réduire à o<", 707 pour la position horizontale du tablier; mais, comme l'inertie doit être vaincue sur une cer-
APPLIQUÉS AUX HAGHIIIBS. 4'^
taine étendue à compter de cette position, nous prendrons
sinasin(3 = 0,72,
ce qui donne
pour la force vive correspondante des grosses chaînes du
contre-poids, et
pour la quantité d'action à dépenser par la puissance motrice. Enfin il est aisé de se convaincre que la force vive des poulies et de la grande roue de manœuvre ne s'élève pas même à 1, ou la quantité d'action nécessaire pour vaincre leur inertie à 1 kilogrammètre; de sorte que la quantité d'action totale qu'aura à développer la puissance sera au-dessous de
Le chemin que décrit le point d'attache B du tablier, pendant que la force motrice développe cette quantité d'action, étant
ix6",3 = i",o5,
il est aisé de s'assurer, d'après nos hypothèses, que celui que
parcourront les chaînes ou gorges de poulies sera d'environ
o™, 76; et, comme les grandes roues de manœuvre sont censées
d'un rayon double de celui des petites poulies, le chemin que
décrira le point d'application de la puissance, pendant le même
temps, sera i"»,5o; ce qui suppose, de sa part, un effort moyen
ou constant de
i"»,5o environ, employé à vaincre l'inertie des masses.
47. Temps nécessaire pour élever le. tablier, — Quant au temps nécessaire pour faire parcourir l'arc de i", o5 au tablier, il faudrait, pour le calculer en toute rigueur, rechercher la loi même du mouvement, d'après l'équation différentielle du second ordre entre les forces d'inertie des masses du système; mais, comme ici l'arc parcouru par le tablier est supposé assez
4l4 COURS DE HÉCANIQUB
petit, nous pouvons, sans inconvénient, admettre que les vitesses des différents points et les forces de différentes espèces restent entre elles dans un rapport sensiblement invariable, de sorte que, sous l'effort constant de 3*^«,5o de la puissance, le système prendra aussi, à fort peu près, un mouvement uniformément accéléré et pour lequel on aura
vt
e étant Tespace parcouru, v la vitesse acquise au bout d'un
temps quelconque /, à partir de l'origine du mouvement. Mais
nous avons ici
donc
t z=z lo i;
et comme il faut, pour achever le surplus de la manœuvre, un temps égal à vingt-sept secondes environ, on voit que la durée totale de celte manœuvre sera seulement de trentesept secondes, quantité au-dessous du temps qu'on y emploie ordinairement.
Nous avons dit que la résistance du frottement des grosses chatnes ne s'élevait pas au delà de ii^^,5o, mesurés sur la cir^ conférence du tambour de manœuvre; cette résistance, jointe à celle de S^'SS, qui, d'après nos précédents calculs, sufGt pour vaincre l'inertie des masses dans les premiers instants de
la levée du tablier, et aux -^ — - — = ii*^S77 d'effort, que nous
avons vus être nécessaires pour vaincre les résistances réunies des différents tourillons, des petites chaînes et des poulies, dans les hypothèses favorables qui ont été faites en dernier lieu sur la constitution de ces diverses parties, nous donne pour résultat ou pour Teffort total à exercer par la puissance
qu'il faudra porter à 18 kilogrammes au moins, à cause de la roideur des petites chaînes sans fin de la roue de manœuvre, et auxquels il convient encore d'ajouter environ 12 kilogrammes pour tenir compte (Mémoire cité, n"* 59, p. 108) des
diirérenccs d'équilibre dans le cas le plus ordinaire, ce qui nous donne finalemeni pour le plus grand effort à exercer 3o kilogrammes. Noire conclusion est donc toujours qu'un seul homme, appliqué à la chaîne de la grande poulie de manœuvre, doit suffire à la rigueur, pour opérer dans un temps assez court la levée ou la descente du pont-levis qui nous occupe; mais que TefTort à exercer par cet homme, égalant, pour certains instants, presque la moitié de son poids, la manœuvre ne pourra s'effectuer commodément qu'autant qu'on appliquerait un autre homme à la seconde roue motrice; ce qui est entièrement conforme à ce que l'expérience a appris sur la manœuvre des plus grands ponts-levis à contre-poids variables. Au sujet des calculs qui précèdent, nous ne saurions trop engager les ingénieurs à se rendre compte, comme nous venons de le faire, et avant l'exécution, des différentes résistances de la machine, provenant, soit des frottements, soit des défauts d'équilibre, soit de l'inertie; ces calculs les mettront à même de combiner, dans chaque cas, les dimensions et positions des pièces de la manière la plus avantageuse et la plus économique possible. De plus, nous les engageons à ne pas se contenter, après la mise en place, de faire essayer le pont-levis en appliquant simplement des hommes aux chaînes de manœuvre, mais de suspendre directement, à ces chaînes et verticalement sous les grandes roues, des contre-poids capables de mettre le système en mouvement dans les différentes positions et avec une vitesse très-lente; ces expériences auront l'avantage de servir de vérification aux calculs, et de donner des indices sur les imperfections des diverses parties.
