THÉORIE MATHÉMATIQUE DES MOULINS A VENT
* 120. Je supposerai que la fig, 207 représente une pro-
Fig. 207. .
AU
jection dé Taîle fair^ sur le plan du mouvement, c'est-à-dire sur im plan perpendiculaire à Taxe de rotation du moulin. Considérons deux positions infiniment voisines, A a, B&, de la génératrice de l'aile 5 il sera évidemment permis d'admettre que CCS deux lignes comprennent nnc petite surface plane. Je
DES MOULIKS A VENT. 5o9
prendç un deuxième plan dé projection perpendiculaire à TaxeOO' du volant, et soit xx' la ligne de terre; cette ligne représentera la direction dans laquelle se meut le point (P , O') . Soit i^ la vitesse de ce point , que je supposerai dirigée dé O^ vers x'; si sur xx' j'élève une perpendiculaire O'y, cette ligné représentera sur le plan latéral la projection de l'axe de rotation; le prolongement O' V de celte ligne sera la direction de la vitesse Y du vent. Enfin la projection latérale de la latte A a se fera en Vraie grandeur sur A' a'. Cela posé , je mène O'N normale à la latte h!a\ puis je décompose les deux vitesses V, (^^ suivant O'N et O'a', ce qui donne les résultats suivant» :
Composante de V suivant O'N =ysm ^., Composante de V suivant O'a' z=z V e&s (p,
Composante de v suivant O'N == ^ cos^ , Composante de t> suivant O'a' = — p sin f.
Si Ton compose les vitesses ci -dessus du vent avec celles de la roue , prises en sens contraire de leurs directions, on aura les composantes de la vitesse relative du vent; et comme la vitesse relatiye parallèle à l'élément superficiel de Taile ne saurait évidemment contribuer au mouvement de celle-ci, n^ ayant d'autre effet que de faire glisser le vent à la surface^ il n'y a lieu de considérer que la vitesse relative normale, laquelle a pour valeur
y sin f — V ces <f.
Mais en vertu de la théorie de la résistance des fluides, la résistance au mouvement de Télénient superficiel de Taile est proportionnelle à sa surface, à la densité de Tair, au carré de la vitesse relative normale du fluide. Donc si Ton pose OP= r, A'a' = /, qu'on désigne par K un coefficient constant, et par D le poids de l'air sous Tunilé de volume, la force .motrice agissant sur l'élément superficiel que l'on considère aura pour valeur
KDlclr
(V sin ç — V cos ç)^
5lO TnKKTE ET IINIÉMB LEÇOK.
Remarquons lUaÎDtenant que cette pression se d^oropose en deux autres dirigées suivant OVetO'V; l'une, KD/rfr, .
fait tourner la roue, taadîsquc l'autre,
— ^(VsinT-«cos<f)'smf,
parallèle à l'ase de rotation, ne peut produire qu'une près* sîoii sur la crapaudine.
Si l'on multiplie la première force par v, on aura son travail en une seconde, savoir
(Vsin^ — ocoSf)'i'cos(p.
Mais chacun des éléments plans de l'aile donne lieu à un travail analogue; donc le travail total /transmis à la roue aura pour valeur
•,=ï5.'jr\»„v.,„,-.
Dans cette formule, ^ doit être considéré comme une fonction de /' exprimant la loi de génération de l'aile.
Si l'on veut déterminer f en fonction de/' sous la condition que T;. soit un maximum, il suffira évidemment de rendre maximum le travail étémeuiaire relatif à chaque élémenl superficiel , et par conséquent la quantiié
Pour cela il y aura deuk cas à considérer, suivant que le maximum se rapportera à L'angle f , c'est-à-dire à la forme de l'aile, ou bien à la vitesse de ses éléments, sa forme étant donnée. Le rayon.'' du centre de l'élément superficiel étant pris pour variable indépendante, di- est constant, par conséquent il faut simplement tendre maximum la fonction
V cos f [ V sin i)p — V eus f )'.
DBS MOUUHS A VEUT. 5ll
1" Cas. (^ éiant donné, pour obtenir le maximum de la fonction ci-dessus, on doit prendre sa dérivée par rapport à ©, puis égaler cette dérivée à zéro , ce qui donne
/ « . V r 2 ( V ces © + P sin cp) cos » 1
(Vsmy-f^cos(p) ; ^ . y • =0. •
L — (Vsm^ — ccos(])]s]nf J
Mais le premier facteur de cette équation ne peut être nui, sans quoi T^ serait nul ; .donc la condition du maximum devient simplement
(2) 2 (-V ces f + l' sin ^) CCS ^ — ( V sin^ — v ces y) sin y = o , de laquelle on tire
^ng ^ "■ "V ^^^^ ? -^ 2 = o.
Soit ct) la vitesse angulaire de rotation, on a
par suite Féquation précédente se transforme dans celle-ci
(3) ^ tang'f — 3-rtaDg(p — 2 = 0.
Résolvant et rejetant la racine négative , on trouve
(4) taDgy = --rH-^2-t-|-/^
Pour une vitesse du vent de 4"'5^5 par seconde,. qu'on peut regarder comme étant la plus ordinaire, et pour une rotation de 7 tours par* minute , ce qui donne
on trouve par la formule ( 4 )
y« =r 64» 4' 52'', et (p, = 82* î 3' 58",*
pour les inclinaisons, sur Taxe du moulin, de la première et de la dernière latte.
Ces résultats s* accordent assez bie« avec les observations de Coulomb.
La théorie qui précède est due à M. Coriolis.
5ia TREIITE ET tUtlÈME LEÇON.
IP Cas. Reprenons la fonction,
p cos y ( V sin «p — V cos ^)^
Comme ici la quantité (f est supposée donnée par la loi de la génération de Taile^ il suffit de prendre par rapport à (^ la dérivée de la fonction
c ( V sin y — p cos ç)%
et d'égaler cette dérivée à zéro. On trouve de la sorte
(5) c = ^Vlangt.
Telle est la valeur de la vitesse du maici m um d'effet, relatircf au centre d*un élément superficiel quelconque. Si l'on remplace i> par sa valeu;" i^ =r ro, il vient
(6) lang^=:3-r.
Pour chaque vitesse V du vent ^ &> est une quantité constante^
donc ilen sera de même de — —- Alors pour que l'égifation (6)
exprime la condition du maximum d'effet pour toutes les valeurs de V, il faudra prendre celte équation pour l'équation de l'aile rapportée aux coordonnées r et ç, mais en y faisant
^ =z= constante \ ce qui d'ailleurs est conforme à rexpérîencei
Si Yùh désigne par N le nombre des tours que la roue fait en une minute, on aura
par suite la formule précédente devient
