DE LA TORSION. — TORSION D'UN CYLINDRE
134. Considérons par exemple un arbre de transmission, sollicité à Tune ie ses extrémités par la force motrice, à l'autre extrémité, ou en plusieurs de ses points, par la résistance. Les diverses sections du cylindre éprouveront évidemment , à partir du point d'application de la force motrice , et dans les premiers instants du mouvement, des rotations ou torsions
autour de Taxe^ qui se transmettront de proche en proche jusqu*à Tautre extrémité du cylindre, laquelle ne commencera à tourner que lorsque toutes les sections qui précèdent la dernière auront éprouvé les effets de la torsion. Dans ces déplacements successifs, chaque file de molécules situées sur un rayon restant toujours sur celui-ci, si l'on partage la longueur du cylindre en parties égales, la torsion d^une section, par rapport k la suivante regardée comme fixe, sera partout la même. Par conséquent, si Ton décompose le cylindre en tranches cylindriques infiniment minces^ les files de molécules situées sur les génératrices de chaque cylindre se courberont sur la surface de celui-ci en hélices de même pas , mais dont Finclinaison sur le plan de la base augmentera à mesure que le rayon diminuera.
Considérons, par exemple, le cylindre qui se projette horizontalement sur le cercle O, et verticalement en d'fhg. Si nous imprimons à ce cylindre un mouvement de rotation dans le sens de la flèche, le pied a do la génératrice (a, ha') se sera
DE lA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 545
iransporlé par exemple en d au moment où rextréroîté hg du cylindre commeocera à se mouvoir; la génératrice (d, a'/) se sera donc courbée en hélice, et sera devenue {ahcd, a'h' c'd'\. De même le point (a, u) de cette ligne s'est transporté en (c, c'), le point (a. v) en (b, t'),elc. Delà il suit que la section rf'/aura tourné de l'angle aOd qu'on nomme angle de torsion, la section c'udel'anglgaO';, ta section AVde l'angle adb, et ainsi de sui te.
Lorsqu'un cylindre est soumis à un eifort de torsion , l'expérience démontre que cet eflbrt, tant qu'on ne dépasse pas les limites de l'élasticité, est proportionnel à la section droite du solide, et à la torsion par unité de longueur. D'après cela, si l'on nomme
E' r<^fforl en kilogrammes capable de produire une torsion de I mètre sur un cylindre qui aurait i mètre de long sur I mètre carré de section , A la section droite d'un cylindre quelconque exprimée eu
mètres carrés, 2 la torsion par mètre de longueur, P l'effort capable de la produire.
On aura (i) P = AE'l.
La quantité E' s'appelle coejficient d'élasticité de gUsscmeiit, D'après M. le général Morin , on a
Ferdoux E' =; 6.000.000.000 kil..
Fer en barres E' = 6 666.000,000 kil.,
Acier d'Allemagne. ,. E'^ 6,000.000.000 kil., Acier fondu très-fin. . E' = ) 0.000. 00», 000 kil.,
Fonle E' = 3.000. 000. oookll..
Cuivre E'= 4.366.ooo.oookll.,
Bronze E'=: 1 .066.000.000 kil.,
Chêne E' = 4oo. 000.000 kil,,
Sapin E' = 433.000.000 kU.
546r • " • - Tl^EIITE-QUATRIEME' XtIÇOW.
Considérons inâinteDânt deux sections infinîmënt voisines c^u^ b'if^ et prenons un filet quelconque b^s, situé à la distance r de Taxe du cylindre 5 ce filet devenant b'c* par Teffet de la torsion, Teffort capable de la produire (ou, ce qui revient au même , la résistance à la torsion) a pour valeur, en nommant n la section du filet,
• ^, an: bc
Soit / la longueur de Tarbre^ en vertu de la définition de l'hélice ,
arc bc arc ad arc ad
y s VF /
Substituant cette valeur dans celle de p, il vient
• ^, arc ad
Mais
SLTcad^^ rCl,
A étant la torsion angulaire; donc
p tzs — *■ «'••
Remarquons maintenant que le moment de la force p est pr^ par conséquent
prz=i'-— ar^.
Pour un deuxième filet matériel pris dans la même section et distant de Taxe d'une quantité r', on a pareillement
Vf Ci
p r •==. — -— fl r '.
Pour un troisième filet on aura de même
F' O ^" «" — ^f' ^fi
DE XA niSJSTA^GK DES MATÉaUDl
et ainsi de suite. Ajoutant toutes ces égalités m bre , la somme des moments des forces moléou pées sur- une section quelconque deviendra
th^fi\.
Mais ar^-\' a' r'* + a"r^^ + . . . , n'est autre chc ment d'inertie de la section' par rapport à Fax nommant j ce moment d'inertie , il vient
E'ii
Or, pour l'équilibre, la somme des moments de culaires doit .être égale à la soinmè des moments térieures:; nommant 2Pp la somme des momen nières forces , on obtient enfin , pour réquatibn (
Maintenant soit R le rayon du cylindre ; le mo: I ayant pour valeur
* = -irR* (page 3o4),
Téquation (2) devient
22Pp ^/ïiR
et s'il n'y a qu'une seule force de torsion ,
A»PLlCAn01l9.
Problème. — Soit proposé de calculer le di arbre de transmission en fer de 3 mètres de l une force de 6000 kilogrammes^ agissant à Vei
548 TRENTE-QUATRIÈME LEÇOK.
bras de levier de o",5o , et sous la condition que V angle de torsion ne soit que de i minute.
On lire d'abord de la formule (4)
(5) R^^/ïp. '
Mais dans ce cas
P = 6ooo kil . ,
£'=6.666.060.000 kil.j •
Au moyen de ces valeurs, la formule (5) donne
D'après M. le général Morin, on peut, avec une entière sécurité (vo/r l'ouvrage déjà cité, page 4^4 }> adopter les valeurs suivantes pour le deuxième membre de Téquation (4) :
Tableau des vAleun de Ë' —y
