C. Cela posé, les forces qui sollicitent l'essieu sont
P, Q, Q', N et N/.
Pour Téquilibre , et par conséquent pour le mouvement uniforme, il faut que la somme des composantes de ces forces parallèles à chacun des axes Oo?, Ojr soit nulle, et que la somme de leurs moments relatifs à Taxe de Tessieu soit aussi nulle. Nommant p le rayon de Tessieu, A la distance 00', on aura les trois équations
P = N/cos (j) — N sin y ,
Q -h Q' = N/sin ip -h N ces <p,
P (/? -4r A CCS (p) — Q (<7 — A sin <p) H- Q' ( ^ ' 4- A «in y) 4- N/p = o.
Remarquons, avant d'aller plus loin, que pour vaincre la résistance au roulement, il faudrait appliquer en F, et suivant
FG, uneforceS = ^--^? N' étan^la pression normale au sol
exercée par la roue. Mais les forces qui sollicitent la roue sont N et N/5 donc on aura
(i) N' = Nco8ç-hN/sin<p:
par suite la force nécessaire pour vaincre le frottement de roulement sera
(2) S = ^(cos<p4-/sin(p).
En appliquant la force S suivant le prolongement de FG, on pourra faire abstractionde la résistance au roulement, et comme les forces N, Ny, S tendent à faire tourner la roue autour du point S, la somme de leurs moments, par rapport à ce point, devra être nulle, ce qui donne
S.2R4-N.MC — N/.MB = o.
Mais
S = i-^ (coS(p-4-/smy),
M C = R sin ç ,
IVI B = R ros (f — p — A ;
par suite, Téquation ci-dessus devient
R sin y — / ( R cos <j» — p — A) H- // (cos -p -H/sin y) = o.
TRANSPORT DES CORPS SUR UN PLAN HORIZONTAL. i3S
Si Ton observe maintenant que l'on a , en vertn de l'ëquilibre des forces Q et Q', ^
Q(y — Asmy) = Q'(f'-+- Asin<f),
Téquilibre du système sera exprimé par les quatre équations •
P = N/cos 7 — N sin f , »
?(/?-+. AC0Sa>)-hN/p= O,
Rsiny + fx(cos^ -f-ysiof ) =y(Rcosy — p — A),
lesquelles servirontà déterminer lesquatre inconnues f , P, P) 9/7. Si dans la dernière des équations (3) on néglige le terme du troisième ordre par rapport à /x , /*, (f qui sont de petites quantités , il vient
Rsin<p -H pi ces y = /R cos y — fip-^ ^)*
Divisant par cos (f , on trouve
R tang y -h PL =/R - •^^if-±A\
cosy
Remplaçant cos <f par sa valeur,
cos y = . =;>
V I H- lang^ ff
Féquation précédente prend la forme
R tang ^ -4- fx =/R — /{p -f- A) \/i -hUng»y.
Mais aux quantités près du quatrième ordre par rapport à tang (p , on a
V^i + tang' <p = I -h - tang* ^; donc
R tang (p -h fA =/R — /(p -h A) f 1+ - tang> j .
Négligeant le terme du quatrième ordre par rapport aux quantités/, p -f- A, tang (f, on trouve
• Rtangy-f-pt=/R— /{5>^- A), d'où l'on tire
(4) tangy=-:^^ Ji '
l36 NEUVIÈME LZÇOB.
Cette ûquatiou fait voir que suivant qu'on aura
le point où se fait la rotation sera situé du côté opposé ou dans la direction du mouvement. Le premier cas a lieu sur les chnmins de fer, le deuxième sur les routes ordinaires.
Pour déterminer P, divisons membre à membre les deux premières équations, on obtient ainsi
P /cosf — sio î
Q W- Q' ~ /sin ç -(- cos î
Divisant numérateur et dénominateur par cos (f, il vient
P /— tapg 1
Q + Q' /langç+t Remplaçant tang <f par sa yaleur précédente, c
Effectuant la division , et négligeant les termes du troisième ordre par rapport aux quantités fi , y, p + A , on obtient
etjplus 3imp!|emeitt
en nommant Q la charge totale.
On ne calcule pas les autres inconnues qui oilrent un iutér&t moindre. On voit que, pour une même chai'ge, P sera d'autant plus petit que le rayon R de la roue sera plus grand, et que le rayon p -f- A de la boite sera moindre ; quant au cocflicieut fÂ, il dépend de l'état de la voie. Il dépend aussi de la tiivgcur dcsband<'s (fc la rour, rar on a reconnu <|ue cette largeur
TRANSPORT DES CORPS SUR XIW PLAN HORIZONTAL. iZj
doit être dans un certain rapport avec la charge à transporter, afin d'éviter une trop grande dépression du sol.
VOITURBS A QUATRE ROCBS.
Supposons que R , p et A se rapportent à la grande roue , et nommons R', p\ ù! des quantités analogues relatives à la petite roue. Si l'on nonune^, p' les tractions horizontales nécessaires pour vaincre les frottements de chaque système de roues, ^, ^' les charges qu'elles supportent , on aura
et en ajoutant ces équations membre à membre Si y = ^' = - Q, la valeur de P devient
Si Ton a- R = R', p = p', A = A', comme cela a lieu pour les wagons, la formule précédente se transforme dans la formule (5) qui convient ainsi aux voitures à deux roues, et aux wagons des chemins de fer.
VOITURES A BLT ROUEB.
Pour une voiture à six roues, entre lesquelles la charge serait également répartie, on aurait de même
-ÎT -+- ÎT/ H- ÏTî? 1 +/
(8) p=iQr '(^"^'"s^)
et ainsi de suite.
TmAGE D'UNE LOCOMOTIVE.
Soit L le poids de la locomotive que nous supposerons avoir six roues, deux grandes et qualrc petites j soient aussi
l38 NEUVIÈME LEÇOR.
Q, Q', . . . , Q'" les poids des wagons y compris lear chaîne. Fig. -o-
I «'" M°mH '' [?Zi^M^-jJ^
Nommaot P l'cfFort parallèle aux rails développé parla machine,T,T', . . .,T'"les tensions des chaînes qui lient un vragon à un autre, on aura successivement , en vertu des formules (8) el(5):
Pour la locomotive , et en faisant abstraction du frottement développé sur le bouton de la maniveUe :
Pour les vragons, successivement
Ajoutant ces égalités membre à membre, et nommant Via somme des poids des wagons , on trouve
(«) Comme las ess
charge. Userait plus
le locumotive ne portent pu géDéralenent la mime : remplacer le premier terme da la Torinale (9] pi'
'(S-/'^') -.'(fr*/=^) -'• (è*/'-T^)
l4o NEUVIÈME LEÇON.
