X2SM
T-"', ''■iHOI.-l
i-) '>:îiu,i — ■
— ni. p,.u:,i =
Ajoulons enlin que si l'on fait encore
24'2 CHAP. XXII. — DÉTERMINATION DES INÉGALITÉS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. ETC.
on trouve d'aboixl
P.400,0 = -^ m3 -f- ( — //l2 . ffi'A \ y
jti5 5
io5 ^ lO) io5
pioi,—>= —7-m.Y,. Jjoj .j = —m./., r,t„i .2 = m.y.,
Zi,i-t •) = m. y.,
et l'on en déduit
ii--'-5 , / 15 , I >95 ,\
, 2. 175 , / 45 „ ilT ,\
de sorte que
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DliS ÉLÉMENTS.
141 . En exécutant les calculs décrits dans les Chapitres précédents et en examinant les résultats avec quelque attention, on est nécessairement frappé de certaines particularités que l'on est tenté de transformer en règles générales, et que l'on peut en effet justifier a priori.
Reprenons le problème sous la forme du mouvement d'un point matériel de masse égale à l'unité, avec la fonction de forces
^ ^ /(Mq+M) ^ ^ r '
la fonction perturbatrice V étant définie au n° 120, et correspondant à la théorie solaire du mouvement de la Lune.
Si l'on néglige V, on a un mouvement képlérien, aux éléments /Jo, «0, U-i £o = sin'>pn, T^o, y'd, 8,,, suivant nos notations habituelles; on a d'ailleurs /i^ «^ == y (M„ + M), et pour simplilier l'écriture, nous supposerons que les unités de temps et de distance sont choisies de façon que l'on ait / (Mo H-M) = i , les nombres /«o et «o étant euxmêmes très voisins de l'unité.
En appelant /i, «, /, s = sincp, ..., les éléments variables de l'orbite képlérienne osculatrice à chaque instant au mouvement réel, on peut, comme au n° 93, leur substituer les nouveaux éléments
K = \Ja, Bi = k/'i A sin ^ <;~'^, Ci = 1/2 A cos cû sin - e- '0,
L = il, B2 = \J->. A sin - e'^, (\ = \l'>. A cos o sin - e' ' ;
on a alors
"^Xi
et en faisant encore
z = it,
les équations du mouvement prennent la forme simple
dX â\
dx ~ ,)L '
d^ = "-ôX'
rfB, d\
dBi dW
d' ~dB,'
dl dB2
rfC, ô^
rfc, .;v
d- ~ dC,'
d- ~ OCi
Soit encore
et désignons généralement les six variables A, ui, B^, B,, Ca, C,
par Xj (y:=:i, 2, 3, 4, i, C). On a plus simplement, comme au n° 97,
dxi ,, c)V
-j^ = lay/, ■ ,
avec
tous les autres coefficients ay/f étant nuls.
l^a fonction V contient en facteur la petite quantité //-, puisque l'on a y*M' = /î- « •■'; et l'on peut ajouter qu'elle se compose de groupes de termes ordonnés suivant les puissances entières non négatives de la très petite quantité -, ; mais nous ne tiendrons pas compte
de cette particularité pour l'instant. De plus, si l'on appelle /' la longitude moyenne du Soleil, et que l'on fasse L' = f/', la fonction V apparaît comme étant de la forme
v,i'2Cevi.-+.vi/.
s et s' sont des entiers quelconques; les coefficients C dépendent de A, B|, B2, C|, Cj, ainsi que de l'excentricité t' et de la longitude
du périgée vs' de l'orbite du Soleil, en même temps que de — > et des
paramètres P', Tj", ... ; il serait d'ailleurs aisé de préciser davantage la forme de ces coefficients, mais il est inutile de le faire explicitement, a(in d'éviter une plus grande complication.
On peut intégrer les équations précédentes par approximations successives, comme nous avons fait aux n"^ 94 et 97. Pour abréger
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS
l'écriture, supprimons les indices o qui affectent les valeurs initiales des inconnues, et représentons celles-ci par A + SA + S-A 4-. . . , X -(- oA + o-À -|-. . ., tj. -h oix H- o-jj. -|- , . . , en mettant en évidence leurs parties fournies par les approximations successives : A, [x, B,, B21 • • • sont des constantes, et l'on a À = /i-:, de sorte que L = nz-^u..
Dans l'expression de la fonction V, nous supposons aussi que les inconnues reçoivent ces valeurs de première approximation, ce qui ne change pas sa forme.
l^our déterminer en premier lieu les quantités oA, SX, . . . , on a les équations générales
dx/,-
d(oX ) i)n ^ — j — — ÏT ° ^ '
les dérivées -; — sont de la même forme générale que V, — ne diffé-
flf t. " ^ à IX
dxk
rant |)as d'ailleurs de ^- Distinguons alors leurs divers termes de la uIj "
façon suivante : les produits tels (jue C'j"''^'' seront désignés par Psi l'on a .V ^ o, par Q si l'on a 5 = o, s'^ o. par S si l'on a simultané-
ment 5 = 0, >v
o. L'intégration d'un terme P donne
s n-hs n
on peut développer l'inverse du diviseur sji-\-s'n' suivant les puissances de la petite quantité /;', et en convenant d'appeler toujours G non pas seulement les quantités définies il y a un instant sous ce nom, mais encore des quantités analogues développées suivant les puissances entières non négatives de ji\ et ne s'annulant pas avec «',
on voit que l'intégration d'un terme P conduit à un terme de même
C , , nature. L'intégration d'un terme O donne -p-, e"'', c'est-à-dire un ^ ^ s' n '
terme de la forme —.: enfin, l'intégration d'un terme S donne un
terme séculaire -rS. 11 est entendu d'ailleurs que toutes les (piadralures sont effectuées sans addition de constantes superflues.
11 résulte de ces considérations que les quantités oxj sont de la
forme
n'M*-Hrt'Q-f-/''2TS,
en employant une notation symbolique de signification immédiate. Mais le cas de ôxi ou 5A demande une attention spéciale : on a en effet
et comme la dérivée jp ne peut évidemment contenir que des
termes /l'^P, il en est de même de 5A, et aussi de o a, par suite. On a maintenant
les indices autres que y' prenant toutes les valeurs possibles; d'où, en général,
^ixj= (n'3+ n'-)V + («'2-4- rt'3-:)Q -(-(«'^T-h n"^-J)S,,
ainsi que le montre la composition du second membre de la formule précédente.
Plus particulièrement, on a
et comme les dérivées —.-; ' -; — r- iie contiennent que des termes n -r, du- ()\j àxj '
il vient
o-^A = ( /i'-'-+- n"*-.) V ^ /t'-'Q-l- rt'HS.
En continuant de la mèuie façon, on aurait généralement
h-^Xj=: (n"* -+- n'^z -H n'^T-) P
-t- {ii"'z -h /i'^T--i- n'^-') S, et spécialement
et ainsi de suite, la loi de formation étant en évidence.
Ces résultats £ont ceux qui correspondent, dans le problème actuel, à ceux du n" 94, relatifs aux inégalités séculaires en général. Nous devons par suite prévoir que la forme des inégalités 5-A, ù^A, ... doit encore se réduire d'une façon correspondant au théorème de Poisson, démontré au n" 97. Examinons donc de plus près ces quantités.
On peut écrire
^52 A) dn 0'-\ ~d
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS
et en raisonnant comme au n° 97, on voit que le second membre de cette formule ne saurait contenir aucun terme constant, et aussi que les termes n'^Q qui y figurent naturellement acquièrent un nouveau facteur 71' . Donc, on a simplement
et par suite
Allant plus loin, on a de même
cny
Z-^Xi
à ÏJâxj
ùk dxj
ôLôxjdx,,,
I fônyv (p\ r rà'\ ., f rô\ ,
im-'ï]
'^OLàxjJ àLOxA \) J àL '
à-^y r rày , ., r ày . ^ I [ d-^y r d'-y , r <)y ,
H — '^y-ik'^nin '•' "rî~~ — / "; "~ / "■; — "'
•2 L à\.OXj J OXkdx,,, J OXn
d^y f '^Xd f iY dA
dl.()xj()r,n J Ox/, J dx,i "J '
et l'on peut encore écrire celte dernière ligne sous la forme suivante, en échangeant d'abord les indices y et k dans le premier terme, et permutant ensuite simultanément / et //i, A' et /«,
!.. r ^'v r ày , r^^ ,
2 ■"' '"''ldLdXjdx,nJ Ox/, J ÔXn
()L()X/,J ÔXj<)x,n J à^n
<py f£X—d- f'^dz]
àl.àxn J àxj(Jx,n "■ J àx/, J ■ 11 est facile alors, avec un peu d'attention, et en profitant des
résultais déjà acquis, d'analyser la forme des différents termes de cette expression; en raisonnant encore comme au n" 97 quand il s'agit des termes qui proviennent, dans la troisième ligne, de la
partie (/^'-Q -|- /?''-S) de ^ — j et dans la quatrième des parties ana-
logues de - — > - — > on constate que la denvee — -^ — est de la lorme
par suite, on a
S^A = (/i'*+ n'^- -+■ n'^-- ) P -h(n'-^-+- n'^z) Q -+- /i'«xS,
S-iX = (n'4-4-,,'5T-h/i'6-2)P-h(n"'-i- n'-'T). Q + («'^T -+- n'^z^)S.
La loi que nous cherchions est suffisamment mise en évidence, sans qu'il soit nécessaire de continuer dans la même voie.
Envisageons encore une quantité variable A' définie par l'équation
dA' OY dz ~àL''
la fonction V étant ici exprimée sous sa première forme, c'est-à-dire que A, L, B,, B^., ... j reçoivent leurs valeurs variables complètes. En supposant arbitraire la valeur initiale de A', et désignant par A' cette valeur même, on peut remplacer la valeur générale de A' par
A' -h 0 A' H- 0- A' -f- ... ; on a alors successivement
rf(8A') <;V d(8i\') <)'-\' ^, V» (py
Jl' ' dT" ~~ JlôVj ^'^ '^ Zd (Fï7U:j
la fonction V étant maintenant exprimée à l'aide des valeurs initiales de A, L, B,,
La denvee -rr-, ne peut contenir aucun terme constant; et par
suite oA' est de la forme n'-V -{- n'Q. De même 8- A' apparaît immédiatement sous la forme
(n'3+ /i'iT:)p 4-(,î'2-^-,i'3T;)Q -f- /i'3-S;
mais d'après le théorème de Poisson, et en se reportant au n° 97, on voit que les termes séculaires xS ne sauraient exister; donc
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. I^ij
en poursuivant plus loin, on a de même
les termes séculaires -^S ne pouvant exister; et ainsi de suite.
142. Les résultats que nous venons d'obtenir peuvent se transporter immédiatement aux perturbations des différentes coordonnées elles-mêmes, qui sont des fonctions des éléments. Toutefois, il faut avoir soin de prendre la précaution que nous allons indiquer.
Soit / une coordonnée quelconque dont l'expression en fonction* des éléments se développe suivant les puissances de e'", et, is'il s'agit de la longitude vraie ou dans l'orbite, comprend en outre le terme L; on a donc
la parenthèse indiquant la présence évenluelle de L. Les /y sont des fonctions des éléments autres que L; en remplaçant tous les éléments parleurs valeurs nouvelles, désignées par A" + AA, L"-t-AL, ..., afin d'éviter toute ambiguïté, on peut mettre y*^ e^'" sous la forme i/l + f!/)e''^'' , le sens de /^ étant clair par lui-même. La perturbation de / sera donc, en effaçant maintenant l'indice supérieur o, comme nous avons déj.à fait plus haut,
A/=.2/;/e'/'-4-(AL),
et c'est aux coefficients /' que se transportent immédiatement les résultats obtenus précédemment pour les perturbations des divers éléments : en particulier, tout ce qui est relatif aux termes séculaires et aux termes Q subsiste.
La parallaxe - jouit de propriétés spéciales, qu'il faut mettre en
évidence. Appelons, comme au n** 121, X, Y, Z les coordonnées reclilignes de la Lune par rapport aux axes TX, TY, TZ; d'après la relation /(Mo + M) = I , les équations directes du mouvement sont
Une combinaison évidente donne l'équation de Laplace sous la
25o CHAPITRE XXni.
forme
d\-^ d\-^ dlfi ^d'X ,, rf2Y ^diZ a-- dz- di- d~^ d-.- d--
1 ^ôy ^àV ^d\ r /àW .^ à\ ,^ à\ .^\
1 •< 1- )' 1 I d^ir-^) la première liane 11 étant autre chose que r-r— •
Reportons-nous à l'expression de V qui peut s'ordonner, nous
l'avons déjà dit, suivant les puissances de — ; la partie indépendante
de-, est homogène et du second degré par rapport à X, Y, Z; nous
pouvons donc poser
W étant une fonction facile à écrire plus explicitement, qui contient —, en facteur.
V est une fonction de X, Y, Z, t, le temps n'j entrant explicitement que par l'intermédiaire des coordonnées du Soleil; par suite
et l'on peut mettre l'équation de Laplace sous la forme
Mais on a, d'après les équations qui définissent A, L, B,, Ba, ..,,
-tt; d\ ^ -— d\ -^ --- dZ — .-dk -\- c^dL ^ -rr- dYii-\- . . . o\ 01 (IL o \ ôL dBi
= n ^rr- dx r= n a A = a ( -
d'autre part, comme les coordonnées du Soleil ne contiennent le temps que par l'intermédiaire de L', on a
-T— dx T= n — — dx = n «A ,
OX <)\j
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS
de sorte que, finalement, l'équation de Laplace devient
la constante provenant des quadratures est incluse dans A', si l'on veut.
D'après la forme générale des coordonnées, les ternies séculaires et les termes Q contenus dans /'- sont de la forme
(/i'-f- n'^T -h «'^ -:--+-...) Q -f- (/i'^T -I- ii">---Jr- n'^-^ -^ . . .) S,
et, par suite, les termes correspondants de ., sont
( ii''^-\- /t'5- -r- n"'-.''-^. . .) Q -H {n'^x -H. . .j S ; dans —) qui jouit des mêmes propriétés que A, on a de même
{ll"*-^ «'«- -4-. . . j Q -H (/i'«- -r-. . .) S,
et dans n'A', les termes de même espèce sont
enfin la fonction W, qui dépend des coordonnées de la Lune et du Soleil, et qui contient en facteur —7 , donnera des termes
— , (n'2-4-/i'*-: -+-...) Q -^ — Aii"*~ +. . .) S. a a
D'après l'équation de Laplace, on voit donc que la parallaxe - ne
contiendra des termes Q ou des termes séculaires que sous la forme plus particulière
et il serait bien facile de préciser davantage la provenance de leurs parties principales.
143. Afin de pouvoir comparer utilement les résultats des Chapitres précédents avec ceux que nous venons d'obtenir par l'application de ce procédé d'approximations successives que fournit immé-
diatemenl la méthode de la variation des éléments, il convient d'amorcer au moins le développement explicite de la solution que donnerait cette méthode, eu suivant les principes généraux, du Livre 111.
Reprenons toutes les notations du Chapitre XIII, de sorte qu'en particulier
À = e'/, X' = e''\ Y = 1 siii [ , Yi = "" T^~'^ Y2 = r T^'^^;
et comme ici y' = o, on a de plus
a,= a. = .-Y,Y2, cr', =^ y|, cr', = yf.
Le développement donné dans ce Chapitre pour la fonction Ro, multipliée pary'M', ou II'- a'-', convient encore ici pour la fonction perturbatrice V, à la condition suivante, évidente d'après le n° o : dans les
quantités —~r (jui sont, au facteur —, prés, des fonctions du rap-
sj aa' (^
port — . on laissera de côté les termes qui ne sont pas au moins du
second de^re par rapporta -, etl on multipliera —7-' —r.' • • • respecti- '^ ' ' ' a ^ a * a * '
vement par les facteurs [ii', ,3', ... du n" 120. On a donc ici, en négligeant les termes en [i', [j", . . ., sauf quelques-uns :
a' b'fi I «* 9 , a'* a'b'-^ 3 ,, «^ a' b'i i a^
II il
a' bl g „, a' a' b] 3 a^ 4i , a'* a' b\ i^ a'
V^rtcF' ~ 4 '^ «'' ^"■' s/aa!~ "i- «''^ 'G a"*'^"" y/ W " « a'^ '^■■■' , A s • 1
V/aa " y/aa '^ '' y aa "
La fonction V sera de la forme générale
les exposants étant des entiers non négatifs, sauf 5 et s qui sont des entiers quelconques; A est un coefficient purement numérique, mul-
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. '.^-SS
liplié par [i>\ fj", ... si ^ == i , 2, .... On sait d'ailleurs que l'on a s -+- s' ~ pi-\- p-i — l'i -+- r-i—p'i -h p'i = o,
et que la différence /'( — /'^ est paire.
Mais d'autres particularités sont à signaler. L'expression de cosH est linéaire et homogène par rapport à e"', e"'" d'une part, et par rapport à e'"', e~'^' d'autre part, en appelant p», u' la longitude de la Lune dans son orbite, et la longitude du Soleil. D'après la façon dont cosH figure dans V, il est donc clair que les quantités s — /){ +/?:>, s' — p\ -\- p[i prises en valeur absolue, sont au plus égales à g + 2, et toujours de même parité que ce nombre.
11 j a plus : dans le cas particulier où l'on a 5' = o, la quantité s' — p\ H-/?2, c'est-à-dire la différence /^^ — p\i prise en valeur absolue, ne saurait dépasser q. Pour s'en assurer, il suffit de faire l'observation suivante : les termes pour lesquels | s' — p\ -h p'.^ \ atteint en général sa limite supérieure </ -+- 2, sont ceux qui proviennent du développement des fonctions
et si l'on suppose en outre s' = o, il faut prendre seulement la partie constante de ces fonctions; or, d'après le n" 81, la partie constante
de ( ^ ] e''-'/'^-^"' est égale, avec les notations de ce numéro, à
et par conséquent est nulle, d'après la définition des K^'''. Ecrivons explicitement la partie séculaire de V, soit (n° 91)
Vo= 'Ji/i'-a*XS, avec
S S = - -+- - £| £,— - y, Y2 -+- 7 £ 1 £0 — ,^ £1 £2 Yi Y2+ ^ Yî Yi
- C1C2 £1^2— - riT2 ^1=2 + "T "-l '^ "•""[
-ci=.2£,s2 — 7TlT2^1'2 + Tl- ^^T ^'iTî^-ïll''^-
-,?' [(£.£',+ £,£',)(-- --£.S2+-;^Tr;.-^£.£2J
la partie périodique de V sera désignée par
et généralement pour un ternie S ou P, les exposants correspondants seront toujours appelés ^, s, s',pi, p-^, /■,, r.2,p[, p]^., comme ci-dessus ; de plus, pour un terme P, nous ferons d= su -{- s'n' .
Conformément aux remarques déjà faites, on ne trouve dans la première partie de V„ (celle qui correspond à q=zo) que le seul argument séculaire im — 28, en dehors des termes qui ne dépendent que des excentricités et de l'inclinaison; de même, la seconde partie (pour ^=1) ne dépend que des arguments séculaires m — nr', TS-\-Xx5' — 28, 3tît — -m' — 28, 3nT-f-ra — 4^; et ainsi de suite.
Les équations (jui déterminent les différentes inconnues sont faciles à écrire, et à intégrer comme au n" 98. Désignons encore par n, «, 1=^ nt-\-lo, s,, £2, yi, ya les valeurs de première approximation, toutes constantes (sauf le terme ni de /); et représentons les éléments variables eux-mêmes par (n), (a), (/), . . .. On a immédiatement, en écrivant explicitement le seul résultat de la seconde approximation,
( n) = n — bn^ y -j -h .. . ,
— £1^2 (/^i+yJa — 2 /•! — •;>./•./) -f-. .]-!-...,
(si) ^£1 -^- — ^-) p ^[-p,^e^,,(■ip^ — s~rl — r,)-h...\-h...,
'\d] (£.) =£2 + — >,r t p [/^i + ei^iC-a/^i — s-t-r,^/-,)-!-. ..] + ...,
Il Âamà c] ( r }
(Tl) = Tl + — ^-(H-2£i£2+...) p n,-,y,Y2(.«-/>l-+-/'2}]-+---.,
La solution, complètement développée, jouit des propriétés que nous avons reconnues plus haut.
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. 255
Si Ton envisage maintenant les coordonnées polaires de la Lune,
soit la parallaxe -? la longitude v comptée dans le plan TXY, à
partir de l'axe TX, et la latitude s au-dessus de ce plan, on aura pour les développements de ces quantités, d'après des formules connues, et en faisant
les expressions suivantes :
- = 7 — : l-f- ^Ti -H :ro + 2.7.'f + 2^5 + - CT^ 3^7 0"^ ^l r? -+- - X'i
-4-— xl — r^xlXi—j^XiXi + Y^î -+-•••,
fP = (t/j + 2:ri — ■iX-->-\ xi 37^ -H -— rr? — X-; Xo-+- XiXr, — -r-^')
io3 , 1 1 ., II , io3 ,
H ^l :t- CCJ X.2-+- -:T-Xi Vi Xi 4- . . .
— IXif'] H- 2 JJoJ'Y — 2a^,J^r; -H aa^aj'-j
— -^'i.r'i^^'rix.,y-i ~-x-ly-\-\-^-x-iyl — >ixix.iyl-^ — xlyl^...,
«^J'i — r-2 — ^rî + ^/LÎ
-4- 2^7171— 2J72;i-^2 3-ijK-,— 2.^272 — a"i y î ■+- X .y-l — Xiyl -^ x-^yl
-1- x-^y^ — \ xi x.yx — - xr,yi + - a;;- js ^ î .^^i •^2jK-> — 7 xr, y-,
-^ -^ x\yx — iox\xoy\ — - x'-Xy^-^- - x-ly.,+ lox^xr^y-^ x'\y.i-\-. . ..
Rappelons enfin que
(„)2(a)3=./(Mo+M),
en laissant les unités quelconques.
Les variables (e,) et (so), (yi) et (y-i)? comme les constantes s, et Z21 Y) et Yi, sont respectivement conjuguées : nous pourrons donc, dans tout ce qui suit, ne parler explicitement que de (s) ), (Yi)' ^mY'' par exemple.
Considérons les parties constantes et purement séculaires de (s,)
et (y,) : elles sont de la forme
£1-4- int{— 6£i-T- S BQ )-!-... , yi + m^(— cyi-t- SGR) +. . . ,
en n'écrlvanL pas les termes qui dépendent des puissances siipérieures de t.
On désigne ici par Q et R les différents monômes, autres que £, et y, , tels que
pour lesquels on a
la différence /•, — /'a étant en outre paire ou impaire suivant qu'il s'agit de Q ou R. Les coefficients />, c, B, G sont développables, d'après
le n" 141, suivant les puissances entières et positives des rapports — > —, que nous appellerons m et a, et contiennent au moins m- en facteur; ils dépendent en outre des paramètres [3', [i'\ ....
Leurs parties principales, c'est-à-dire celles en m-, résultent uniquement de la seconde approximation que nous avons faite explicitement, et l'on a en particulier par suite
\4 3ii
les parties principales de 6 et c sont ainsi égales et de signes contraires, mais il n'en est plus de même pour leurs termes en m/*, in\ ..., ainsi qu'on pourrait effectivement le vérifier sans grande peine.
Nous allons maintenant remplacer les constantes s,, s^, y,, y2 par quatre autres r|,, y;2, ^(, vi analogues, c'est-à-dire conjuguées deux à deux, à l'aide de formules telles que
Qi et R, étant les mêmes monômes que Q, R, mais construits avec Yj,, rj2, Ci, vi au lieu de s,, s,, yi, y^ ; et les coefficients ^i, y étant réels.
Soit en môme temps deux constantes réelles g et A, de la forme
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. iôy
S( représentant les différents monômes (autres que i), analogues à Q, et Ri, mais pour lesquels on a
Pi —Pl= fl — f-l = P\ — f''-2 = o.
La détermination des coefficients [i, y, "o, ^'^o, ^"15 ^h peut être faite, comme nous allons le voir, de façon à remplir la condition suivanle. Les nouvelles expressions de (si), (yi) sont
r,i + SpQi H- m<(-6r,i — 6SpQ,+ SBiQi) -+-..., Çi -4- Zv Ri + inti— c ri — ci:Y Ri -+- S Cl Rj ) 4- . , . ,
en désignant par ^B, Q,, SCi R, ce que deviennent SBQ, !2CR.
Supposons alors que dans les parties constantes -r^i-f-^^Q,, tt H-SyR,, on remplace iq,, 7^2? si> ^25 l'espectivement, par les quantités variables r\ie''^"^, r^.,eJs"t^ Ç,6'-"^"', ÇoC"^"^, puis que l'on développe les exponentielles e-'o"', e-'^'"' suivant les puissances de t : les parties en t des résultats devront rc[)roduire exactement les parties en t des expressions précédentes.
Cette condition se traduit immédiatement par les équations suivantes :
( -0- b + S^iSi) r,i + S^Q, [-b + (p, - p,) {go + ^gi Si)
-^(/■,-/-,)(/»o + i:/iiSi)]-1-SB,Q, =0.
(Ao — c-i- S/tiS,)^,H- i:YRi[— c +(/j, — /Jî)(^o-^i^^iS,)
-+-(/•! - /•2) (Ao -V :s /il Si)] -H s c, Ri = o,
les coefficients des divers monômes Q,, R, devant être séparément nuls dans les premiers membres.
11 vient donc en premier lieu
En second Heu. le seul monôme Q, ou R, qui soit du premier degré par rapport à l'ensemble des quantités y^, , t,.j, "Çt, ^2? ^'p -^ ^^^ Q(== -1 • Pour ce monôme, on a
et, par suite,
?=^aP'(H-...),
a.ndoyi;r 17
a')8 CHAPITRE XXIII.
en n'écrivant que le premier terme d'une série qui procède évidemment suivant les puissances de m et de a-.
Les équations ci-dessus s'écrivent encore sous la forme
X/ï, (Si r, ) + :L-^^[{p,-p,) b - (r, r, - ,) c] + 1 C,Ri = o, en faisant
iCoR, = :SCiR, H-SyR, [(/>,-/>,) X^^iS, +(/•,- /-aj^/i, Si].
Or, il est clair que si le monôme Qi ou Ri, ou encore le monôme de même espèce Si/ii ou S|!^i, est d'un certain degré, et que l'on ait déjà déterminé les coefficients ^j, v, g\^ h^ qui se rapportent à tous les monômes analogues de degré inférieur, le coefficient B^ est connu.
Observons alors que la quantité (pi — ])■> — i)^ + (/'i — /'2)c ne peut être nulle que si l'on a pi — p., = i , /'i — /'a = o. et par suite p\ — ■p',=o; et que de même la quantité (y>i — Pi>)^ + (''i — ^'2 — O*n'est nulle que si l'on a pi — />o = o, /i — /-.j = 1 , et par suite p\ — p'^ = o ; nous en concluons immédiatement que : 1° si le monôme ()i ou Pvi n'est pas de la forme spéciale S)Yii ou Si^i, le coefficient [i ou r correspondant est donné par la formule
(Pi—/>î~-i)b H-(/-i— r-i) c
'.i''' si le monôme Qi ou Ri est de la forme spéciale SiTh ou Si wi, le coefficient ^ ou y correspondant reste indéterminé, mais le coefficient i.'i ou hi relatif à Si est donné par
^'i~— B, ou /ii = — eu.
Appliquant ces j-ègles aux dllférenls monômes du (roisièuie degré, et ne retenant (jue les termes princi|)aux, on trouve sans peine, en
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. •;•
faisant nuls tous les ooefiicients S ou *' indéterniini-s,
S = f^ — - '"-'l'a >i2 — Gni'^i Z-2 ■+- - /n^s\ s'^ -!-•.. ,
Les monômes rjos'j-, C2£', ' n^ figurent pas dans ees formules : en efïet les coefficients B ou C correspondants ne peuvent provenir, d'après les remarques faites sur V^,, que de la troisième approximation et contiennent |»ar suite au moins di'^ en facteur; il en résulte ([ue, pour ces monouies, ^j ou y sont au moins de l'ordre de m.
Généralement, les coefficients 3 et '' seront des séries ordonnées suivant les puissances de di et les [)uissances de même parité de a; et le degré de leurs parties [)rincîpales par rapport à m sera inférieur de deux unités à celui des parties principales des coefficients correspondants Bo et Go, et par suite B et G, lequel est au moins égal à deux. Il n'j aura d'exception à cette règle que si l'on avait pour un monôme Qi ou R, la relation p^ — p2 = i\ — /o ± i , le signe supérieur ou inférieur correspondant à Qi ou Ri : ceci résulte de l'observation faite ci-dessus sur les parties principales de b et f, et dans ce cas, il faudra dire que la partie principale de |j ou " csi d'un degré par rapport à m inférieur de trois unités à ((dui de la partie principale de B^ ou G.).
Les monômes Qi et R| de moindre (]('gr('; pour lesquels c(;tte circonstance peut se pr(''s(Miter sont r^■^'^-,^\'' et rj^vi^i'; niais l'on doit ajouter que, d'après la forme spéciale de V(,, les ])arties principales des coefficients correspondants B et G, ou l)ien seront d'ordre supérieur à nï^, ou bien contiendront a' en liietein. On voit par là que si on ne laisse de côté que des termes absolument négligeables, la quantité m ne s'introduira jamais en diviseui- dans les expressions de Z\ et -'i. Et de la même façon, les expressions de /,< ei // (Contiendront /;<^ en facteur.
26o CHAPITRE XXIII.
Envisageons actuellement les parties constante et purement séculaire de (il), soit, après introduction des nouvelles valeurs de îj, s^,
il + int (L Aj Si + S A'i s; ) +. . . ,
les monômes Si étant toujours ceux définis précédemment (auxquels on a adjoint i), et S'^ représentant les monômes analogues, autres que les Si^ pour lesquels on a simplement
P\—Pi-^i\— r-, -4- p\ — fx'., = o .
Nous allons encore changer l'élément / en un autre a (aucune confusion n'étant à craindre en raison du nouvel emploi de la lettre A),
en posant
il = iX -+- i;a'S'[ ,
et en même temps déterminer une constante v de la forme -aSi, le tout de façon à vérifier la condition suivante. La nouvelle expression
de il est
il -h i:a'S'i-4- i/if (lAiSi-4-SA',S', )-f-... ;
si alors dans la première partie de celte expression, soit i'ÀH-Sa'jS'j, on remplace )> par A + v/if, et, comme précédemment, r^, 'Ci, ... par ■f],e~'o'"', J^,e-'^""', . . . , en développant les exponentielles suivant les puissances de t., la partie en l du résultat devra reproduire exactement la partie en t de l'expression totale précédente. Cette condition donne immédiatement
a = A,, et
{Pï — Pî)b-\-{r^ — r.,)c en faisant
S A(, s; = s a; S', + Sa s; [(p, -/.,) S^i s, -+-(/•! - r, , X Al S, J ;
et l'on peut répéter sans peine les diverses observations faites au sujet de la détermination des coefficients [i, y. En particulier, la partie principale du dénominateur de l'expression de a' sera généralement du second degré par rapport à /«, et ne deviendra du troisième degré que si l'on a />, — y>o = /•) — /^ ; les monômes de moindre degré pour lesquels cette circonstance peut se présenter, sont y, ^^^ s, ' etson conjugué. On en tire les mêmes conséquences que précédemment.
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. iô I
En fait on trouvera facilement, dans les mêmes conditions ([ue ci-dessus,
— 27 'i I ■'■ri '-\ £':> ^- •■>-7 Cl v2 î'i £0 — 3o î';- s'/ -+-..., il= il— {r;m — r^lQ)
i'[(vi,s;,-v),s'.)(-^-
2or,,r,2-+- V C1C2— aSs'it:,
;r<>,iC^'.-vi.q^^)
144. Revenons maintenant aux expressions générales des éléments variables {n), (il), (s,), (e^), (yi), (72), et mettons-y partout pour £1, ^2, Vi? Y25 ^5 leurs expressions en fonction de ri,, tjo, î^,, ^2, ^- H résulte de ce qui précède que, si l'on se borne à la considération des termes purement séculaires en ^, on peut les efï'acer partout, à la simple condition de remplacer r,,, /,2, Kti ^2> ^ par y]ie-'ff'^^, 7^2'?'^"', 'C^e-i^'it^ "Ç^e'^"^, A + v/îf, et de développer les exponentielles suivant les puissances de ^ : de plus, ce résultat ne peut être obtenu que de cette façon.
D'autre part, nous savons par les Chapitres précédents que la solution du problème peut être mise sous forme purement périodique dépendant uniquement des arguments D, G, H, G', linéaires par rapport au temps.
Il faut en conclure évidemment que, plus généralement, on peut effacer dans les expressions des éléments (/i), (ii), • . . , tous les termes séculaires ou mixtes qui renferment l en dehors des signes périodiques, à la condition de remplacer en même temps y],, t].,, ... par Tiie-'^"', r^^e'^'^', ... ; et en effet, une telle opération étant possible, elle doit en particulier s'appliquer aux termes purement séculaires en t : or ©elle que nous venons d'indiquer remplit seule cette condition.
En résumé, si dans les valeurs des éléments (n), (tV), ..., débarrassées de tous leurs termes séculaires et mixtes, comme aussi dans les valeurs des coordonnées, traitées de même, nous introduisons partout y,i, r,2, î^i, ^o, ^-5 puis que nous remplacions ces quantités j)ar v.ie' '^'*', r,j^?'""', siS"""^"S sa^^'^'^S A + v/i^, nous retond)ons
nécessairement, à des changements de notation près, qu'il est inutile de préciser, sur la solution de forme périodique développée dans les Chapitres précédents.
Si nous combinons maintenant ce résultat avec ceux des n*** 141 et 14i2, nous pouvons bien facilement nous rendre compte a priori, comme il a été annoncé au commencement de ce Chapitre, des circonstances particulières auxquelles nous avons fait alors allusion.
Citons-en quelques-unes entre autres.
Les valeurs des constantes qui correspondent à g- et h contiennent m'^ en facteur, et leurs termes en m- sont connus par ce qui précède.
Les expressions des coordonnées ne contiennent pas m en dénominateur (saufl'exception indiquée plus loin), et ceux de leurs termes qui sont indépendants de m résultent immédiatement des valeurs
établies ci-dessus pour -, ir, is^ et £,, s^, ^'i, v^, / en fonction de r, ,,
ri2, SI 5 ^2? ^^ • c'est une vérification facile à faire.
Les termes de ces coordonnées qui sont indépendants de a, et qui dépendent des arguments 2D, 41), 6D, . . . renferment au moins m, m-, A/i', ... en facteur : ceci résulte des propriétés spéciales du développement de V et de l'étude faite au n° 141. Il est facile de voir ensuite avec quelles modifications cette proposition s'étend aux termes qui dépendent de a.
D'après le n° 142, les coefficients 'des termes à longue période ou à très longue période de la parallaxe renferment au moins m^ en facteur, et s'il s'agit de termes à très longue période indépendants de a, on j trouvera même m^ en facteur.
Dans bien des cas, l'approximation que nous avons' développée explicitement dans le nuiiuMo précédent permettra de retrouver les parties principales des coefficients des inégalités du mouvement de la Lune, en partant du développement eftéclif de la fonction V, tel qu'on l'obtient d'après le Chapitre XIII.
Tout ce que nous venons de dire reste vrai tant que l'on ne considère pas les termes qui dépendent de certains monômes spéciaux, dont les plus simples sont e'^, y, e',*, î,y^,e'j*, £! , yiî , e'j* 5 ^^ leurs conjugués, avec les notations des Chapitres précédents. Avec ces monômes en effet, on doit prévoir l'introduction de m en diviseur dans les coefficients; et ceci correspond à ce que nous avons déjà reconnu au n° 130.
RETOUR A LA MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. ■>.6'i
Toulefois, on doit ajouter, d'après une remarque faite plus haut, que cette introduction de m en diviseur ne pourra se présenter que pour des termes contenant a'" en facteur, en raison de la forme spéciale de la fonction V,,. C'est pour la même raison aussi qu'on peut dire que les inégalités de Laplace considérées au n° 130, et qui correspondent à l'argument séculaire 3m' — ra — 38 dans Vq, contiendront certainement soit ma, soit a"' en facteur, outre e'^, et ey ou y-, suivant qu'il s'agit de la latitude ou de la longitude.
Cette énumération suffit à justifier l'importance que devait présenter le retour à la méthode de la variation des éléments.
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DONT DÉPENDENT LES PERTURBATIONS DE LA THÉORIE SOLAIRE DU MOUVEMENT DE LA LUNE. THÉORÈMES D'ADAMS. ACCÉLÉRATIONS SÉCULAIRES.
145. Nous allons maintenant appliquer au problème qui nous occupe les théories générales développées au Chapitre II, et spécialement au n" 1 i ; nous obtiendrons ainsi de nouvelles propositions intéressantes, et nous établirons en même temps les équations qui nous permettront de compléter la théorie solaire du mouvement de la Lune. Nous aurions pu, d'ailleurs, nous appuyer déjà sur ces mêmes principes pour obtenir la disparition des termes à caractère séculaire réalisée directement au Chapitre précédent.
Reprenant les notations des Chapitres XIX à XXII, soient X, Y, Z, les coordonnées rectilignes de la Lune par rapport aux axes de directions fixes TX, TY, TZ; et marquons les dérivées par rapport au temps par un accent. P^n faisant ici
(sans confusion avec la fonction F définie au n" 121), nous avons déterminé précédemment la solution des équations canoniques
dX(lF d\' dV
'dr~'ô\'' ~dr ~~d^^
La fonction F dépend d'abord des variables X, Y, Z, X', Y', Z' ; puis du temps, par le seul intermédiaire de l'argument N' dont la vitesse est n; enfin des paramètres «', a', e', »', et aussi, si l'on veut, [3, ^', 1^", ..., en faisant ^ :=/(Mo-}- M). Pour représenter les dérivées partielles de la fonction F prise sous cette forme, nous ferons usage de la caractéristique o.
ÉQUATIONS DONT DÉPENDENT LES PERTURBATIONS DE LA THÉORIE SOLAIRE. J.ÇiS
L'intégration donne pour X, X', . . . , des expressions périodiques par rapport à trois nouveaux arguments, comportant chacun une constante arbitraire, soit N, N,, N2 en appelant Ni et N2 les différences JN — G, N — H; ce sont la longitude moyenne, et les longitudes du périgée et du nœud; de plus, elle introduit trois constantes arbitraires n, s, f. Les vitesses de N, N,, Nj sont /i, /i(, /ij, et l'on a 7ii = «,ç', 11-2 = nh\ g' et li ayant les Valeurs connues calculées précédemment, qui dépendent de «, s, y et des paramètres énumérés ci-dessus.
La fonction F où l'on a remplacé X, X', . . . par leurs valeurs, est de la même nature périodique, et la caractéristique ordinaire d servira pour représenter ses dérivées partielles quand elle est ainsi exprimée à l'aide de N, N,, No, N', n, s, v, n\ a , s', ....
La fonction appelée G au n" 1 1 (4°) est ici la partie constante \? de la fonction périodique X'-' + Y'2 + Z'2 F ou -(X'2 H- Y'2 + Z'=^)-MJ; la formule
X'2 -+- Y'2 -+- Z'2 -f- XX' -t- Y Y" + ZZ" = 4 ( XX' -h Y Y' + ZZ' )
at
montre que les parties constantes de
et de
XX"+ YY"-+-ZZ"
sont égales et de signes contraires; d'autre part, d'après les équations du mouvement, on a
XX"+YY"+YY" = X^ + YiH + zi^ = U,; oX ÔY oZ
si donc on marque par f^ la partie constante d'une fonction f cpielconque de nature périodique, nous avons
et comme on peut mettre U sous la forme
les Ua étant homogènes et de degré k par rapport à \, ^ , Z, il vient
encore
(I) P = -|3 fi) !p'(U3)o-13"(U4)o-''' r(Ua)o-....
Soit a l'une quelconque des quantités N, Ni, No, N', /^, £, y, et considérons les différentes fonctions
[ c'a du (^K |o
que nous nommerons successivement J, Ji, Jj, J , J«, J^, Jy
D'après le n" 129, les coordonnées X, Y, Z peuvent être mises sous la forme
(a) X = «SrF„cos(N -f- V„), Y = aS J7„ «in(N-i- V„j, Z = aX2,i sin\'„ ; dans ces formules, les V„ sont ici les différents arguments distincts
A", p, g, r étant des entiers quelconques, dont l'avant-dernier est pair pour X et Y. impair pour Z; de plus, le développement de Z est symétrique ; on a d'ailleurs D= N — N', G = N — Ni, H = N — No, G'z=N' — cp'.
Quant aux coefficients x„, 5„, ce sont des fonctions de /?, ;, "', n , «', ô', [i, ^', ... qu'il sera facile de préciser davantage le moment venu; le facteur a dépend lui-même de /?, /j', [i.
Il est clair que l'on a d'abord
puisque les quantités telles que X' -| [- • •• se présentent comme des
séries composées uniquement de sinus d'angles qui ne sauraient être constants sans s'annuler.
On trouve ensuite immédiatement
J = ( n — n')a^[I.(i + /< -i-p -h q)(i -h rn-^ k-h pg -\- qh -\- rm )xj,
-^^{k ^ p -^ q){k-^pS -\- qh -\-rm)z\\, J 1 = — ( « — n') a^ \ I.p ( i -+- m -h k -+- pg -\- qh -^ rin)x\ . , -\-y.p{k^pg-^qh^r,n)zl\,
J.2 — — {n — n')a^[I.q{ i -h m -+- k -+■ pg -i- qh-{- rin)x%
-+- i:q (k -h p g -h q h -h r m) zf^], J' = — (/i — n')a^[I.{k — /•)(!-+- «' + k -i-pg -r- qh '^rin)x%
-+- X(Â:— r){k -\- pg 4- qh-+- rfn)z'^/\.
D'après les équations (12) du n** 11, on a alors
an dV
^T à\> an' àP
fJi'
dtii On-,
an an
an i
àn.2
dni dm
Jl-H J.2,
0^ dy
on /„
, àni dni On' ' O/i' ''
()n\ , on-, ,
et dans la dernière de ces relations, on peut encore remplacer z par a', [i, [j', j3", . . . (le remplacement par es' ne donnerait rien).
Imaginons maintenant que la fonction de forces U soit augmentée d'une fonction j)erturbatrice R : la solution du problème restera la même, à la condition de déterminer les éléments n, s, v, N, Ni, INj de la théorie solaire par de nouvelles équations bien faciles à former. Mais il est plus avantageux d'employer d'autres éléments.
Supposons en premier lieu que l'on remplace /z, e, y par J, J, , J2, qui forment nn système équivalent; la fonction appelée J au n** H (4") et que nous désignerons ici par K, a pour dérivées partielles par rapport à J, Ji, Jq précisément «, ;ii, /ia, et les équations (i5) qui déterminent ce numéro prennent la forme canonique
di â\\
dt ~~ ON '
d], dt
OW
dJi dt
Ol\
dN -dï="'-
OK
dt
on
dt
dR
En nous rappelant maintenant (pie nous avons fait précédemment
yi=^-ei", y,= Ie-^'",
regardons R comme une fonction de /i, 0, si, £|, v^, v i ; et d'autre part, continuons à regarder /? , s, y et aussi /?|, /?2 comme fonctions de J, Ji, Jo. On a, pour les seconds membres des équa-
■jM chapitre XXIV.
lions (5),
i)\\ .[ dK ÔW \ ^m ./ ^R ô\\ \
avec deux autres formules semblables pour -r- et -rr-
* ai 1 c/J 2
Posons alors
^ an
f (){n — nj) din — nM .,,
"1 ^J JJ— h^^'*'
iMj,
Adin — n-i) (){n — nM Aà(n--ni) à(n — n^)] ^^„
on pcul remplacer les équations (5) par les équations délinitives sui-
vantes, mieux appropriées au calcul effectif :
idt a- OU a- \ dix ' às-i d{n—ni)^UdK m\ f dK ~ lî^ d^ ^ a-' \^ihi
idt
idt
d(iN) idt dsi Td~t
M ÔW
lia- du
ivr,
ÔK
^^'jt;-^'
Ti
-^■^'^-^-'JTI
idt
= — (n — /Ji)£,
na P^ àR P
«a- dy
V" ( ÙW ÔR
na2^-'%0
na- \' c^Yi "Y— I
dR
