NOTIONS GÉNÉRALES

l*-On dit qu'un point est en repos lorsqu'il occupe constamment'la même position dans l'espace ; et qu'il est eu mouvement lorsque cette position change d'une manière continue. Nous ne pouvons par aucun moyen reconnaître , si un point est en repos ou en mouvement , parce que nous ne connaissons pas d'objets fixes auxquels nous puissions rapporter sa position : seulement nous pouvons affirmer que si la position relative de plusieurs points n'est pas restée la même, il y en a un certain nombre dont la position absolue a changé.

Lorsqu'un grand nombre d'objets conservent la même position relative, on est porté à^ les juger en repos 5 et si l'un d'eux change de place par rajj^port au système, c'est à lui qu'on attribue le mouvementij. C'est ainsi que l'on a cru pendant si longtemps la terre immobile dans l'espace. Une étude approfondie des phénomènes peut modifier cette première impression; mais on ne. peut jamais avoir (\c certi-

tude à cet ëgard , et les principes sur 1^ mouvement absolu, auxquels on est*^ conduit par l'obsçryatron des mouvements rel£|tifs, ne sont que des inductions qui peuvent avoir une grande probabilité, mais qui ont toujours besoin d'être vérifiées par l'accord entre les conséquences logiques auxquelles elles, conduisent et les phénomènes observés directement.

. 2. jRorceJ.— Le principe le plus simple auquel on parvient de cette manière consiste en ce qu'un point qui est en repos absolu y resterait indéfiniment s'il ne survenait certaines causes en dehors de lui qui le missent en mouvement. Ces causes se nomment des forcée y et la direction d'uiie force est celle de la ligue suivant laquelle le point se mouvrait en vertu de son action, s'il était en tièr^ement libre.

La notion des forces est une des plus simples et des plus incontestable3 5 elle nous vient de l'expérience de tous les instants. Nous ne pouvons déranger un corps de la position qu'il occupe sans avoir le sentiment d'un effort; nous l'éprouvons de même pour soutenir un corps pesant, et nous avons bientôt l'idée d'un effort plus graiid ou plus petit, avant d'avoir de^ moyens précis de comparaison. U faut donc bien se garder de dire que la notion des forces ait rien d'hypothétique. Elle est aussi certaine que tout ce qui nous ' . vient de l'expérience. Quant à leur nature intime , elle ne sera pas plus l'objet de nos études que ne le sera l'essence de la matière elle-même. En cela, con^me en tout ce qui dépend de notre système du mondé , nous partirons de données expérimentales bien constatées , et nous n'emploierons lé raisonnement qu'à en développer les conséquences.

On dit que des forces sont égales lorsque, appliquées en

sens contraires à un même point libre et en repos , elles ne

lui font prendre aucun mouvement. La notion de l'égalité

conduit à celle du rapport quelconque , en entendant par

• somme de plusieurs forces la force qui peut remplacer l'en-

PREMlÀaB ANMKE. — STATIQUE. 3

semble des premières sollicitant le même point dans la même direction. Les forces, pouvant ainsi être évalnëes eu nombres, peuvent aussi être représentées par des longueurs; et il sera commode de prendre ces longueurs sur la direction suivant laquelle elles agissent , et à partir du point auquel elles sont appliquées.

3, Masse. — L'expérience montre que la même force ne produit pas toujours un mouvement identique quand elle est appliquée à des corps différents. Ce fait donne lieu à une notion nouvelle qui est celle de masse.

On dit que deux corps d'espèce quelconque ont même masse lorsque des forces égales produisent des mouvements identiques sur ces corps libres et partant du repos. Si on lie ensemble deux corps , on en forme un nouveau dont la masse est dite la somme des masses des deux autres. L'idée de massés égales conduit à celle de masses dans un rapport quelconque; et les masses de tous les corps peuvent être représentées par des nombres , si on les rapporte à celle d'un volume connu d'une matière déterminée.

On voit par là que des corps formés d'une même sub* stance homogène ont des masses proportionnelles à leurs volumes, et, par conséquent, aux quantités de matière qu'ils renferment. Mais, comme on ne pourrait attacher aucun sens précis à la comparaison des quantités de matière de deux substances différentes, ni surtout en tirer aucunes conséquences relativement aux eifets des forces , on n*a du admettre d'autres caractères distinctifs entre les différents corps et les différentes substances , que ceux qui dépendent delà manière dont ils se comportent sous l'action des forces qui les mettent en mouvement.

La notion de la masse offre donc cette différence essentielle avec celle de la force, qu'elle ne saurait s'acquérir comme elle par l'équilibre, et qu'elle ne peut se déduire que de la considération du mouvement.

4, Densité, — La rfe/wiVé d'un corps homogène est la masse renfermée sous Tunité de volume; elle est, par conséquent, le rapport de la masse renfermée sous un volume quelconque à ce volume.

Lorsqu'un corps n'est pas homogène, la densité en un quelconque de ses points est la densité moyenne d'une portion infiniment petite du corps dans laquelle se trouve ce point; ou, en d'autres termes, la limite du rapport de la masse renfermée dans cette portion à son volume, quand il tend vers la limite zéro.

Lorsque des forces sont appliquées à un système Av points, ayant entre eux des liaisons quelconques, il est possible qu'elles produisent un mouvement, comme il est possible aussi qu'elles s'entre-délruisent , et que le système reste en repos; dans ce dernier cas, on dit que ces forces sont en équilibre.

L'ensemble des lois de l'équilibre forme ce que l'on appelle la statique^ les lois du mouvement forment ce que Ton appelle la dynamique; et la réunion de ces deux branches constitue la science à laquelle on a donné le nom d(î mécanique.

Remarques générales.

5. Lorsqu'un système de points est en équilibre , on ne détruit pas cet état en fixant un ou plusieurs de ces points, ou en établissant entre eux des liaisons nouvelles.

On peut encore, sans rompre l'équilibre, introduire de nouvelles forces telles, qu'elles se détruiraient si elles agissaient seules sur le système de points donné ; ou supprimer des forces qui se détruisent effectivement par les efforts qu'elles exercent sur ce système.

Mais il faut bien remarquer qu'il ne suffirait pas que ces dernières fussent en équilibre dans le cas où elles agiraient

PREMIKRS AITNÊK, — STATIQUE. 5

seules sur le système. Si elles ue produisent pas réellenieiit les efforts qu^ellcs produiraient si elles étaient seules, elles ne se détruisent pas entre elles, et, dès lors, on ne saurait affirmer que l'équilibre ne sera pas rompu si on les sup* prime.

Enfin on peut, sans détruire l'équilibre, supprimer un groupe de forces telles, que des forces respectivement égales et appliquées aux mêmes points en sens contraire seraient en équilibre si elles existaient seules sur le système. En effet, on ne dérange pas l'équilibre primitif en introduisant ces dernières forces ; mais chacune d'elles détruisant la force égale et contraire appliquée au même point, on peut les supprimer l'une et l'autre en chaque point sans déranger l'équilibre, et il ne reste plus que les forces primitives, moins le groupe en question.

Ces principes, bien simples, sont d'une grande utilité, à cause des transformations sans nombre qu'ils permettent de faire.

Clianyement du point (Inapplication d'une force.

6. Lorsqu'une force P est appliquée à un point libre A, on peut, sans changer son effet, quel qu'il soit , l'appliquer à tout autre point B de sa direction, pourvu que ce point soit lié invariablement au premier. Si le point 6 est situé par rapport à A du côté où s'exerce l'action de la force P, il suffit que la distance A6 ne puisse augmenter-, ce qui sera le cas, par exemple, où ces deux points seraient liés par un corps extrêmement délié, éminemment flexible et inextensible. Nous donnerons dorénavant le nom dejil à un pareil corps, et nous le considérerons comme n'ayant de dimension que dans le sens de la longueur. Si le point B était de l'autre côté de A , il suffirait que la distance AB n» pût di-

minuer, comme cela arriverait si le point B était posé contre un obstacle inflexible lié invariablement au point A.

Pour le démontrer, dans le premier de ces deux cas, appliquons aux extrémités de la droite inextensible A6 {fis* ^) ^®^x forces égales à P, et agissant suivant la droite AB dans les directions AP', BP''; elles se détruiront évidemment , à cause de la symétrie dans les deux sens , et le système ne sera pas changé. Mais les deux forces égales P, P', appliquées au même point en sens contraires, se détruisent , et il ne reste plus que la force P'', qui n'est autre que la force P transportée au point B de sa direction. On raisonnerait d'une manière analogue si le point B était situé de Tautre côté du point A.

7. Mais il est important de remarquer que la force ne saurait être transportée parallèlement à elle-même en un point qui ne serait pas sur sa première direction , et plus généralement qu'une force ne peut être remplacée, sur un système libre, par une autre qui n'agirait pas suivant la même ligne droite.

Pour cela, on observera d'abord que deux forces qui ne sont pas directement opposées ne peuvent jamais se détruire, sur un système de points entièrement libre. En effet , si elles étaient en équilibre , elles y seraient encore lorsque l'on fixerait le point d'application de l'une d'elles, ce qui détruirait son action. Il ne resterait donc plus qu'une seule force dont la direction ne passerait pas par le point fixe autour duquel le système peut tourner : or nous ad- ' mettons, comme une des données premières de l'expérience, que, dans ce cas, la force le mettra en mouvement. D'où il résulte que les deux forces en question n'étaient pas en équilibre.

Cela posé, soient A [fig* 2) le point auquel est appliquée une force P, et B un point lié invariablement au premier. L'effet de la force P ne serà pas changé, si nous ap-

^REMiiaB Mtnfàz. — statique. ^

pliquons en: B deux forces P', P'' égales, parallèles à une certaine direction quelconque et de sens contraire. Or, pour que le système se réduisit à la .force P'^ il faudrait que P et P' se détruisisseift , ce que nous venons de démontrer im-' possible. Donc 'la force Pne peut être remplacée par aucune force appliquée en un point situé hors de sa direction primitive. Et, par conséquent, toutes les foisqu*on pourra prouver qu'une force, agissant sur un système libre', peut, sans changer d'effet, être remplacée par une autre, appliquée en un certain point, on en conclura nécessairement que sa direction passait par ce point. Il est facile de reconnaître, en outre, que cette nouvelle force doit être égale h la première; car il a été démontré que, dans la position où elle se trouve, elle pourrait remplacer la première si elle lui était égale; donc, si elle était plus grande ou plus petite, elle ne produirait pas le même effet que la première,' ce qui est contre Fhypothèse.

8. Avant d'aller plus loin , nous allons mon;trer, par un exemple très-simple, combien il est nécessaire d'avoir égard à l'observation que nous avons faite au sujet d'un des principes précédents.

Soient  et B (fig* 3) deux. points liés de telle sorte, qu'ils ne puissent s'éloigner l'un de l'autre , mais qu'ils puissent se rapprocher. Que l'on appliquç au point A deux forces égales et contraires P, P' dans la direction de la droite AB, et que l'on applique h B deux forces Q, Q' égales aux premières, et agissant en sens contraire suivant la ligne AB. Il y aura équilibre dans le système, puisqu'il y* a équilibre en chaque point. Or les deux forces P, Q' seraient eu équilibre si elles agissaient seules sur le système AB', et cependant on ne peut les supprimer sans rompre l'équilibre des quatre forces; car il resterait les deux forces P'et Q, qui. ne se détruiraient pas, puisque les deux points A et B peuvent se rapprocher par hypothèse. Or il est facile de re-

8 COUBS DE MÉCANIQUE.

connaitre que le groupe P, Q' ne rentre dans aucun des deux cas que nous avons indiqués précédemment.

En premier lieu, les deux forces P et Q' ne se détruisent pas effectivement, et ne produisent pas sur ÂB Teffort qu'elles produiraient si elles y étaient seules appliquées. La force P est détruite par P', et n'agit que sur le point A; il en est de même des forces Q et Q'en B, et il n'en résulte auccme action entre les points A et B, qui ne cesseraient pas d'être en équilibre quand même il n'existerait aucune liaison entre eux.

En second lieu , les forces P' et Q, égales et opposées à P et Q^, ne seraient pas en équilibre si elles agissaient seules sur le système, puisque les points A et B peuvent se rapprocher.

Dune enfin, ou ne pouvait affirmer qu'en supprimant les fortes P et Q' on ne détruisait pas l'équilibre-, et nous avons vu qu'effectivement il se trouverait détruit par cette suppression.

Composantes et résultante.

9. Considérons un système de points liés entre eux invariablement et entièrement libre dans l'espace 5 si des forces appliquées à ce système sont telles , qu'il y aurait équilibre en introduisant une nouvelle force. P, l'ensemble des premières pouvait être remplacé par une seule force égale et directement opposée à P. En effet, on ne changera pas l'effet des premières forces en introduisant la fprce P conjointement avec une autre égale et opposée. Or, par hypothèse, P détruit l'ensemble des premières-, donc il ne reste que la force égale et opposée à P. Cette force unique , qui peut en remplacer plusieurs autres , s'appelle leur résultante, et les premières s'appellent ses composantes : on voit que la recherche de la résultante rentre dans le problème dé l'équilibre.

PaEMlÙEE ANNÉE. — STATIQUE. 9

10, Remarques diverses. — Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un mèoie point, et qu*elles ne sont pas eu équilibre, elles ont toujours une résultante; car le point tend, par leur action, à se mouvoir dans une certaine direction déterminée, et, si Ton appliquait en sens contraire une force d'une intensité convenable, on empêcherait évidemment le mouvement de se produire, et Téquilibre aurait lieu. Donc, d'après ce que nous venons de dire, les forces proposées avaient une résultante.

H. Lorsqu'un point est sollicité par trois forces en équilibre, et qui agissent sur lui, par exemple par Fintermé^ diaire de fils flexibles, on ne voit aucune raison pour que Tune quelconque d'entre elles soit d'un côté du plan des deux autres plutôt que du côté opposé; et l'expérience montre, en effet, que les directions de ces trois forces, qui sont celles des fils eux-mêmes, sont toujours dans un même plan. On peut reconnaître de plus qu'elle est dirigée dans l'intérieur de l'angle formé par les directions des deux forces , ce qui revient à dire que le point sollicité par ces forces se mouvrait dans l'intérieur de cet angle. En effet, si le point n'était sollicité que par Tune des forces, il se mouvrait dans sa direction même-, mais l'autre force tendant à Técarter de cette ligne, on doit admettre qu'il se mouvra du côté où est située cette seconde force. Eu raisonnant de la même manière , en sens inverse , on voit que le point ne peut se mouvoir que dans la partie du plan qui se trouve comprise entre les directions des deux forces. Donc la force unique qui remplacerait ces dernières a sa direction dans l'angle qu'elles forment entre elles. On peut ajouter que Texpérienoe confirme cette induction en montrant que quand trois forces appliquées à un point libre se détruisent', l'une quelconque d'entre elles a son prolongement dans l'angle des deux autres.

On lire de là celte conséquence, que la résultante de deux

10 COUES DE MÉCANIQUE.

forces, appliquées à un même point, est toujours comprise dans le plan et dans Tangle de ces forces.

Dans le cas où les deux forces sont égales, la direction de leur résultante ne peut être que celle de la droite qui divise Içur angle en deux parties égales ', et c'est aussi ce que donne l'expérience.

12. Lorsque deux forces égales sont appliquées à un même point, elles peuvent être transportées parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque de la bissectrice de leur angle, pourvu qu'il soit lié invariablement au premier. Car ces forces peuvent être remplacées par une seule, dirigée suivant cette bissectrice, et qui peut être appliquée en un quelconque de ses points ; or, en ce point, elle peut être décomposée comme au premier point d'application, et Ton aura ainsi deux forces égales et parallèles aux premières, appliquées efi un point quelconque de la bissectrice.