CHAPITRE V

CONDITIONS ET ÉQUATIONS d'ÉQUïLIBRE d'uN SYSTÈME RIGIDE QUELCONQUE, ENTIÈREMENT LIBRE.

42. Réduction générale. — Toute force peut être remplacée par une force égale appliquée en un point quelconque lié à son point d'application , et par un couple formé d'une force égale et opposée à cette dernière et de la force praposée. Car cela revient à introduire deux forces qui se détruisent.

Si l'on fait cette décomposition pour toutes les forces d'un système, en choisissant le même point pour toutes ^ on aura toutes ces forces transportées parallèlement à ellesmêmes , eh un même point , et de plus autant de couples situés, en général, dans des plans différents.

En composant, d'une part, toutes les forces, et, d'une autre, tous les couples, le système se trouvera réduit à une seule force et un seul couple.

Or, un couple ne peut être détruit par une force, car alors il pourrait être remplacé par une force égale et opposée. Donc les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système rigide soit en équilibre , sont que la force et le couple soient séparément nuls. Chacune de ces conditions s'exprime, en général, par trois équations. L'équilibre du système est donc exprimé par six équations.

38 COURS DE MÉGANIQUE.

Avant de passer au cas général , nous considérerons en particulier celui où les forces sont parallèles. U se déduirait facilement du cas général ; mais il est plus simple de le traiter directement.

Equilibre et composition des forces parallèles,

43. Supposons d^abord les forces situées dans un même plan , et d'un point quelconque O abaissons une perpendiculaire sur leurs directions : elle les rencontrera en des points que nous rapporterons au point 0 comme origine, et qui seront donnés par leurs abscisses positives ou négatives.

Soient P une quelconque des forces , et x l'abscisse correspondante; on la remplacera par une force égale et de même sens agissant en O, et un couple ayant pour moment Vx,

Or, si l'on considère successivement des forces dans des sens diflTérents et des abscisses positives et négatives, on reconnaît facilement que le sens du couple change lorsqu'une seule des quantités P et o: change de sens, et que le sens du couple ne change pas lorsque ces deux quantités restent de même sens ou en changent à la fois. Donc, si les forces sont considérées comme positives dans un sens et négatives en sens contraire, le produit Vx est de même signe pour les couples de même sens , et de signe contraire pour des couples de sens opposé. La somme algébrique de ces produits, faite pour toutes les forces du système , et que nous exprimerons par 2 Vx , donne donc la valeur du moment du couple résultant , et le sens de ce couple. Si elle est positive, ce couple est dans le sens de ceux qui correspondent à une force positive et une abscisse positive : il est de sens contraire si la somme est négative. D'après cela, les conditions nécessaires cl suffisantes pour l'équilibre

seront

44. On appelle moment d'une force par rapport à un point le produit de cette force par la distance de ce point à la droite suivant laquelle elle agit. En employant cette dénomination , on énoncera , de cette manière , les conditions

. de l'équilibre qui viennent d'être établies :

Pour que des forces parallèles situées dans un même pian et appliquées à un système de points liés invariablement entre eux et libres dans V espace ^ soient en équilibre y il est nécessaire et suffisant que la somme algébrique de ces forces soit nulle ^ ainsi que la somme algébrique de leurs moments par rapport à un point quelcojique du plan.

Si ces deux conditions sont remplies relativement à un certain point du plan , l'équilibre aura lieu , et , par conséquent , la somme des moments des forces par rapport à tout autre point du plan sera nulle. C'est, au reste, ce qu'on vérifierait immédiatement en faisant usage des deux équations données.

45. Si l'équilibre n'a pas lieu , c'est-à-dire si Ton n'a pas à la fois 2P==o, SPa:=: o, on peut se proposer de déterminer la résultante , s'il y en a une : soient R sa valeur positive ou négative , et Xy l'abscisse qui lui correspond ; il y aura équilibre dans le système , en y joignant une force égale et directement opposée , d'où résulte

— R-h2P~0, — R.r, +2Pa7=: o,

ou

2Pa:

R = 2P, Ra:, z=2;P^, .r, =

SP

On peut donc toujours établir l'équilibre en introduisant une force — R , et , par conséquent , le système proposé peut être remplacé par la fora» R égale et opposée à — R*,